(例1)，，，，也就是說，任何數都是由質數組成的。
(例2) 2 = (1× 2)，3，5，7，11 …都是質數，而4，6，8不是質數(因為至少有2的因子)。
由於素數本身的奇異性，人們無法掌握其出現的規律，把握其特征，甚至不知道其實際分布。簡單來說，給壹個正整數，妳無法知道它是不是素數，即使妳窮盡了所有方法證明它不可能是素數，妳也無法分解它。比如:211-1=2047可以分解成. 267-1。據說美國數學家弗蘭克·內隆·科爾花了三年多的時間才發現它。自然，“計算機時代”仍在到來，只有靠無限的耐心和毅力。再加上壹對比計算次數還長的訓練。但是用電腦好像也好不到哪裏去。字數增加了，難度不變。1931年D.H. Lehmar證明了2257-1是壹個大合數。大！還不錯。等於231，584，178，474，632，390，847，141，970，017，375，815。
539,969,331,281,128,078,915,168,015,826,259,279,871
大量的78位數字，至今無人或計算機能分解！
所以，雖然知道壹個數是不是素數可能用處不大，但還是很有意思的，至少在求的過程中會引起很多方法論的問題。
素數的特征
1的質數除了2壹定是奇數(換句話說，2是最小的質數，也是唯壹的偶數)。
2“1”不是質數。
3《算術基本定理》:任何大於1的整數都必須分解為質因數的乘積，表示方法唯壹。
素數的個數及其解法
1歐幾裏德證明“必有無窮多個素數”
2“eratostenes”過濾套管
如果妳想要壹個2到n的質數，只需檢查n是否能被不大於的質數整除。判斷313是否是素數，只需檢查313是否能被小於等於17的素數整除即可。
有特殊類型的素數嗎？
梅森素數:如果是素數，稱為(但素數不壹定是素數，
比如有38個非質數，比如3，7，31，127等。，仍在搜索中…
費馬素數:當n=0到4時，鍵入如。(但質數不壹定是類型，例如。
如果n=5，則為非質數。)
筆記類型叫費馬數，費馬素數只有3，5，17，257，65537。
可以用壹個公式來表示所有的質數嗎？
(1)歐拉::當x=0，1，2…40時，可以得到41個素數。
(1)勒尤尼::當x=0，1，2…28時，可以得到29個素數。
當x=0，1，2…79時，可以得到80個素數。
當x=1，2…11000時，可以得到11000個素數。
然而，沒有壹個多項式能表示所有的素數。
妳為什麽要尋找質數
“既然有無窮多個素數，為什麽數學家要花這麽大的力氣去尋找更大的素數？”
簡單來說，數學家和普通人壹樣。“妳有收集東西的愛好嗎”“妳喜歡在比賽中獲得名次嗎”都是原因。要回答這個問題，可以從幾個方向來解釋。
壹，這是傳統！
歐幾裏得在公元前300年就開始了這種追求！他在《幾何素數》中提到完全數的概念，與馬西尼素數有關，打開了研究的大門。後來，費馬、歐拉、馬西尼、笛卡爾等偉大數學家相繼投身於這壹追求。在尋找大素數的過程中，對基礎數論幫助很大，所以這種尋找的傳統值得延續~
第二，它的附加值！
因為美國的政治目的，有把人送上月球的創舉。但是對大素數的追求，比如馬西尼素數，對社會的影響是持續的。它的附加值在於不斷推動科學技術的進步和人們日常生活中有用的東西和材料的研發，改善教育建設使生活更有生產力。在尋找和記錄馬西尼素數的過程中，教師可以引導學生進行研究，這可以讓學生將研究的精神應用到他們的工作和項目中。
第三，人都喜歡美好稀有的東西！
如上所述，歐幾裏得開始這種追求後，它是如此的稀有(已知的有30多種，還在尋找)，不僅如此，它也是美麗的；數學中的“美”是什麽？比如，人們想證明它簡短明了，它能融合舊知識讓妳認識新東西！馬西尼素數的形式和證明都符合上述要求。
第四，大榮耀！
為什麽運動員要不斷追求更高、更快、更遠？他們希望能在工作中運用這些技能嗎？不，他們都渴望競爭和勝利！陡峭的懸崖和高聳的山峰對於喜歡攀巖和爬山的人來說有著不可抗拒的魅力，對數學的探索也是如此。看著壹個難以想象的巨大數字竟然是質數時的感覺是壹樣的，所以繼續尋找下壹個的欲望是無法用語言來描述的。
人當然需要務實，但也需要好奇心和不斷努力進取的精神。
第五，計算機的測試！
計算機發明後，人們可以通過計算機計算找到馬西素數，因為測試壹個已知的素數需要十億次以上的計算(計算機當然快)。這是測試電腦穩定性的好時機。當托馬斯精確計算孿生素數常數時，英特爾的奔騰處理器被發現有壹個錯誤。
第六，了解素數的分布！
雖然數學不是實驗科學，但現在我們將用例子來檢驗我們的猜測。當例子越來越多的時候，我們就會更加了解事實，素數的分布就是這樣的。比如高斯在看了素數表後猜中了素數定理，Hadamard和Pouusin分別在1896中證明:
質數是自然數的壹部分。有意思的是，自然數有多少就有多少，也有無窮多個。兩千多年前，古希臘數學家就在理論上證明了這壹點。但是，質數似乎比自然數要少得多。據統計，1到1000之間有168個素數。1000到2000之間，有135個素數；2000到3000之間，有127個素數；3000到4000之間，只有120個素數，越往後，素數就越稀少。那麽，如何從自然數中求素數呢？公元前三世紀，古希臘數學家厄拉多塞發明了壹種非常有趣的方法。厄拉多塞經常在畫有白臘的木板上寫表格，當他遇到需要劃掉的數字時，他會找到它們。隨著合數壹個接壹個地被劃掉，棋盤變得千瘡百孔，就像壹個神奇的篩子，篩掉合數，留下質數。因此，人們把這種求素數的方法稱為“埃拉托塞尼篩法”。
1.我們把1到100的自然數按順序列成壹百個表(如下表所示)。
2.先劃掉1，因為1既不是質數，也不是合數。
3.下壹個數是2，是最小的質數，應該保留。但是，2的倍數壹定不能是質數，應該完全劃掉。也就是從2開始，每個1的數都劃掉。
4.在剩下的數字中，3是第壹個沒有被劃掉的數字。這是壹個質數，應該保留。但是，3的倍數壹定不能是質數，應該完全劃掉。即從3開始，每隔2個數劃掉1。
5.剩下的數字中，4被劃掉了，剩下的數字5成為第壹個沒有被劃掉的數字。這是壹個質數，應該保留。但5的倍數壹定不能是質數，要完全劃掉；即從5開始，每隔4個數劃掉1。
6.模仿步驟1 ~ 5，繼續排，表上最後剩下的數是1~100之間的質數。
埃拉托塞尼篩選法
這種方法是世界上最古老的尋找質數的方法。它的原理很簡單，使用起來也很方便。現在，通過改進的Elatoseni篩選法，數學家們已經篩選出了6543.8+0億以內的所有素數。據說希臘和中國從周朝就開始問如何求質數的問題。以下是壹些初步的疑問。
質數是無限的。這壹點早就證明了。因為如果P1 = 2，P2 = 3，pn是前n個素數，那麽新數必須除以壹個不等於p1=2，p2=3，PN和PN中任何壹個的新素數，所以pn+1存在。和
舉個例子，
但是30031=59 x 509
證明了，不壹定是質數。
認為
f(n)中有無窮多個素數還是f(p)中有無窮多個合數？
如何證明n是素數？
傳統的“篩選法”是驗證數字n的任何可能因素，並將其簡化；只過濾所有小於的質數。也就是說，如果n是壹個合數，那麽壹定有小於的質因數，比如3，5，7，11，13等等。目前已經有了零敲碎打檢查素數的方法，但是仍然沒有完美的解決方案。
費馬猜想
17世紀，有壹個法國律師叫費馬(費馬，1601-1665)。他非常喜歡數學，經常利用業余時間研究高等數學問題。結果成就斐然，被稱為“業余數學家之王”。費馬學數學的時候，不喜歡搞數學。他以豐富的想象力和深刻的洞察力，提出了壹系列重要的數學猜想，深刻影響了數學的發展。他的費馬大定理幾百年來吸引了無數數學家，直到1994才被美國普林斯頓大學的懷爾斯證明。
在1640中，他提出了壹個公式:“2+1”。他查了n等於1比4的情況，發現都是質數後(如下表所示)，直接猜測只要n是自然數，公式就壹定是質數。"
n
2+1
1
2+1=5(質數)
2
2+1=17(質數)
三
2+1=257(質數)
四
2+1=65537(質數)
1.費馬最喜歡的數學分支是數論。他深入研究了素數的性質，發現了壹個有趣的現象。計算=是質數嗎？
2.那是多少錢？是質數嗎？
3.說吧，這是什麽？是質數嗎？
最後是什麽？是質數嗎？
回答:
=5;這是壹個質數。
=17;這是壹個質數。
=257;這是壹個質數。
=65537;這是壹個質數。
費馬當年沒有繼續計算。他猜測，只要n是自然數，這個公式導出的數壹定是質數；這是壹個著名的猜想，因為n = 5後計算起來很麻煩，很少有人驗證。
1732年，大數學家歐拉認真研究了這個問題。他發現如果進壹步計算壹個自然數，費馬就不全是質數了。
當n = 5時，= = 4294967297，4294967297可分解為641×6700417，不是素數。也就是說，費馬猜想不可能是求素數的公式。事實上，數千年來，數學家們壹直在尋找這樣壹個公式。但是直到現在，沒有人發現這樣的公式，也沒有人發現這樣的公式壹定不存在的證據；這樣的公式是否存在，已經成為壹個著名的數學問題。
費馬是數學史上非常重要的人物。雖然費馬公式是錯的，但數學家們從另壹個方向尋找大素數，即“如果2-1是素數，那麽N=2(2-1)壹定是完全數。”所以數學家們試圖檢查不同的數字。當時沒有電腦幫忙，所以很多結果都是錯的。17世紀，壹位法國天主教僧侶馬塞尼提出，當n不大於257時，* *有11個素數。雖然他的結果也是錯誤的，但後人以‘2-1’的形式稱這個素數為‘梅森素數’。"
費馬定理
費馬試圖找到壹個求質數的公式，但是失敗了。發現他無意中提出的另壹個猜想對尋找素數非常有用。
費馬猜想；如果是素數，那麽，對於任意自然數n，()壹定是可整除的。這壹次費馬是對的，這個猜想叫做費馬大定理。比如11是質數，2是自然數，所以()必須能被11整除。
利用費馬定理，這是目前識別素數最有效的方法。判斷壹個數n是否是質數，首先要看它是否能被()整除。如果不是，它必須是壹個合數。如果它是整除的，它“很可能”是壹個素數。現在在電子計算機上使用這種新方法，通常只需要15秒就能識別出壹個有幾百位數的數是否是質數。
素數公式表
F(x)公式
設f(x)成為100以下的合數的x值。
總數
x2-79+1601
80, 81, 84, 89, 96
五
x2+x+41
40,41,44,49, 56, 65, 76,81,82,84,87,89,91,96
14
2x2+29
29, 30, 32, 35, 39,44, 50, 57, 58, 61,63, 65,
25
72,74,76, 84,87, 88, 89,91,92,94,95, 97, 99
6x2+6x+31
29, 30, 31, 34, 36,41,44, 51, 55, 59, 61, 62,
25
64,66, 69,76,80, 84, 86.87, 88, 92, 93, 97, 99
3x2+3x+23
22,23,27, 30, 38,43, 44,45,46,49, 51, 55, 56, 59,
28
62,66,68, 69,70,78, 85, 87, 88, 89, 91,92,95,96
像素數公式x2+x+41，可以找到40個連續的素數(從0到39)。有沒有壹個素數公式f=x2+x+b，可以使(b-1)個連續的X值使f(x)都是素數？有人用電腦查了壹下有沒有。
現在數學家在素數領域有兩個重要的研究方向:壹是利用各種更高效的篩選方法，在更大的數中不斷尋找素數；另壹個是尋找壹個新的“梅森素數”。到了1996，數學家通過計算機運算已經知道1020以內有多少個素數。另壹方面，1999年6月，數學家還發現了第38個梅森素數:26972593-1，這也是迄今為止發現的最大的素數！是2098960的號碼。