拉格朗日插值
拉格朗日插值是n次多項式插值，通過構造插值基函數成功地解決了求n次多項式插值函數的問題。
★基本思想是把要求解的n次多項式的插值函數pn(x)改寫成另壹個表達式，然後利用插值條件(1)確定待定函數，從而求出插值多項式。
牛頓插值
牛頓插值也是n次多項式插值，提出了另壹種構造插值多項式的方法。與拉格朗日插值相比，牛頓插值具有繼承性和易於改變節點的特點。
★基本思想是把要求解的N次插值多項式Pn(x)改寫成繼承形式，然後利用插值條件(1)確定Pn(x)的待定系數，以便找到所需的插值函數。
埃爾米特插值
Hermite插值利用插值節點上未知函數f(x)的函數值和導數值來構造插值多項式。其公式化為:給定n+1個不同節點的函數值和導數值x0，x1，...，xn，求2n+1次多項式(x
H2n+1(xk)=yk
H'2n+1(xk)=y'k k=0，1，2，…，⒀北部
上面得到的H2n+1(x)稱為2n+1次Hermite插值函數，壹般與插值函數關系更密切。
★基本思路
利用拉格朗日插值函數的構造方法，先設定函數形式，然後利用插值條件得到插值函數。
分段插值
插值多項式的余數公式表明，插值節點越多，誤差越小，函數越逼近越好。然而後來發現事實並非如此。比如取x=5-5/n點的插值函數，分別取n = 2，6，10，14，18計算f(。
從表中可以看出，誤差lRn(x)l不僅沒有隨著節點數N的增加而減小，反而不斷增加。這個例子最早是由龍格研究出來的，後來人們把這種節點加密但錯誤增加的現象稱為龍格現象。龍格現象的主要原因是，當節點數N較大時，對應壹個高階插值多項式，這種差異就積累“淹沒”了，以增加節點約簡的精度。龍格現象否定了高階插值的使用。
分段多項式插值定義為
定義2: a = x0
如果函數φ (x)滿足條件
I) φ (x)在[a，b]上是連續的
ii)φ(xr)= yR，R =0，1，…，n
Iii)每個單元之間的φ (x) zai [xR，xR+1]是m次多項式，
R=0，1，…，n-1，則φ (x)稱為f(x)在[a，b]上的分段m次插值多項式。
實際中，常用的是不超過5次的底部分段插值多項式。本節只介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值還需要分段插值函數φ (x)。
在節點上，它具有與插值函數f(x)相同的導數值，即
★基本思想是將插值函數f [x]的插值節點從小到大排序，然後在每對相鄰節點為端點的區間上用m次多項式逼近f [x]。
例子
例1已知f(x)=ln(x)的函數表為:
嘗試線性插值和拋物線插值計算f(3.27)的近似值，估計相應的誤差。
解決方法:線性插值需要兩個節點，插值比外推好。因為是3.27 (3.2，3.3)，所以選擇x0=3.2，x1=3.3，n=1的拉格朗日插值公式有
因此，為了保證拋物線的插值，選取三個節點為x0 = 3.2，x1 = 3.3，x2 = 3.4，n=2的拉格朗日插值公式如下
所以有
因此，線性插值計算ln3.27的誤差估計為
因此，拋物線插值計算ln3.27的誤差估計為:
顯然，拋物線插值比線性插值更精確。
樣條插值
樣條插值是壹種改進的分段插值。
定義了如果函數給定壹個節點a = x0
⒈ S(xj)=yj，j=0，1，2，…，n；
插值方法主要用於許多工程領域的優化方法，如道路橋梁、機械設計、電子信息工程等。