分類:? 傳統計算機視覺
目錄
寫在前面
仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪切、反射
變換矩陣形式
變換矩陣的理解與記憶
變換矩陣的參數估計
參考
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2D圖像常見的坐標變換如下圖所示：
這篇文章不包含 透視變換 （projective/perspective transformation），而將重點放在 仿射變換 （affine transformation），將介紹仿射變換所包含的各種變換，以及變換矩陣該如何理解記憶。
仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪切、反射
仿射變換包括如下所有變換，以及這些變換任意次序次數的組合 ：
平移 （translation）和 旋轉 （rotation）顧名思義，兩者的組合稱之為 歐式變換 （Euclidean transformation）或 剛體變換 （rigid transformation）；
放縮 （scaling）可進壹步分為 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每個坐標軸放縮系數相同（各向同性），後者不同；如果放縮系數為負，則會疊加上 反射 （reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；
剛體變換+uniform scaling 稱之為， 相似變換 （similarity transformation），即平移+旋轉+各向同性的放縮；
剪切變換 （shear mapping）將所有點沿某壹指定方向成比例地平移，語言描述不如上面圖示直觀。
各種變換間的關系如下面的venn圖所示：
通過變換矩陣可以更清晰地看出這些變換間的關系和區別。
變換矩陣形式
沒有平移或者平移量為0的所有仿射變換可以用如下變換矩陣描述：
[x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy]
不同變換對應的a,b,c,da,b,c,d約束不同，排除了平移變換的所有仿射變換為 線性變換 （linear transformation），其涵蓋的變換如上面的venn圖所示，其特點是 原點位置不變 ， 多次線性變換的結果仍是線性變換 。
為了涵蓋平移，引入 齊次坐標 ，在原有2維坐標的基礎上，增廣1個維度，如下所示：
x′y′1=ad0be0cf1?xy1[x′y′1]=[abcdef001][xy1]
所以，仿射變換的變換矩陣統壹用ad0be0cf1[abcdef001]來描述，不同基礎變換的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f約束不同，如下所示：
此外，旋轉和平移相乘得到剛體變換的變換矩陣，如下，有3個自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），這裏旋轉方向為逆時針方向，因此與上圖中的正負號不同，
cos(θ)sin(θ)0?sin(θ)cos(θ)0txty1?xy1=x′y′1[cos?(θ)?sin?(θ)txsin?(θ)cos?(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]
再乘上uniform scaling得到相似變換，有4個自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下：
scos(θ)ssin(θ)0?ssin(θ)scos(θ)0txty1?xy1=x′y′1[scos?(θ)?ssin?(θ)txssin?(θ)scos?(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]
自然，仿射變換的變換矩陣有6個自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。
變換矩陣的理解與記憶
坐標系 由 坐標原點 和 基向量 決定， 坐標原點 和 基向量 確定了，坐標系也就確定了。
對於坐標系中的位置(x,y)(x,y)，其相對坐標原點在[1,0][1,0]方向上的投影為xx，在[0,1][0,1]方向上的投影為yy——這裏投影的意思是過(x,y)(x,y)做坐標軸的平行線與坐標軸的交點到原點的距離，即(x,y)(x,y)實際為：
[xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy]
當坐標系變化，坐標系中的點也跟著變化 ，但 點相對新坐標系 （x′?y′x′?y′坐標系） 的位置不變 仍為(x,y)(x,y)，以旋轉變換為例，新坐標軸的基向量則變為[cos(θ),sin(θ)][cos?(θ),sin?(θ)]和[?sin(θ),cos(θ)][?sin?(θ),cos?(θ)]，所以點變化到新位置為：
[x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[?sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)?sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos?(θ)sin?(θ)]+y[?sin?(θ)cos?(θ)]=[cos?(θ)?sin?(θ)sin?(θ)cos?(θ)][xy]
新位置和新基向量是相對絕對坐標系(x?yx?y坐標系）而言的。其他變換矩陣同理。
總結壹下：
所有變換矩陣只需關註壹點： 坐標系的變化 ，即 基向量和原點的變化 ；
坐標系變化到哪裏，坐標系中的所有點也跟著做同樣的變化 ；
坐標系的變換分為? 基向量的變化 ?以及? 坐標原點的變化 ，在仿射變換矩陣ad0be0cf1[abcdef001]中，?[ad][ad]和[be][be]為新的基向量，[cf][cf]為新的坐標原點，先變化基向量，再變化坐標原點；
這時再對照上面的各種變換矩陣，就很好理解了。
變換矩陣的參數估計
如果給定兩個對應點集，如何估計指定變換矩陣的參數？
壹對對應點可以列兩個線性方程，多個對應點可以列出線性方程組，為了求解參數，需要的對應點數至少為自由度的壹半，多個點時構成超定方程組，可以基於最小二乘或者SVD分解等方法進行求解，這裏不再展開。
參考
Image Alignment and Stitching: A Tutorial
wiki: Affine transformation
Geometric Transformation
Coordinates and Transformations
Transformations
Geometric Transformations
Image Geometry
原文鏈接： blogs.com/shine-lee/p/10950963.html