設p為δABC中的任意壹點，p到δABC的BC，CA，AB的距離分別為PD=p，PE=q，PF=r，Pa = X，Pb = Y，PC = Z。那麽x+y+z≥2*(p+q+r)
證明如下:
因為P，E，A，F是四個* * *圓，PA是直徑，所以有:EF=PA*sinA。
在δPEF中，根據余弦定理:
EF^2
=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)
=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinc+r*sinb)^2-(q*cosc-r*cosb)^2
≥(q*sinC+r*sinB)^2，
所以有PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，
也就是
PA = x≥q *(simC/sinA)+r *(sinB/sinA)(1)。
同樣地:
PB = y≥r *(sinA/sinB)+p *(sinC/sinB)(2)，
PC = z≥p *(sinB/sinC)+q *(sinA/sinC)(3).
(1)+(2)+(3):
x+y+z
≥p *(sinB/sinC+sinC/sinB)+q *(simC/sinA+sinA/sinC)+r *(sinA/sinA+sinB/sinA)
≥2*(p+q+r).
這個提議成立。
這個題目很有道理，題目和證明過程都很有收藏價值。希望能掌握並靈活運用。
祝您愉快！