1.基本性質的應用:我們知道，在任意三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別是A、B、C。根據三角形內角和定理，A+B+C=π。利用歸納公式，我們可以得到cos(π減A)=負cosA。
2.余弦定理的推導:根據上述基本性質，我們可以寫出余弦定理的公式:a=b乘以cosA+c乘以cosB，b=a乘以cosB+c乘以cosA，c=a乘以cosC+b乘以cosA。將三角形的邊長表示為角度的函數，然後將這些函數代入三角形面積公式，就可以得到這些公式。
3.三角形面積公式:我們用三角形面積公式S=1/2bc乘以sinA=1/2ac乘以sinB=1/2ab乘以sinC來證明余弦定理。通過余弦定理和三角形面積公式的比較，可以看出兩者形式相同，只是角的函數和邊長的函數互換了。這證明了余弦定理的正確性。
余弦定理的應用；
1.判斷三角形的形狀:我們可以通過余弦定理來判斷三角形的形狀。如果三角形的三條邊的長度分別為A、B和C，我們知道兩條邊的長度和它們之間的夾角A，那麽我們可以用余弦定理計算第三條邊C的長度..如果C的長度等於A和B的長度之和，那麽這個三角形就是等邊三角形。如果C的長度大於或小於A和B的長度之和，那麽這個三角形就是鈍角三角形或銳角三角形。
2.求解三角形中的未知量:余弦定理可以用來求解三角形中的未知量，如角、邊長等。例如，如果我們知道三角形的三條邊的長度是A、B和C，以及角A的大小，我們就可以用余弦定理來計算角B的大小..
3.在實際問題中的應用:余弦定理在實際問題中也有廣泛的應用，如物理、工程、航海、天文等。比如在物理學中，余弦定理可以用來計算力的合成和分解；在工程中，余弦定理可以用來計算結構中的應力和位移；在航海中，余弦定理可以用來計算航行方向和距離。