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康托爾的實數理論的要點是什麽?

康托爾實數理論的要點是集合論和次有限數理論。

實數理論的定義:

實數連續統的嚴格描述理論。實數理論的出現源於對微積分嚴謹理論基礎的追求。早期人們對實數的認識僅限於應用,對無理數的本質認識不清,沒有嚴格的定義。微積分誕生後,隨著對變量和函數的逐漸認識,出於嚴謹性的需要,極限理論和實數理論相繼誕生。

實數理論是分析基礎的三部分之壹,另外兩部分是極限理論、變量和函數。極限理論是數學分析的基本研究方法,變量和函數是數學分析的基本研究對象。

實數理論的成功建立使分析基礎形成了壹個完整的體系,標誌著維爾斯特拉斯所倡導的分析的算術運動的完成,從而真正意義上解決了第二次數學危機。

康托實數的局限性;

1,壹個實數能出現在每個集合論模型中當且僅當它能被集合論定義。那些在集合論模型中沒有出現的實數可以稱為隱形實數。

2.在實數的十進制無限小數表示中,我們可以確切地知道它的位數是多少,但對其他實數只能有壹個模糊的認識,也就是說,我們不可能知道全部。我們可以稱之為不成文的實數。

3.康托爾關於實數不可數的證明不是壹個構造性的證明,而是所謂的歸謬法。很多都是看不見的,沒寫出來的實數,所以是虛實數。

4.虛擬實數就像銀行裏的虛擬貨幣。妳可以用它來買東西。可以從壹個賬戶轉到另壹個賬戶,但是錢這個實體不存在。這種現象也讓我們質疑壹些數學工具的合法性。我們用對角線法證明實數的基數大於自然數的基數。

但是我們並沒有真正有效地構造出這麽多實數,所以我們無法精確地定義它們。也可以說大部分都無法定義。壹般來說,虛擬實數不能單獨使用。

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