1.計算機圖形學的動態理論與技術
(1)分形理論及其應用
分形理論是當今世界上非常活躍的新理論。分形理論作為壹門邊緣學科，認為自然界是由分形組成的。在世界上，對稱和平衡的物體和狀態是少數和暫時的，而不對稱和不平衡的物體和狀態是多數和長期的。分形幾何是描述自然的幾何。分形作為人類探索復雜事物的壹種新的認知方法，在涉及組織結構和形態發生的各個領域都具有實際應用意義，在石油勘探、地震預測、城市建設、癌癥研究、經濟分析等方面取得了許多突破。分形的概念最早是由美國數學家B.B.Mandelbrot提出的，他在1967年發表了壹篇題為《英國海岸線有多長？著名的報紙。
海岸線作為壹條曲線，其特點是極不規則、極不平滑，呈現出極其曲折復雜的變化。它不能用常規和傳統的幾何方法來描述。我們無法從形狀和結構上區分這部分海岸和那部分海岸的本質區別。這種幾乎同等程度的不規則性和復雜性說明海岸線在形態上具有自相似性，即局部形態和整體形態相似。在沒有建築物或其他東西作為參照物的情況下，空中拍攝的100公裏的海岸線，看起來和兩張放大的10公裏的海岸線照片非常相似。
有人曾提出這樣壹個明顯荒謬的命題:“英國海岸線的長度是無限的。”論點是這樣的:海岸線破碎曲折。我們在衡量的時候，總是用壹定的尺度來衡量壹個近似值。例如，我們每65，438+000米設置壹個基準。這樣，我們就測出了壹個近似值，這個近似值是沿著壹條折線計算出來的。這條虛線中的每壹段都是直線段，長度為100米。如果改為每10米設立壹個基準點，則實際測量另壹條折線的長度，其每段長度為10米。很明顯，後面測得的長度會大於之前測得的長度。如果繼續縮小尺度，測得的長度會越來越大。這樣看來，海岸線的長度不是無限的嗎？
為什麽會有這樣的結論？Mandelbrot提出了壹個重要的概念:分形維數，又稱分維。壹般來說，尺寸是整數，直線段是壹維圖形，正方形是二維圖形。數學上，歐氏空間中的幾何對象被不斷拉伸、壓縮、扭曲，維數不變，這就是拓撲維數。但是，這種維度觀並不能解決海岸線長度的問題。Mandelbrot是這樣描述壹個繩球的維度的:遠距離觀察繩球可以看作壹個點(零維度)；從近處看，它充滿了壹個球形空間(三維)；再近壹點，妳會看到繩子(壹維)；再往微觀裏說，繩子就變成了三維柱，三維柱又可以分解成壹維纖維。那麽，這些觀測點之間的中間狀態呢？很明顯，繩球和三維物體之間沒有確切的界限。為什麽英國海岸線無法精確測量？因為歐幾裏得壹維測度與海岸線的維度不壹致。根據Mandelbrot的計算，英國海岸線的維度是1.26。利用分形維數的概念，可以確定海岸線的長度。
1975年，Mandelbrot發現自然界中廣泛存在具有自相似性的形式，如連續的山川河流、漂浮的雲彩、巖石中的裂縫、布朗粒子的軌跡、樹冠、花椰菜和大腦皮層...Mandelbrot稱這些在某種程度上與整體相似的形式為分形，它來源於拉丁語Frangere，有自己的特點。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是以他的名字命名的集合，是他在1980年發現的。他發現整個宇宙以壹種意想不到的方式形成了自相似結構。Mandelbrot集合圖的邊界具有無限復雜和精細的結構。在此基礎上，形成了壹門研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論或分形幾何。
分形的特征及其理論貢獻
數學分形具有以下特征:
(1)具有無限精細的結構；
(2)比例自相似性；
(3)壹般來說，它的分形維數大於它的拓撲維數；
(4)可以用非常簡單的方法定義，通過遞歸叠代生成。
(1)和(2)解釋了分形在結構上的內在規律性。自相似性是分形的靈魂，它使得分形的任何壹個片段都包含了整個分形的信息。第(3)項說明了分形的復雜性，第(4)項說明了分形的生成機制。
我們將傳統幾何的代表歐幾裏得幾何與以分形為研究對象的分形幾何進行比較。我們可以得出以下結論:歐幾裏得幾何是壹種基於公理的邏輯體系，研究旋轉、平移、對稱變換下的角度、長度、面積、體積等各種不變量，其應用範圍主要是人造物體；分形是通過遞歸叠代生成的，主要適用於自然界中形狀復雜的物體。分形幾何不再從單獨的角度把分形中的點、線、面作為壹個整體來看待。
我們可以從分形圖案的特征來理解分形幾何。分形圖案具有壹系列有趣的特性，如自相似性、對某些變換的不變性、內部結構的無限性等。此外，分形圖案通常與某些幾何變換相關聯。在壹些變化下，模式保持不變。從壹個任意的初始狀態開始，經過幾次幾何變換，圖案就固定在這個特定的分形圖案上，不再變化。自相似原理和叠代生成原理是分形理論的重要原理。
分形理論發展了維數的概念。在分形維數發現之前，人們習慣定義壹個點為零維，壹條直線為壹維，壹個平面為二維，壹個空間為三維。愛因斯坦將時間維度引入相對論，形成四維時空。多方面考慮壹個問題，可以構建壹個高維空間，但都是整數維。
分形是20世紀出現的壹種新的科學思想，是認識世界的新視角。從理論上講，是數學思想的新發展，是人類對維數、點集等概念認識的深化和普及。同時與現實物理世界緊密聯系，成為研究混沌的重要工具。眾所周知，對混沌的研究是現代理論物理的前沿和熱點之壹。
由於對分形的研究，人們對隨機性和確定性的辯證關系有了進壹步的認識。對過程與狀態的關系，宏觀與微觀的關系，層次之間的轉化，無窮的豐富性也有有益的影響。
分形理論也是非線性科學的前沿和重要分支。作為壹種方法論和認識論，其啟示是多方面的:壹是分形整體與局部形態學的相似性，啟發人們從有限中認識部分、認識無限，從而認識整體；第二，分形揭示了整體與部分、有序與無序、復雜與簡單之間的壹種新的形式和秩序；第三，分形從特定的層面揭示了世界普遍聯系和統壹的圖景。
分形理論的應用領域
除了理論意義，在實際應用中，分形也顯示出了巨大的潛力。在很多領域都得到了有效的應用，應用範圍之廣，效益之大，顯然遠超十幾年前的任何預測。目前，分形方法的大量應用案例層出不窮。這些案例涉及生命過程的演化、生態系統、數字編解碼、數論、動力系統、理論物理(如流體力學、湍流)等。另外，也有人用分形理論做城市規則和地震預測。
分形技術在數據壓縮中的應用就是壹個非常典型的例子。《美國數學學會雜誌》在6月刊1996上發表了巴斯裏的文章《用分形壓縮圖形》。他在光盤制作中使用分形壓縮圖形。壹般來說，我們總是將圖形作為像素的集合來存儲和處理。最常見的壹張圖片往往涉及幾十萬甚至上百萬像素，因此占用了大量的存儲空間，大大限制了傳輸速度。Basli在分形中使用了壹個重要的思想:分形圖案與某種變換有關，我們可以把任何壹個圖形看作是某種變換反復叠代的產物。因此，要存儲壹個圖，只需要存儲關於這些變換過程的信息，而不需要存儲圖的所有像素信息。只要找到這個變換過程，就可以準確地再現圖形，而不需要存儲大量的像素信息。使用這種方法，在實際應用中，存儲空間被壓縮到1/8。
近年來，從分形理論發展而來的分形藝術，在表現形式和對分形幾何的理解上也有了突破。分形藝術是壹種二維視覺藝術，在很多方面與攝影有相似之處。分形圖像作品壹般通過電腦屏幕和打印機顯示。分形藝術的另壹個重要部分是分形音樂，它是由壹種算法的多次叠代產生的。自相似性是分形幾何的本質。有人利用這壹原理構造了壹些具有自相似片段的合成音樂。主題以小調重復循環，節奏上可以加入壹些隨機的變化。我們很多常見的電腦屏保程序也是通過分形計算得到的。
自從進入1990年代以來，人們開始越來越多地運用這壹理論來研究經濟領域中的壹些問題，主要集中在對金融市場(如股票市場和外匯市場)的研究上。操縱者可以通過在某些時間點上的操縱，在微觀尺度上使股價發生所期望的變化；從時間的宏觀尺度來看，要使股票價格發生預期的變化，就要求操縱者具有相當的經濟實力。從分形的角度來看，股票價格具有分形特征。壹方面，股價具有復雜的微觀結構；另壹方面，它對時間具有尺度不變性，即在不同的觀測尺度下具有相似的結構，其結構是復雜與簡單、不規則與有序的統壹。對於股價操縱者來說，在單個時間點，甚至是大的時間尺度上影響股價並不困難。然而，通過人為操縱來維持股票價格在微觀和宏觀時間尺度上的壹致性將是非常困難的。
(2)曲面造型技術。它是計算機圖形學和計算機輔助幾何設計的重要內容，主要研究在計算機圖像系統環境下曲面的表示、設計、顯示和分析。它起源於飛機、船舶的放樣技術，由庫恩斯、貝塞爾等大師在20世紀60年代奠定了理論基礎。經過30多年的發展，現已形成了以參數化特征設計和以Bezier、B樣條方法為代表的隱式代數曲面表示兩種方法為主體，以插值、擬合、逼近為骨架的幾何理論體系。隨著人們對計算機圖形顯示的真實性、實時性和交互性要求的不斷提高，幾何設計對象向多樣性、特殊性和拓撲結構復雜性靠攏的趨勢，圖形工業和制造業的集成化、壹體化和網絡化的加速，以及三維數據采樣技術和激光測距、掃描等硬件設備的提高，曲面建模近年來取得了很大的進展。這主要表現在研究領域的迅速拓展和表達方式的開拓創新。
1.從研究領域來看，曲面建模技術已經從傳統的研究曲面表示、曲面求交、曲面拼接擴展到曲面變形、曲面重構、曲面簡化、曲面變換和曲面位置差。
變形或形狀融合:傳統的非均勻有理B樣條(NURBS)曲面模型只允許調整控制頂點或權重因子來局部改變曲面形狀，最多使用層次細化模型直接在曲面上的特定點上操作；壹些基於參數曲線的簡單曲面設計方法，如掃掠法、蒙皮法、旋轉法和拉伸法，只允許調整生成的曲線來改變曲面形狀。計算機動畫行業和實體建模行業迫切需要發展與曲面表示無關的變形方法或形狀調整方法，於是產生了自由變形(FFD)方法、基於彈性變形或熱彈性等物理模型(原理)的變形方法、基於求解約束的變形方法、基於幾何約束的變形方法、基於圖像形態學中多面體對應或Minkowski和運算的曲面形狀調整技術。最近，作者和他的學生劉立剛首創了主動局部球面坐標插值的新思路，對空間點集的內部變量進行了完整的數學描述，從幾何內部解的角度設計了壹套快速有效的三維多面體和自由曲面的形狀調整算法，畫面流暢，實時交互，實現了三維曲面變形技術難題的突破。
曲面重構:在精致的車身設計或者人臉類雕塑曲面的動畫中，經常使用汙泥建模，然後采樣三維值點。在醫學圖像可視化中，也經常使用CT切片來獲得人體器官表面的三維數據點。從表面上的壹些采樣信息恢復原始表面的幾何模型稱為表面重建。采樣工具有:激光測距掃描儀、醫學成像儀、接觸檢測數字化儀、雷達或地震勘探儀器等。根據重建曲面的形式，可以分為兩類:功能曲面重建和離散曲面重建。
曲面簡化:和曲面重建壹樣，這壹研究領域也是目前國際上的熱點之壹。其基本思想是在保證模型精度的同時，去除三維重建後離散曲面或建模軟件輸出結果(主要是三角網格)中的冗余信息，有利於圖形的實時顯示、數據存儲的經濟性和數據傳輸的快速性。對於多分辨率曲面模型，該技術也有利於建立曲面的層次逼近模型，實現曲面的分層顯示、傳輸和編輯。具體的曲面簡化方法包括:網格頂點消去法、網格邊界刪除法、網格優化法、最大平面逼近多邊形法和參數化重采樣法。
曲面轉換:同壹曲面可以用不同的數學形式表示，不僅具有理論意義，在工業應用中也具有實際意義。比如參數有理多項式曲面NURBS，它包含了參數多項式曲面的所有優點，但也有微分運算繁瑣耗時，積分運算無法控制誤差的局限性。但是這兩個操作在曲面拼接和物性計算中是不可避免的。這就提出了將NURBS曲面轉化為近似多項式曲面的問題。同樣的要求更多的體現在NURBS曲面設計系統和多項式曲面設計系統之間的數據傳輸和無紙化生產的過程中。再比如，在兩個參數曲面的求交運算中，如果將壹個曲面的NURBS形式轉化為隱式，就很容易得到方程的數值解。近年來，國際圖學界對曲面變換的研究主要集中在以下幾個方面:多項式曲面逼近NURBS曲面的算法及收斂性；隱式Bezier曲線曲面及其反問題:CONSURF飛機設計系統Ball曲線向高維的各種擴展形式的比較與互化:有理Bezier曲線曲面的降階逼近算法與誤差估計:三角域和矩形域上NURBS曲面的快速變換。
Offset:又稱曲面等距，在計算機圖形學和處理中有著廣泛的應用，因此成為近年來的熱門話題之壹。比如數控機床的刀具軌跡設計，就需要研究曲線的等距性。但從數學表達式中很容易看出，壹般來說，平面參數曲線的等距曲線不再是有理曲線，超出了壹般NURBS系統的應用範圍，導致軟件設計復雜，數值計算不穩定。
2.從表現形式上看，以網格細分為特征的離散建模比傳統的連續建模更具創新性。此外，這種曲面建模方法在生動的特征動畫和雕塑曲面設計與加工中得到了廣泛的應用。
在1998獲得奧斯卡的電影作品中，有壹部短片，是由美國著名的皮克斯動畫電影工作室選送的作品《蓋瑞的遊戲》。這幅漫畫描述了壹個名叫格裏的老人，他在公園裏和自己下棋，並盡力獲勝。畫面中的人物、景物細致生動，與故事融為壹體，讓觀眾真正享受到審美。這個漫畫制作的設計者就是上面這篇論文的作者，著名的計算機圖形學科學家T.DeRose，DeRose在SIGGRAPH'98大會上發表的論文談到了選擇C-C細分曲面作為Geri老頭的特征建模模型的背景。他指出，NURBS已經廣泛應用於工業建模和動畫中，但它仍然有局限性，盡管它長期以來被ISO用作定義工業產品數據交換的STEP標準。單個NURBS曲面與其他參數曲面壹樣，僅限於拓撲等價於壹張紙、壹個柱面或壹個圓環面的曲面，不能表示具有任何拓撲結構的曲面。為了在特征動畫中表現更復雜的形狀，如人頭、人手或衣服，我們面臨著壹個技術挑戰。當然，我們可以使用最常見的復雜光滑曲面的建模方法，比如修剪NURBS。的確，有壹些商業系統，如Alias-Wavefront和SoftImage，可以做到這壹點，但它們至少會遇到以下困難:第壹，剪枝成本高，有數值誤差；其次，在曲面的連接處很難保持平滑，即使是近似平滑的，因為模型是在移動的。細分曲面有可能克服上述兩個困難。它們不需要修剪，沒有接縫，並且自動保證可移動模型的平滑度。DeRose成功應用了C-C細分曲面建模方法，同時發明了構造光滑輪廓線和變半徑復合的實用技術，提出了服裝模型中碰撞檢測的有效新算法，構造了細分曲面的光滑因子場方法。有了這些數學和軟件基礎，他生動地表現了Geri的頭和殼，手指和衣服，包括夾克，褲子，領帶和鞋子。這些都是傳統的NURBS連續曲面造型不容易實現的。那麽，C-C細分曲面是如何構造的呢？它類似於傳統的Doo-Sabin細分曲面。它從壹個叫做控制網格的多面體(網格可以用激光從手工模型輸入)開始，遞歸計算新網格上的每個頂點，它是原網格上部分頂點的加權平均。如果壹個多面體的壹個面有n條邊，細分後，這個面將變成n個四邊形。隨著不斷細分，控制網格逐漸磨光，其極限狀態為自由曲面。它是無縫的，因此是平滑的，即使模型是活動的。這種方法大大減少了設計和構建原始模型的時間。更重要的是，允許對原始模型進行局部改進。這是它優於連續曲面建模方法的地方。C-C細分基於四邊形，而Loop曲面(1987)和butterfly曲面(1990)基於三角形。它們都同樣受到當今圖形工作者的重視。
(3)計算機輔助設計與制造(CAD/CAM)。這是最廣泛和最活躍的應用領域。計算機輔助設計(CAD)是利用計算機強大的計算功能和高效的圖形處理能力，輔助知識工作者進行工程和產品設計分析，以達到理想目標或取得創新成果的技術。它是融合了計算機科學的最新發展和工程設計方法的壹門新學科。計算機輔助設計技術的發展與計算機軟硬件技術的發展和完善以及工程設計方法的創新密切相關。采用計算機輔助設計是現代工程設計的迫切需要。目前，CAD技術已廣泛應用於國民經濟的各個方面，其主要應用領域如下。
1.制造業中的應用
CAD技術已經廣泛應用於制造業，尤其是機床、汽車、飛機、船舶、航天器等制造業。眾所周知，壹個產品的設計過程要經歷幾個主要階段，如概念設計、詳細設計、結構分析與優化、仿真等。
同時，現代設計技術將並行工程的理念引入到整個設計過程中，在設計階段全面考慮整個產品生命周期。目前，先進的CAD應用系統已經將設計、繪圖、分析、仿真和加工等壹系列功能集成到壹個系統中。目前常用的軟件有UG II、I-DEAS、CATIA、PRO/E、Euclid等CAD應用系統，主要運行在圖形工作站平臺上。運行在PC平臺上的CAD應用軟件主要有Cimatron、Solidwork、MDT、SolidEdge等。由於各種因素，目前Autodesk公司的AutoCAD在2D CAD系統中占據了相當大的市場。
2.工程設計中的應用
CAD技術在工程領域的應用有以下幾個方面:
(1)建築設計，包括方案設計、三維建模、建築效果圖設計、平面風景、建築結構設計、小區規劃、日照分析、室內裝修等CAD應用軟件。
(2)結構設計，包括有限元分析、結構平面設計、框架/排架結構計算分析、高層結構分析、地基與基礎設計、鋼結構設計與加工等。
(3)設備設計，包括水、電、暖設備及管道設計。
(4)城市規劃和城市交通設計，如城市道路、高架橋、輕軌、地鐵等市政工程設計。
(5)市政管線設計，如自來水、汙水排放、燃氣、電力、供熱、通信(包括電話、有線電視、數據通信)等各種市政管線的設計。
(6)交通工程設計，如道路、橋梁、鐵路、航空、機場、港口、碼頭等。
(七)水利工程設計，如堤壩、運河、河海工程等。
(8)其他工程設計與管理，如房地產開發與物業管理、工程預算、施工過程控制與管理、旅遊景點設計與布局、智能建築設計等。
3.電氣和電子電路中的應用
CAD技術最早用於電路原理圖和接線圖的設計。目前，CAD技術已經擴展到印刷電路板的設計(布線和元件布局)，在集成電路、大規模集成電路和超大規模集成電路的設計和制造中發揮了巨大的作用，極大地促進了微電子技術和計算與技術的發展。
4.模擬和動畫
CAD技術的應用可以真實地模擬機械零件的加工過程、飛機的起降、船舶的進出、物體的損傷分析、飛行訓練環境、作戰方針制度、事故場景的重現等。在文化娛樂領域，計算機建模被廣泛應用於模擬原始動物、外星人以及各種現實現實世界中不存在的場景，並將動畫與實際背景和演員表演無縫結合，在電影制作技術上大放異彩，拍出了激動人心的大片。
5.其他應用
除了在上述領域的應用，CAD技術還將用於輕工、紡織、家用電器、服裝、制鞋、醫療和醫藥，甚至體育。
CAD標準化體系進壹步完善；系統智能成為另壹個技術熱點；集成化已成為CAD技術發展的壹大趨勢；科學計算可視化、虛擬設計和虛擬制造技術是90年代CAD技術發展的新趨勢。
經過壹個階段的計算機圖形學學習，對圖形學中基本圖形的生成算法有了壹定的了解。深入學習圖形學需要深厚的數學知識，每個細化方向需要不同的知識。圖形學是計算機科學與技術的壹門活躍的前沿學科，廣泛應用於生物、物理、化學、天文、地球物理、材料科學等領域。深感這門學科範圍之廣令人驚嘆，可以說是博大精深。