已知X，Y，Z為實數，xyz=1。證明X 2+Y 2+Z 2+3大於等於2(xy+xz+yz)。
PF1:由舒爾不等式導出
∑x(x-y)(x-z)>=0
3xyz+∑x^3>；=∑x^2y+∑xy^2
=∑xy(x+y)>=∑x^(3/2)y^(3/2)
設x = a (2/3)，y = b (2/3)，z = c (2/3)。
妳得到公式來證明。
PF2:
就當x，y，z y，z都是正數，滿足x 2+y 2+z 2
設x = a 2，y = b 2，z = c 2。
那麽a，b，c就是三角形的三條邊。
問題轉化為已知的abc=1來證明三角形面積小於等於√3/4。
設外接圓的半徑為R，面積為s。
問題轉化為證明如果RS=1/4，那麽S
而這可以通過3 √ 3/4r 2 >來確定:Get =S
PF3:
因為X ^ 2Y ^ 2Z ^ 2 = 1，所以X ^ 2，Y ^ 2，Z ^ 2中壹定有兩個都大於1或者小於1。讓這兩個數字
X 2，y 2，則(1/x2-1)(1/y2-1)≥0。
x^2+y^2+z^2+3-2(xy+xz+yz)=(x-y)^2+(1/x-1)^2+(1/y-1)^2+(1/x^2-1)(1/y^2-1)≥0