為了解釋外生增長和內生增長之間的關系，考慮了勞動增強的柯布-道格拉斯生產函數。
y=k[α](al)[1-α].假設沒有折舊，那麽k = sy另外，假設勞動和技術進步的增長率分別為n和g。取生產函數的對數並推導出時間:
如果公式(2)兩端都等於零，即產出增長率只等於外生參數勞動增長率和技術進步率之和(n+g)，則為外生增長模型；如果方程(2)的兩端都是正的，那麽增長是除了外生參數n和g以外的模型本身產生的，所以是內生增長模型。新古典增長模型是壹個外生增長模型，主要原因是資本收益遞減規律的存在(即數字隨著資本存量的增加而減小)，這使得公式(2)的右端在穩態下不大於零。可見，任何內生增長模式都必須想辦法讓資本的邊際產品不至於下降太快。基本方法無非是以下兩個方面:要麽放棄新古典生產函數的核心假設(主要是資本收益遞減假設)，要麽在模型中引入其他機制，使資本的邊際產量不會下降太快。所謂的新增長理論或者內生增長理論，無非是從經濟本身尋找壹些內在的機制，讓資本回報率的下降不會降得太快。最簡單的方法就是直接拋棄資本收益遞減規律的假設，這也正是ak模型所做的。Ak模型又稱凸模型或線性模型，通過假設產出是資本存量的線性函數，放棄了資本收益遞減的假設。這類模型的主要貢獻在於揭示了“線性”對內生增長的重要性，但與新古典增長模型壹樣，並沒有深入研究技術進步的內在機制。
1.ak型號。以上說明，新古典增長模型之所以不能產生內生增長，最重要的原因是資本報酬遞減規律的存在。壹個最簡單的不存在資本收益遞減的生產函數是:y=ak，其中a > 0是反映技術水平的常數，因此得名ak模型。顯然，當α=1時，ak函數對應於柯布-道格拉斯生產函數。假設資本積累方程仍然是通常的k=sy-(n+g+δ)k，由生產函數y=ak和資本積累方程可以得到{Figure}，即人均產出和人均資本的增長率為sa-(n+g+δ)。顯然，只要SA > N+G+δ，經濟就能實現持續增長。可見，ak模型即使沒有人口增長和外生技術進步(n+g=0)，也能產生內生增長(人均產出增長率為sa-δ)。
Ak模型揭示了放棄資本報酬遞減規律如何導致內生增長。但該模型存在明顯缺陷:壹是顯得過於簡單，直接放棄資本收益遞減規律似乎不符合人們的常識；其次，模型無法預測絕對收斂或條件收斂，條件收斂顯然是經驗法則。如果只把K看作物質資本，那麽ak生產函數顯然不符合經驗規律。但如果將K理解為包括人力資本在內的廣義資本概念，生產函數壹般是合理的。另外，ak模型直接拋棄資本報酬遞減規律似乎太突兀了。然而，內生增長模型(尤其是下文描述的外部性)在很大程度上可以歸因於ak模型:在這些模型中，雖然在個體層面存在收益遞減，但由於外部性或溢出效應，在總量層面存在恒定收益或收益遞增。Ak模型有助於我們理解這些更重要的模型。
至於ak模型違背經驗規律，即條件收斂，我們可以簡單地對ak模型進行擴展，在保留資本利得不變特性的同時，恢復模型的收斂性質。這是大多數凸增長模型的實際做法(如瓊斯和林西婭惠利1990，雷貝洛1991等。).我們知道新古典生產函數可以產生收斂，ak生產函數可以產生內生增長。把兩者結合起來，就可以得到壹個既有內生增長又有收斂的經濟增長模型。比如，假設生產函數是ak函數和柯布-道格拉斯函數的組合y=ak+k[α](bl)[1-α]。當k較小時，生產函數表現出新古典生產函數的性質，但隨著k
增加，它逐漸收斂到ak形態；也就是說，生產函數具有資本報酬遞減的性質(從而收斂)，但資本邊際產量遞減有壹個下限(從而產生內生增長)。
2.外部性模型。不放棄資本報酬遞減和完全競爭假設，又產生內生增長的經濟增長模式，是基於外部性和知識溢出的增長模式。它在經濟增長理論中有著悠久的研究傳統，也是第壹輪內生增長模型的核心，在增長理論文獻中占有重要地位。這種增長模式的基本特征是:第壹，技術進步、知識積累或人力資本積累是其他經濟活動的副產品，因此不需要補償，可以維持完全競爭的分析框架；其次，單個廠商的生產函數表現為規模收益不變，但就整個經濟而言，表現為規模報酬遞增；第三，上述兩個特征決定了這種模型具有與索洛增長模型不同的政策含義，即政府政策不僅具有橫向效應，而且具有增長效應。根據外部性的不同來源，這類模型的構建有多種方式，如羅默的知識溢出模型、盧卡斯的人力資本模型和巴羅的公共產品模型等。阿羅及其後繼者提出的“做中學”模式是這種模式的重要先驅。
(1)“邊做邊學”模式。針對索洛增長模型的外生技術進步假說，阿羅試圖提出壹種“內生知識積累理論”來解釋技術進步現象。阿羅認為，知識的獲得是“學習”，是“經驗的產物”，而不僅僅是時間的函數。企業在投資和生產過程中，會逐漸積累生產經驗和更有效的生產知識，可以提高企業的生產效率；因為壹個企業獲得的生產經驗和知識也可以為其他企業所用，所以壹個企業的生產率可以看作是整個經濟總投資的函數。換句話說，知識的創造是投資的副產品(即幹中學)，知識的溢出導致整個經濟生產率的提高(即溢出效應)。換句話說，從整個經濟的角度來看，由於生產率的提高，生產過程表現出越來越大的效益。但是，因為知識的創造是投資的“副產品”，不需要補償，所以完全競爭的分析框架仍然可以維持。同時，由於生產率的提高是企業投資的“副產品”，單個廠商並不考慮其投資活動對這壹經濟生產率的影響，而是將其視為外生變量，因此其行為仍與新古典模型中廠商的行為相同。因此，通過幹中學和溢出效應(或投資的外部性)，可以得到完全競爭框架下的內生技術進步和經濟增長。
(2)羅默的知識溢出模型。在羅默那篇引起廣泛關註、重新喚起人們對增長興趣的經典論文中，羅默提出了基於知識生產的知識溢出模型和基於阿羅“幹中學”概念的知識溢出模型。羅默假設代表性企業的產出是企業知識水平k[，i]、其他有形投入x[，i](如物質資本和原始勞動)和總知識存量K: y[，i]=f(k[，i]，K，x[，i])的函數。對於單個廠商自己的投入k[，i]和x[，i]，生產函數表現為規模收益不變，滿足新古典生產函數的假設。但如果把K考慮進去，這個生產函數對代表廠商和整個經濟的意義是不同的:代表廠商把總知識水平K作為給定變量，所以生產函數表現為規模收益不變；但對於整個經濟(假設由n個同質廠商組成)，對於任意常數λ > 1，存在f (λ k [，I]，λ k，λ x [，I])>。
F (λ k [，I]，k，λ x [，I]) = λ f (k [，I]，k，x [，I])，所以生產函數y=f(k，k，x)=f(k，nk，x)是規模報酬遞增的。在這裏，總知識水平K成為外部性的來源。此外，羅默還假設K的增長率取決於K的水平和投資量(產出中不用於消費的部分)。這樣，羅默模型就像“幹中學”模型壹樣，通過知識積累的“副產品”性質和知識存量的外部性實現了內生增長。
(3)盧卡斯的人力資本模型。盧卡斯在經典論文《論經濟發展的機制》中提出並比較了三種模型:基於物質資本積累和技術進步的新古典增長模型、通過教育進行人力資本積累的內生增長模型和通過“幹中學”進行特定人力資本積累的增長模型。其中，第二種模式是
本文的核心模型稱為盧卡斯模型。其核心假設是:第壹，人力資本增長率是人們積累人力資本所花時間比例的線性函數(不同於純粹的“幹中學”模型)，從而引入人力資本生產部門；其次，勞動者的人力資本水平不僅影響自身的生產率，還影響整個社會的生產率(每個經濟個體在決策時不考慮這部分影響)，這是模型產生規模收益遞增(整個經濟水平)和政府政策增長效應的基礎。可以看出，除了第壹種假設，基本都在外部性模型和R&之間；盧卡斯模型與“做中學”模型、羅默模型除了D模型沒有本質區別。
3.r & ampd模型外部性模型通過引入知識積累或人力資本積累，並借助溢出效應獲得內生增長。r & ampd模型明確地將技術進步或創新歸結為廠商旨在獲取壟斷利益的自覺活動，並運用壟斷競爭的分析框架進行分析。羅默指出，技術有兩個不同於傳統經濟商品的特征:非競爭性和部分排他性。無競爭力意味著生產績效是規模報酬遞增；排他性的壹部分是從事R & amp；D活動的制造商提供激勵(外部性模型捕捉到了技術的第壹個特征，但未能捕捉到第二個特征)。帶r &；基於D的增長模型主要有兩種類型:壹種是把技術進步理解為產品類型的增加(如新產業的開辟)，另壹種是把技術進步理解為產品質量的提高(如同類產品的更新換代)。這兩種模式的主要區別在於，後者引入了熊彼特的“創造性破壞”概念，即新產品的出現往往意味著舊產品的淘汰。
r & ampd模型能夠提出，很大程度上得益於產業組織理論的進步，使經濟學家能夠簡潔地分析和處理規模報酬遞增和不完全競爭問題。其中，迪克西-斯蒂格利茨(d-s)模型對R&影響較大；d模型尤其具有決定性的影響。幾乎所有的r & amp；d模型吸收了迪克西特和斯蒂格利茨的技巧:要麽把創新看成是產品品種的增加，要麽把創新看成是固定產品質量的提高。其中，Grossman、Helpmann和Segstrom采用了原始的d-s函數(即把d-s函數看作效用函數)；羅默、阿洪和霍維特將其視為生產函數。
盡管有這些差異，這種模式的核心特征是研發:技術進步或創新是企業有意識地進行研發；投資的結果；創新帶來的壟斷利潤是企業從事研發的利潤。d .活動提供市場激勵；分散經濟的增長率壹般不等於社會的最優水平，政府政策具有增長效應。這幾種增長模型的主要區別是:在產品品類增長模型中，由於R &；d活動的正外部性和市場結構的不完全競爭特征，分散經濟的增長率總是低於社會最優水平；在產品質量改進模型中，由於新產品具有淘汰原有產品的“創造性破壞效應”(單個企業不考慮這種負外部性)，分散經濟下的增長率可能低於或高於社會最優增長率。
壹般來說，盡管內生增長理論顯示了各種增長模型，但大多數內生增長模型實際上都可以歸結為上述模型之壹或這些模型的某種組合。總的來說，外部性模型具有簡明、易於擴展和應用、易於計量檢驗等優點。d模型更符合人的直覺，經濟意義更好，微觀基礎更紮實。利用這些模型，我們可以根據經濟的實際情況，更深入地分析經濟增長的內在機制。在具體的研究過程中，外部性模型更適合於那些在總量水平上促進創新和技術進步的因素(如教育、經驗積累和基礎研究等。)，R &；d模型更適合於通過市場機制容易提供激勵(相對容易排除)的產業創新活動和經濟活動的分類。