實數理論的定義:
實數連續統的嚴格描述理論。實數理論的出現源於對微積分嚴謹理論基礎的追求。早期人們對實數的認識僅限於應用，對無理數的本質認識不清，沒有嚴格的定義。微積分誕生後，隨著對變量和函數的逐漸認識，出於嚴謹性的需要，極限理論和實數理論相繼誕生。
實數理論是分析基礎的三部分之壹，另外兩部分是極限理論、變量和函數。極限理論是數學分析的基本研究方法，變量和函數是數學分析的基本研究對象。
實數理論的成功建立使分析基礎形成了壹個完整的體系，標誌著維爾斯特拉斯所倡導的分析的算術運動的完成，從而真正意義上解決了第二次數學危機。
康托實數的局限性；
1，壹個實數能出現在每個集合論模型中當且僅當它能被集合論定義。那些在集合論模型中沒有出現的實數可以稱為隱形實數。
2.在實數的十進制無限小數表示中，我們可以確切地知道它的位數是多少，但對其他實數只能有壹個模糊的認識，也就是說，我們不可能知道全部。我們可以稱之為不成文的實數。
3.康托爾關於實數不可數的證明不是壹個構造性的證明，而是所謂的歸謬法。很多都是看不見的，沒寫出來的實數，所以是虛實數。
4.虛擬實數就像銀行裏的虛擬貨幣。妳可以用它來買東西。可以從壹個賬戶轉到另壹個賬戶，但是錢這個實體不存在。這種現象也讓我們質疑壹些數學工具的合法性。我們用對角線法證明實數的基數大於自然數的基數。
但是我們並沒有真正有效地構造出這麽多實數，所以我們無法精確地定義它們。也可以說大部分都無法定義。壹般來說，虛擬實數不能單獨使用。