解決幾何極大值問題的通常方法是兩點之間的線段最短；
在直線外的壹點與直線上所有點的連線中，垂直線最短；
三角形兩邊之和大於第三邊或三角形兩邊之差小於第三邊(重合時取最大值)。
它是解決幾何極大值問題的理論基礎，根據不同的特點進行變換是解決極大值問題的關鍵。直接調用基本模型也是解決幾何極大值問題的高效手段。
1.如圖，點P是∠AOB中的壹個固定點，點M和N分別在邊OA和OB上移動。若∠AOB = 45°，OP =，則△PMN的周長的最小值為。
分析P關於OA，OB的對稱點C，D，連接OC，OD。那麽當M，N是CD和OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值就是CD的長度。根據對稱性，可以證明△COD是等腰直角三角形，可以據此求解。解法:作對稱點C，d .關於OA，OB連接P的OC。天啊。那麽當m，n是CD和OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值就是CD的長度。∫PC關於OA對稱，
∴∠COP =2∠AOP，OC =OP
同理，∠DOP =2∠BOP，OP =OD。
∴∠cod =∠COP+∠DOP = 2(∠AOP+∠bop)= 2∠AOB = 90，OC = OD。∴△鱈魚是等腰直角三角形。然後是CD。
。
題後思考此題考查對稱性的本質，正確作圖，理解△PMN周長最小的條件。
2.如圖，當四邊形P ABN的周長最小時，a =
因為AB和PN的長度是固定的，所以求P A +NB的長度就夠了。問題是P A +NB什麽時候最短。
將B點向左平移2個單位至B點'；使B′為關於X軸的對稱點B ″，連接AB ″,將X軸交叉到P，從而確定N點的位置。此時P A +NB最短。
設直線AB”的解析表達式為y =kx +b，用待定系數法求解直線的解析表達式即可得到a的值。
解法:將N點左移2個單位與P重合，將B點左移2個單位為B′(2，-1)，使B的對稱點B ″關於X軸。根據實踐，已知B ″ (2，1)，設直線AB ″的解析式為y =kx +b，
？1=2k +b？，k =4，b =-7。
-3=k +b？
777
∴ y = 4x 7。當y =0時，x =，即p(，0)，a =..
444
七
因此，答案填寫:
四
想想X軸的對稱點，兩點間最短的線段。
3.如圖，A點和B點在壹條直線的兩側，A點到直線的距離為AM =4，B點到直線的距離為BN =1，MN =4，P為直線上的動點，| P A-Pb |的最大值為。
若B點在直線L的對稱點B′處，則Pb = Pb′因而| P A-Pb | = | PA-Pb′|，則當A、B′和P在壹條直線上時，| P A-Pb |的值最大。根據平行線段定理可以得到PN和PM的值。
解法:使點b在直線l的對稱點b’處，連接ab’並延伸相交直線l在p處∴b’n = bn = 1
設d點為b′d⊥am，用勾股定理求ab′= 5 ∴|帕 Pb | = 5的最大值。
題後思考此題考查的是作圖——軸對稱變換、勾股定理等。知道“兩點間最短線段”是解決這個問題的關鍵。
4.動手操作:在長方形紙上ABCD，AB =3，AD = 5。如圖，將紙對折，使A點落在BC邊緣，折痕為PQ。當點A在BC的邊上移動時，折痕的端點P和Q也移動。如果極限點P和Q分別在AB和AD的邊上移動，則點A '將在BC中。
邊可以移動的最大距離是。
分析這個問題的關鍵是找到兩個極端，即Ba’取最大值或最小值時P點或Q點的位置。通過實驗不難發現，P點和B點重合時Ba’取最大值3，Q點和D點重合時Ba’取最小值分別為1。因此，點A’在BC側移動的最大距離可以被發現為2。
解:P點和B點重合時，Ba’的最大值為3；當Q點和D點重合時(如圖)，勾股定理的A′c為4，Ba′的最小值為1。
那麽A '點在BC邊上移動的最大距離是3-1 = 2。所以答案是:2。
題後思考此題考查學生的動手能力，圖形的折疊，勾股定理的應用等知識，難度略大。學生主要是缺乏實際操作的習慣，僅憑想象出錯。
5.如圖，直角梯形紙ABCD，AD ⊥AB，AB =8，AD =CD =4，點e和f分別在線段AB和AD上，△AEF沿EF折疊，點a的落點記為p，當p落在直角梯形ABCD內時，PD的最小值等於。
分析如圖。經過分析探索，只有當直徑EF最大且A點落在BD上時，PD才最小。根據勾股定理求BD的長度，問題就可以解決了。
∵當點p落在梯形內∠p =∠a = 90°時，∴四邊形PF AE是由直徑為EF的圓內接的四邊形，
∴只有當直徑EF最大，且a點落在BD上時，PD最小，然後e與b點重合；PE =AB =8，BD 2=82+62=80，∴ BD = ∴ PD = 8。
題後我認為這個命題是以直角梯形為載體，以折疊變換為方法，以全等三角形的判定及其應用為核心來構造的。解決問題的關鍵是在人物的運動中把握某壹瞬間，動中求靜，靜中制動。
6.如圖∠mON = 90°矩形ABCD的頂點A和B分別在邊OM和ON上。當B在on邊上移動時，A在OM上移動，矩形ABCD的形狀不變，其中AB =2，BC =1。在運動過程中，從D點到O點的最大距離是。
分析取AB的中點E，連接OD、OE和DE。根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的壹半，可得OE =AB。然後根據勾股定理，三角形的任意兩條邊之和大於第三條邊，就可以得到最大OD交點E。解法:取AB的中點E，連接OD，OE，DE，∫∠MON = 90。
1
AB =1，2
∵BC =1，四邊形ABCD是矩形，∴AD =BC =1
∴DE
根據三角形的三邊關系，OD 當OD穿過E點時 。 。 題後思考此題考查矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線等於斜邊壹半的性質，三角形的三邊關系，勾股定理。確定OD交點AB中點的最大值是解決問題的關鍵。 7.如圖，線段AB的長度為4，C為AB上的動點，以AC和BC為斜邊在AB的同側做壹個等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，則de長度的最小值為。 設AC =x，BC = 4-x，根據等腰直角三角形的性質得到CD。 定理然後可以用匹配法求解。 解法:設AC =x，BC = 4-x， ∫△ABC和△BCD’是等腰直角三角形，∴CD. x，CD = (4-x)，根據畢達哥拉斯22 ，光盤 ′=4﹣x)，121 +(4﹣x)2 = 2﹣4x+8 =(﹣2)2+4，22 ∠∠ACD = 45，∠BCD′= 45， ∴∠DCE =90，∴DE 2=CD 2+CE 2= 根據二次函數的最大值， 當x取2時，DE取最小值，最小值為:4。所以答案是:2。 題後思考這道題考查的是二次函數的最大值和等腰直角三角形，不難。關鍵是掌握匹配法求二次函數的最大值。8.如圖，在菱形ABCD中，AB =2，∞∠A = 120，點P，Q，K分別是線段BC，CD，BD上的任意點，則PK+QD。 分析了根據軸對稱確定最短路徑的問題，以點p’為關於BD的對稱點，連接p’q和BD的交點為求點k，然後根據直線外的壹點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質，可以知道p’q⊥CD時PK +QK的最小值，進而求解。 解:如圖，ab = 2，∝∠a = 120，∴點p '到CD的距離為 ∴PK +QK 題後思考此題考查了菱形的性質，以及利用軸對稱確定最短路徑的問題，記憶菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路徑的方法是解題的關鍵。 9.如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為BC邊上的任意壹點(可與B、C重合)，B、C、D取為射線AP的垂線，垂足分別為B’、C’和D’，因此BB’+CC’+DD’的取值範圍為。 首先，連接AC和DP。由正方形的邊長ABCD為1，我們可以得到:S △ADP =S △ABP +S △ACP =S △ABC = 11S平方ABCD =，22 111 s的平方ABCD =，然後就可以得到AP？(BB '+CC '+DD ')=1，由1≤AP變更而來。 222 答案。 解決方法:連接交流，直流。 ∫四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的邊長是1，∴AB =CD，s正方形ABCD =1，∫s△ADP = 1111S平方ABCD =，S △ABP +S △ACP =S △ABC =S平方ABCD =，2222。 ∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1， 1111 AP？BB′+AP？CC′+AP？DD′= AP？(BB′+CC′+DD′)= 1，2222 2 那麽BB '+CC '+DD '=， 美國聯合通訊社(Associated Press) ∫1≤AP ∴ ∴當p和b重合時，存在壹個最大值2；當p和c BB′+CC′+DD′≤2。 BB′+CC′+DD′≤2。 題後思考，本題考查正方形的性質、面積和等積變換。這個問題比較難，解決的關鍵是連接AC和DP。根據題意，S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，然後BB′+CC′+DD′= 2.美國聯合通訊社(Associated Press) 10.如圖，在菱形ABCD中，∠ A = 60，AB =3，半徑⊙A和⊙B分別為2和1，P，E，F分別為邊CD，⊙A和⊙B上的動點。 通過分析菱形和切圓的性質，得出P和D重合時PE +PF的最小值，然後求解。解:從題意可以得出，當P和D重合時，E在AD上，F在BD上，PE +PF最小，連接BD。 in∫鉆石ABCD，∠ a = 60， ∴AB =AD，那麽△ABD是等邊三角形，∴BD =AB =AD =3 ⊙A和⊙B的半徑分別為2和1，∴PE =1，DF =2， ∴PE +PF的最小值是3。所以答案是3。 題後思考這個問題主要考察菱形的性質和兩個相切圓的性質，根據題意得出P點的位置是解題的關鍵。