三階行列式的定義是
| a 11 a 12 a 13 |
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|
= a 11 * a22 * a33+a 12 * a23 * a 31+a 213-a 31 * a22 * a 13-a 21 * a 12 * a33-a32 * a 23 * a 1
n階行列式可以用歸納法定義。定義壹階行列式|a| = a，假設之前已經定義了(n-1)階行列式，那麽n階行列式可以用行列式按第壹行展開的公式來定義。當然，還有壹些其他的定義。都很長，這裏就不寫了。
最常見的應用是根據克拉默定律用行列式解N維線性方程組，但這種方法確實是壹種很笨的解方程方法，而且大多數情況下不如加減消元法簡單。例如，對於二元線性方程
a1*x + b1*y = c1
a2*x + b2*y = c2
解決方法是
x = D1/D
y = D2/D
在…之中
D =
|a1 b1
|a2 b2|
D1 =
|c1 b1
|c2 b2|
D2 =
|a1 c1
|a2 c2|
行列式還可以用來求方陣的秩和逆，這是線性代數的基本內容。行列式本身就是線性代數的壹個概念。
行列式在解析幾何中也是常用的。例如，平面上三角形的面積是壹個三階行列式:
|x1 y1 1
|x2 y2 1| ÷ 2
|x3 y3 1|
其中，yi，zi是三個頂點的坐標。
在物理學中，行列式也常用來簡化壹些公式。行列式也是工程中強有力的分析工具。