希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發現密切相關。所以，我們先從勾股定理說起。勾股定理是歐幾裏得幾何中最著名的定理之壹。天文學家開普勒曾稱它為歐幾裏得幾何中兩顆明亮的珍珠之壹。它廣泛應用於數學和人類實踐中，也是人類最早承認的平面幾何定理之壹。在我國，最早的天文數學著作《周丕哀經》對這壹定理有了初步的認識。但是，勾股定理在中國的證明是後來的事情。直到三國時期，趙爽使用面積切割提供了第壹個證明。
在國外，古希臘的畢達哥拉斯最先證明了這個定理。所以在國外壹般稱為“畢達哥拉斯定理”。也有人說畢達哥拉斯完成這個定理後欣喜若狂，殺了100頭牛慶祝。因此，這個定理也獲得了壹個神秘的稱號:“百牛定理”。
畢達哥拉斯
畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘著名的數學家和哲學家。他曾經創立了壹個集政治、學術和宗教於壹體的神秘主義學派:畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯提出的著名命題“壹切都是數”是這個學派的哲學基石。“所有的數都可以表示為整數或整數的比值”是這個學派的數學信念。然而具有戲劇性的是，畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯數學信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出後，其學派成員希帕索斯考慮了壹個問題:邊長為1的正方形的對角線長度是多少？他發現這個長度不能用整數或分數來表示，只能用壹個新的數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第壹個無理數√2的誕生。小√2的出現在當時的數學界掀起了壹場巨大的風暴。直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，讓畢達哥拉斯學派人心惶惶。事實上，這壹偉大發現不僅是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。這對當時所有古希臘人的思想都是壹個巨大的沖擊。這個結論的悖論在於它與常識的沖突:任何量都可以表示為任意精度範圍內的有理數。這不僅在當時的希臘是壹個被廣泛接受的信念，即使是在測量技術已經高度發達的今天，這個論斷也無壹例外的正確！但是，被我們的經驗所信服，完全符合常識的結論，卻被壹個小小的√2的存在推翻了！這應該是多麽違背常識，多麽可笑！它只是顛覆了以前的認識。更糟糕的是，面對這種荒謬，人們無能為力。這直接導致了當時人們的認識危機，從而引發了西方數學史上的壹場大風暴，被稱為“第壹次數學危機”。
歐多克索斯
兩百年後，大約公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立了壹套完整的比例理論。他自己的著作已經失傳，他的成果保存在歐幾裏得的《幾何原本》第五章。歐多克索斯的巧妙方法可以避免無理數的“邏輯醜聞”，保留壹些相關結論，從而解決了無理數的出現帶來的數學危機。而eudoxus的解法是借助幾何方法直接避開無理數實現的。這是對數字和數量的僵硬肢解。在這種解決方案下，無理數的使用僅在幾何中是允許且合法的，但在代數中是非法且不合邏輯的。或者說無理數只是被當作附加在幾何量上的簡單符號，而不是實數。直到18世紀，數學家證明了圓周率等基本常數是無理數，越來越多的人支持無理數的存在。19世紀下半葉，在建立了現在意義上的實數理論後，徹底弄清了無理數的本質，無理數才真正在數學花園裏生根發芽。無理數在數學中合法地位的確立，壹方面將人類對對數的認識從有理數擴展到實數，另壹方面真正徹底圓滿地解決了第壹次數學危機。
貝克勒悖論與第二次數學危機
第二個數學危機源於微積分工具的使用。隨著人們對科學理論和實踐認識的提高，微積分這壹尖銳的數學工具在十七世紀幾乎同時被牛頓和萊布尼茨獨立發現。這個工具壹出來，就顯示出了它非凡的威力。使用這個工具後，許多難題變得容易了。但是牛頓和萊布尼茨的微積分理論都不嚴格。他們的理論都是建立在無窮小分析的基礎上，但他們對無窮小這壹基本概念的理解和應用是混亂的。因此，微積分從誕生之日起就受到壹些人的反對和攻擊。其中，攻擊最猛烈的是英國大主教貝克勒。
貝克勒主教
1734年，貝克勒出版了壹本書，書名很長《分析師；或者給壹個無神論數學家的論文，考察現代分析科學的對象、原理和結論是否比宗教的奧秘和信仰的要點表達得更清楚或更明顯。在這本書中，貝克勒抨擊了牛頓的理論。比如他指責牛頓，為了計算比如x2的導數，把X取為不為0的增量δX，然後得到(X+δX)2-x2，再除以δX得到2x+δX，最後突然把δX取為0，得到的導數為2x。這就是“依靠雙重錯誤得到不科學但正確的結果。“因為在牛頓的理論中，無窮小壹會兒說為零，壹會兒說不為零。所以，貝克勒嘲諷無窮小是“死量的幽靈”。貝克勒的攻擊雖然來自於維護神學的目的，但確實抓住了牛頓理論中的缺陷，切中要害。
在數學史上，貝克勒問題被稱為“貝克勒悖論”。壹般來說，貝克勒悖論可以表述為“無窮小是否為零”:對於當時無窮小的實際應用來說，必須是既為零又不為零。但就形式邏輯而言，這無疑是壹個矛盾。這個問題的提出引起了當時數學領域的壹些混亂，導致了第二次數學危機。
牛頓和萊布尼茨
牛頓和萊布尼茨都試圖通過完善自己的理論來解決貝克勒的攻擊，但都沒有完全成功。這讓數學家們陷入了尷尬的境地。壹方面，微積分在應用上取得了巨大的成功；另壹方面，它有自己的邏輯矛盾，即貝克勒悖論。在這種情況下，微積分的選擇是什麽？
“勇往直前，勇往直前，妳會獲得信仰！”達朗貝爾吹響了奮勇前進的號角。在這壹號角的鼓舞下，18世紀的數學家們開始更多地依靠直覺來創造壹個新的數學領域，而不顧基礎和論證的不嚴密。於是出現了壹系列新方法、新結論和新分支。經過壹個多世紀的長途跋涉，在達朗貝爾、拉格朗日、伯努利家族、拉普拉斯、歐拉等幾位代數家的努力下，開墾了數量驚人的處女地，微積分理論得到了空前的豐富。18世紀有時甚至被稱為“分析的世紀”。但與此同時，十八世紀的粗糙和不嚴謹的工作也導致了越來越多的謬誤，不和諧的雜音開始撼動數學家的神經。我們就以壹個無窮級數為例吧。
無窮級數S = 1-1+1-1+1...到底是什麽？
當時人們認為壹方面S =(1-1)+(1-1)+...= 0;反之，s = 1+(1-1)+(1-1)+......= 1，那麽不是0 = 1嗎？這個矛盾困惑了傅立葉這樣的數學家，甚至後來被稱為數學家英雄的歐拉也在這裏犯下了不可饒恕的錯誤。他得到了
1 + x + x2 + x3 +.....= 1/(1- x)
之後設x =-1，得到
s = 1-1+1-1+1………= 1/2！
從這個例子中，不難看出當時數學的混亂局面。問題的嚴重性在於，當時分析中的任何細節問題，如級數、積分的收斂、微分積分的換階、高階微分的使用、微分方程解的存在性等，幾乎都被忽略了。特別是19世紀初，傅立葉理論直接暴露了數理邏輯的基本問題。這樣，消除不和諧，重新建立在邏輯基礎上的分析，就成了數學家們的當務之急。到了19世紀，批判、系統化和嚴謹論證的必要時期到來了。
柯西
使分析基礎嚴謹化的第壹步是由法國著名數學家柯西邁出的。柯西在1821年開始發表幾部劃時代的著作和論文。給出了壹系列分析基本概念的嚴格定義。比如他開始用不等式描述極限，把無窮運算變成了壹系列不等式。這就是極限概念的所謂“算術化”。後來，德國數學家維爾斯特拉斯給出了壹個更完善的“ε-δ”方法，我們目前正在使用。此外，在柯西的努力下，連續性、導數、微分、積分和無窮級數和的概念也建立在堅實的基礎上。但當時由於嚴格的實數理論沒有建立起來，柯西的極限理論還無法完善。
在柯西、維爾斯特拉斯、戴德金和康托爾之後，經過各自獨立而深入的研究，都把分析基礎歸結為實數理論，並在20世紀70年代建立了自己完整的實數系。維爾斯特拉斯的理論可以歸結為增有界數列的極限存在原理；戴德金建立了著名的德德京師；康托爾提出用有理數的“基本數列”來定義無理數。1892年，另壹位數學家首創“區間集原理”建立實數理論。從而沿著柯西開辟的道路，建立了嚴格的極限理論和實數理論，完成了分析的邏輯基礎工作。把數學分析中的不矛盾問題歸結為實數理論中的不矛盾，使微積分這座人類數學史上前所未有的宏偉建築建立在堅實可靠的基礎上。重建微積分的基礎是壹項重要而艱巨的任務，經過許多優秀學者的努力已經圓滿完成。微積分堅實基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂，同時宣告了第二次數學危機的徹底解決。
羅素悖論與第三次數學危機
19世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，該理論剛產生時就遭到了許多人的嚴厲抨擊。但很快這壹開創性的成果就被廣大數學家所接受，並贏得了廣泛而高度的贊譽。數學家發現，從自然數和康托爾的集合論出發，整個數學大廈就可以建立起來。因此，集合論成了現代數學的基石。“壹切數學成就都可以基於集合論”的發現讓數學家們陶醉。1900年，在國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊興高采烈地宣稱:“……借助集合論的概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說已經達到了絕對的嚴格……”
唱詩人領唱者
然而好景不長。1903，壹個震驚數學界的消息出來了:集合論有缺陷！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構建了壹個集合S: S是由所有不屬於自己的元素組成的。然後羅素問:S屬於S嗎？根據排中律，壹個元素要麽屬於壹個集合，要麽不屬於壹個集合。所以，對於壹個給定的集合，問它是否屬於自己是有意義的。但這個看似合理的問題，答案會陷入兩難。如果s屬於s，根據s的定義，s不屬於s；另壹方面，如果S不屬於S，那麽根據定義，S也屬於S。無論如何都是矛盾的。
羅素
事實上，這個悖論在羅素之前的集合論中就已經發現了。比如在1897中，Burali和Folthy提出了最大序數悖論。1899年，康托爾本人發現了最大基數悖論。但由於這兩個悖論在集合中涉及到很多復雜的理論，所以只在數學領域產生了很小的漣漪，未能引起很大的關註。羅素悖論則不同。非常簡單易懂，只涉及集合論中最基本的東西。所以羅素悖論壹提出就在當時的數學界和邏輯界引起了極大的震動。例如，g .弗雷格在收到羅素介紹這壹悖論的信後悲傷地說:“壹個科學家遇到的最不愉快的事情，就是他的基礎在工作結束時崩塌。拉塞爾先生的壹封信就讓我陷入了這種境地。”戴德金因此推遲了他的文章《數字的本質和功能是什麽》的第二版。可以說，這個悖論就像是在數學平靜的水面上扔了壹塊巨石，它引起的巨大反響導致了第三次數學危機。
危機過後，數學家們提出了自己的解決方案。希望通過限制集合的定義來改造康托的集合論，消除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以確保消除所有的矛盾；另壹方面，它必須足夠寬泛，以便康托爾集合論中所有有價值的內容都可以保留下來。”1908年，策梅羅根據自己的原理提出了第壹個公理化集合論體系，後來被其他數學家改進，稱為ZF體系。這個公理化的集合論體系在很大程度上彌補了康托樸素集合論的缺陷。除了ZF系統，集合論還有許多公理系統，如Neumann等人提出的NBG系統。公理化集合系統的建立成功地排除了集合論中的悖論，從而成功地解決了第三次數學危機。但另壹方面，羅素悖論對數學的影響更為深遠。它使數學的基本問題第壹次以最迫切的需求擺在數學家面前，引導數學家去研究數學的基本問題。這方面的進壹步發展深刻地影響了整個數學。比如圍繞數學基礎的爭論，在現代數學史上形成了三個著名的數學學派，每個學派的工作都推動了數學的大發展。
以上簡單介紹了數學史上三次數學悖論引發的數學危機和經歷，從中我們不難看出數學悖論對數學發展的巨大推動作用。有人說，“提出問題是解決問題的壹半”，而數學悖論正是數學家無法回避的。它對數學家說:“解決我，否則我會吞下妳的系統！”"正如希爾伯特在《論無限》壹文中指出的那樣:"必須承認，面對這些悖論，我們目前所處的局面是不能長期容忍的。人們想象在數學這個被稱為可靠性和真值的模型中，每個人都學過、教過、應用過的概念結構和推理方法會導致不合理的結果。如果連數學思維都失敗了，我們該去哪裏尋找可靠性和真實性？“悖論的出現迫使數學家投入最大的熱情去解決它。在解決悖論的過程中，各種理論應運而生:第壹次數學危機導致公理幾何和邏輯的誕生；第二次數學危機促進了分析基礎理論的完善和集合論的建立；第三次數學危機促進了數理邏輯的發展和壹批現代數學的出現。數學由此蓬勃發展，這可能就是數學悖論的重要意義。
悖論列表
1.理發師悖論(羅素悖論):壹個村子裏只有壹個人理發，村子裏所有人都需要理發。理發師規定，只給不自己理發的人理發。問:理發師給自己理發嗎？
如果理發師自己剪頭發，就違反了他的約定；如果理發師不剪自己的頭發，那麽按照他的規定，他應該重新剪自己的頭發。這樣，理發師就進退兩難了。
2.芝諾悖論——阿喀琉斯和烏龜:公元前5世紀，芝諾利用他關於無窮、連續和部分和的知識，引發了下面這個著名的悖論:他提出阿喀琉斯和烏龜應該進行壹場賽跑，烏龜應該比阿喀琉斯領先65，438+0，000米起跑。假設阿喀琉斯能跑得比烏龜快10倍。比賽開始，阿基裏斯跑1000米的時候，烏龜還在他前面。當阿喀琉斯跑完下壹個100米時，烏龜仍然領先他10米...所以，阿喀琉斯永遠也追不上烏龜。
3.說謊者悖論:公元前6世紀，古希臘克裏特島的哲學家埃庇米尼得斯斷言，“所有克裏特人所說的壹切都是謊言。”
如果這句話是真的，那麽也就是說，克裏特人伊梅嫩德斯說了真話，但這與他的真話相反——所有克裏特人所說的壹切都是謊言；如果這句話不是真的，也就是說，克裏特人厄庇米嫩德斯說了謊，那麽真相應該是:所有克裏特人說的壹切都是真的，兩者相反。
所以很難自圓其說，這就是著名的騙子悖論。
公元前4世紀，希臘哲學家提出了另壹個悖論:“我現在說的是假的。”同上，這又很難自圓其說了！
說謊者悖論仍然困擾著數學家和邏輯學家。說謊者悖論有多種形式。我預測:“妳接下來要說的是‘不’，對吧？用‘是’或‘不是’來回答。”
再比如“我下壹句錯(對)，我上壹句對(錯)”。
4.與無限相關的悖論:
{1,2,3,4,5, ...}是自然數集:
{1, 4, 9, 16, 25, ...}是自然數平方的壹組數。
這兩組數字很容易形成壹壹對應的關系。那麽，每個集合中的元素壹樣多嗎？
5.伽利略悖論:我們都知道整體大於部分。從線段BC上的點到頂點A，每條線都會和線段DE相交(點D在AB上，點E在AC上)，所以可以得出DE和BC壹樣長，和圖矛盾。為什麽？
6.意外考試的悖論:壹個老師宣布未來五天(周壹到周五)有壹天考試，但他告訴全班同學:“妳不可能知道今天是什麽日子，下午壹點鐘到早上八點鐘才會通知妳考試。”
能告訴我為什麽考不上嗎？
7.電梯悖論:在壹棟摩天大樓裏，有壹部由電腦控制的電梯，它在同壹時間停在每壹層樓。然而，辦公室在頂樓附近的王先生說，“每當我想下樓時，我都要等很長時間。停的電梯總是上樓，很少下樓。好奇怪！”李小姐對電梯也很不滿意。她在靠近底樓的辦公室上班，每天都去頂樓的餐廳吃午飯。她說:“每當我想上樓的時候，停著的電梯總是往樓下開，很少有上樓的。真的很煩！”
這到底是怎麽回事？電梯明明在每個樓層停留的時間都壹樣，為什麽卻讓靠近頂層和底層的人不耐煩？
8.硬幣悖論:兩枚硬幣平放在壹起，上面的硬幣繞下面的硬幣旋轉半圈。結果，圖案在硬幣中的位置和開始時壹樣；不過按常理來說，繞著圈轉半圈的硬幣圖案應該是向下的！妳能解釋壹下為什麽嗎？
9.糧堆悖論:顯然，1粒小米不是堆；
如果1小米不是壹堆，那麽2小米也不是壹堆；
如果兩個小米粒不是堆，那麽三個小米粒也不是堆；
……
如果99999小米不算堆，那麽100000小米不算堆；
……
10.寶塔悖論:如果從磚塔中取出壹塊磚，它不會倒塌；畫兩塊磚，不會塌；.....當拔出第n塊磚時，塔倒塌了。現在開始在另壹個地方畫磚。和第壹次不壹樣的是，當我抽到第m塊磚的時候，塔塌了。在另壹個地方，當塔倒塌時，l塊磚不見了。以此類推，塔倒塌時損失的磚塊數量因地而異。那麽會有多少磚塔倒塌呢？
我累死了！！