學術研究
關孝和著作很多，近20部，但生前只出版過壹部《發微算法》(1674)，死後又由其弟子對他的遺稿作了整理，出版了《括要算法》，其余均為未出版的稿本．從這些著作的寫作時間來看，孝和的數學研究工作可分為兩個階段，他的數學著作基本上是在1685年以前完成的，以後因體弱多病而較少進行新的數學研究，只寫了壹些天文歷法方面的註釋書．下面介紹他的主要貢獻．
1．引入“傍書法”和代數記號而創立了“演段術”
這是關孝和的最大貢獻．主要集錄於他的著作《發微算法》(1674)及《三部抄》中的《解見題之法》和《解伏題之法》(1683)．在《發微算法》中，孝和運用演段術對日本數學家澤口壹之(有資料說澤口壹之是孝和的弟子)的《古今算法記》(1671)中的15道“遺題”作了分析和解答．但書中只有結果而把有關演段術的記述略去了，所以當時的日本人對他的解答壹般都看不懂，於是就有人指責說《發微算法》可能是關孝和胡編亂造的．1680年，日本數學家佐治壹平竟寫成《算法入門》指出《發微算法》中解法的“錯誤”並給予“訂正”．作為對此類問題的答復，孝和的弟子建部賢弘寫成《發微算法演段諺解》(1685)公諸於世，對孝和的演段術作了詳細解說，使之傳播開來．
孝和又在《三部抄》中闡述了“傍書法”和演段術．《三部抄》是《解見題之法》、《解隱題之法》(1685)和《解伏題之法》(1683)三部著作的總稱．見題是只用加減乘除即可解答的問題，隱題是只用壹個方程就可以解答的問題，伏題是必須用兩個以上方程組成的方程組才能解答的問題，這也是三部著作各自名稱的來歷．《解見題之法》中首次出現傍書法表示的式子．所謂傍書法即在壹條短豎線旁邊寫上文字作為記號來表示數量關系的壹種方法．如“甲加乙”、“甲減乙”、“甲
乘乙”分別寫成“|甲|乙”、“|甲乙”、“|甲乙”；甲2，甲3，甲4，…
將“甲÷乙”記為“乙|甲”．
孝和就用上述壹套符號來處理文字方程，比如方程
甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0
表示為
|甲乙|丙|丁．
如果壹個方程有兩個未知數，如
3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，
就用“甲”代替y，整個方程表示為
由於“傍書法”可以表示含有兩個或者多個未知數的方程，因而“消元”就有了可能，這使得孝和能夠用消元法解方程組，從而得出了他的行列式理論．這些內容集中在《解伏題之法》中．書中介紹了壹系列以傍書法為基礎的算法，他稱之為“天元演段術”，後來又擴展為“歸源整法”．這壹系列的算法傳到孝和的第二代弟子松永良弼時，良弼又受其主君內藤政樹(1703—1766，“關流”和算家)之命將“歸源整法”更名為“點竄術”．點竄術就是用上述的傍書法系統地研究公式變形、解方程(組)、行列式等問題，內容相當於現在的初等代數學．但由於這種代數學不同於西方代數中用a，b，c，…作為記號而采用漢字加短豎線作為記號，因而不僅是日本的而且是整個漢字文化圈內的文化財富，是具有東方風格的符號代數．
2．提出代數方程變換理論和行列式理論
這壹研究集中在《解伏題之法》中．書中介紹的方程變換的方法有：略、省、約、縮、疊、括等．把壹個方程乘以某壹式後從另壹方程中減去，稱之為“略”；壹個方程各項有公因式的就將此公因式約去，稱之為“省”；各項有***同的數字系數(他稱之為“段數”)時就約去這個公因數，他稱之為“約”；兩個方程中都不含未知數x的奇次冪時，就用換元法把x2作為壹個未知數從而簡化方程，稱之為“縮”；“疊”是兩個方程分別乘以適當的式子再相減以消去某些項；“括”是把相同次冪的系數合起來，即合並同類項．孝和的演段術在這些方法中得到了明確表示．
他用這些方法解方程組的基本思想是，將兩個二元方程經過上述變換消去壹個未知數，得到壹個壹元方程，再解這個壹元方程．對於二元高次方程組(設兩個方程關於x的次數分別是m和n，m≥n，這時方程中每壹項中x的冪的系數都是另壹未知數y的多項式)，為達到壹次消元的目的，他先用疊、括方法從原來的兩個方程中導出n個關於x的n－1次方程，這些方程都寫成標準形式，即方程右邊為0，左邊按x的升冪排列，他稱這n個方程為“換式”．於是求解原方程組的問題就轉化為求解由換式構成的方程組了．將這個方程組的各項中x的冪去掉，得到各項系數(y的多項式或單項式)按原來的位置次序構成的行列式，令這個行列式等於0，得到的這個行列式表示出的關於y的方程即是原方程組消去x後得到的壹元方程．這樣，解原方程組的問題就轉化為解這個壹元方程的問題．
為了對這個含有行列式的方程化簡、求解，他接著對行列式進行變換．他的行列式理論就是由此引出的．他在書中介紹了兩種計算行列式值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法．
逐式交乘法的基本思想是，對行列式的各行分別乘以適當的式子，再將各列元素相加，直到除第壹列(即x0的系數對應的那壹列)外，其余各列元素的和均為零，這時第壹列元素的和即為行列式的值．
當行列式階數較高時，要看出上述各行要乘的因式顯然不容易，於是，他在書中又介紹了另壹種計算行列式的方法即交式斜乘法．不過他沒有說明這種方法的根據，只是對2—5階行列式的展開給出了規則並用圖加以說明．從這些說明看出，他的交式斜乘法大致相當於今天中學裏介紹的對角線法或其擴展．
西方對於行列式的研究首次出現在G．W．萊布尼茨(Leibniz)1693年寫給G．F．A．洛比達(L’Hospital)的信中，而孝和的《解伏法之法》是1683年完成的，所以孝和的研究比西方的此類研究至少要早10年．西方最早發表的關於行列式研究的著作是G．克萊姆(Cramer)的《代數曲線的分析引論》(Intro－duction àl’analyse des lignes courbes algébriques，1750)，這比《解伏題之法》要晚70年．在行列式方面，關孝和的研究是世界領先的．
3．研究了數字系數高次方程，發現了負根、虛根並提出了判別式概念和相當於多項式函數導函數的多項式
關孝和的這些成就主要包含在《解隱題之法》、《開方算式》及著作集《七部書》中．《七部書》是《開方翻變之法》(1685)、《題術辨議之法》(1685)、《病題明致之法》(1685)、《方陣圓攢之法》(1683)、《算脫驗符之法》、《求積》、《毬闕變形草解》這七部著作的總稱．
《解隱題之法》、《開方翻變之法》和《開方算式》中記述了解數字系數高次方程的兩種近似方法，分別相當於“霍納法”和“牛頓叠代法”．孝和又將這些解法用在字母系數方程f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝0上，從形式上求出了f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1，即從形式上求出了多項式函數f(x)的導函數．另外，他考察了只有虛根的方程(他稱其為“無商式”)、只有負根的方程(他稱其為“負商式”)和方程正、負根的個數問題，給出了判別式的概念，研究了方程正、負根存在的條件．在《題術辨議之法》和《病題明致之法》中，他將導出方程是“無商式”和“負商式”的問題歸入“病題”之列，利用他對數字系數方程的研究介紹了變換“予量”而糾正“病題”的方法．
對於無商式f(x)＝0，他主要是變更方程的系數使其判別式取壹定的數值，從而使得方程有正根或負根．這樣的變換中又得出了f(x)取極大值(或極小值)的條件f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1＝0，由此式求出極值點x0，再代入f(x)可以求出極大值(或極小值)．這是今天通用的求極值方法的雛形，孝和稱其為“適盡方級法”．這種求極值方法是關孝和獨立發現的．
4．將中國的“三差之法”推廣為壹般的招差法，研究了數論問題並發明“零約術”
這些成果都集中在《括要算法》中．孝和去世之後，其遺稿全部傳給了弟子荒木村英(1640—1718)．據說，村英與孝和本來同學於高原吉種門下，後來他又拜孝和為師，由於其在同門弟子中學德俱高，所以得到了孝和的全部遺稿．可是當時村英已年高體弱，就把整理孝和遺稿的工作交給自己的弟子大高由昌．大高由昌從遺稿中抽出數篇編輯成《括要算法》，村英為此作序，並於1712年出版．孝和的有關單行本至今尚存，與此比較看出，大高由昌在編輯時並沒有作多大改動．只是孝和原稿中的“諸約之法”不包括“翦管術”，而《括要算法》中將“翦管術”列於“諸約之法”中．
(1)招差法 這是由x＝x1，x2，…，xn和相應的y＝y1，y2，…，yn兩組數據確定函數y＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系數的方法，相當於西方數學中的有限差分法．孝和的方法如下：
乘積．
若所有平積相等，就有a3＝a4＝…＝0，這時可取a2＝δz1，a1＝z1－a2x1，這時的招差法稱為“壹次相乘之法”．若所有的立積都相等，則a4＝a5＝…＝0，可取a3＝δ2z1，再計算zi－a3x2i＝ui(1≤i≤n)，它是u＝a1＋a2x在x＝xi處的值，再對此施行“壹次相乘之法”可得a2，a1的值．依此類推．
關孝和稱a1，a2，…，an這些系數為“差”，求這些差為“招差”．上述求差的方法就是他的招差法．
對於n＝2，3，4的情況，求f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn系數的問題早在中國數學中已得到解決，孝和的貢獻主要在於將這種“三差之法”推廣到了n為任意自然數的壹般招差法．
(2)約術及垛術 他敘述的“約術”有互約、逐約、齊約、遍約、增約、損約、零約、遍通等．其中“逐約術”是給出n個整數a1，a2，…，an，確定各自的壹個約數a′1，a′2，…，a′n，使這n個約數兩兩互素且其和等於a1，a2，…，an的最小公倍數．n＝2時，他把“逐約術”又稱為“互約術”．“齊約”是求整數的最小公倍數．“遍約”是用整數的最大公約數分別去除這n個整數．“遍通”是分數通分．“增約”是求級數a＋ar＋ar2＋…的和，“損約”是求級數a－ar－ar2－…的和．“剩壹術”是解壹次不定方程ax－by＝1的方法．除“增約”和“損約”之外，這些都是數論的內容．
“零約術”是孝和的發明．它是壹種確定無限不循環小數的近似分數的方法．在書中他用例子對零約術作了說明．比如邊長為1尺的正方
取p1＝1，q1＝1，按下述規則確定後面的pn，qn．若
n，而相應的pn依次是1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，17，18，20，21，23，24，26，27，28，30，31，33，34，35，37，38，40，41， 43， 44，45， 47，48，50，51，52，54，55，57，58．於是有
它們都出現在上述的近似分數列中．
在《括要算法》最後壹卷(貞卷)中，他用自己發明的這種零約術
給出，但他是怎樣得到的呢？這壹點卻沒有流傳下來．孝和的這壹工作給出了壹種推導方法．
《括要算法》的第壹卷(元卷)中還記述了“垛術”問題，即求
和Sp＝1p＋2p＋3p＋… ＋np(他稱其為“方垛積”)與求和
對於方垛積，他用招差法計算出了p＝1，2，3，…，11的情況，然後歸納得出了方垛積壹般公式：
對於衰垛積，他也給出壹般公式：
值得註意的是，方垛積公式中的B1，B2，…，Bn，…與伯努利數壹樣．而西方第壹部導入伯努利數並給出上述公式的書是數學家雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度術》(Ars conj－ectandi，1713)．可見關孝和與伯努利幾乎同時發現了伯努利數．
(3)翦管術 數論方面，他還研究了翦管術，即解同余式組b1x≡a1(mod m1)， b2x≡a2(mod m2)，…，bnx≡an(mod mn)的方法．《括要算法》第二卷(亨卷)的“翦管術解”部分舉出九個問題說明這種方法，前五個是b1＝b2＝…＝bn＝1的情況，根據m1，m2，…，mn是否兩兩互素而分為兩種情況給出了解法；後四個問題都是b1，b2，…，bn不全為1的情況，利用逐約術和剩壹術給出了解法．
翦管術的名稱和問題形式在中國宋代楊輝的著作集《楊輝算法》中就有記述，但楊輝解決的同余式組只限於b1＝b2＝…＝bn＝1，且m1，m2，…，mn兩兩互素的情況，而且由於所舉的例子涉及的數據都比較簡單，往往是只靠心算就可以解決，而不用剩壹術．可以說，孝和是從《楊輝算法》中得到了翦管術的名稱和問題形式，但他由於發明了剩壹術，又引入了逐約、互約概念，因而對m1，m2，…，mn不全兩兩互素的情況和b1，b2，…，bn不全為1的同余式組問題也完滿地解決了．因此可以說是關孝和發展完善了翦管術．
5．給出了壹些曲線求長和立體求積的近似方法
這些研究主要集中在《解見題之法》、《求積》及《毬闕變形草解》中．其中創新性的成果在於他給出了橢圓周長、阿基米德螺線長的近似算法，解決了圓環體、弧環體和十字環的近似求積問題．
(1)橢圓周長與阿基米德螺線長 《解隱題之法》中第壹次出現橢圓周長的近似算法．他將橢圓看成是從不同角度看圓時得到的圖形，得出橢圓周長L的近近似計算公式：
L2＝π2(長徑×短徑)＋4×(長徑－短徑)2．
此書中還解決了“畹背”問題，即求所謂“畹形”長度的問題．如圖1，將扇形OAB用半徑OC1，OC2，…，OCn-1 n等分，再將半徑OA用C′1，C′2，…，C′n-1 n等分，經過OA的各分點以O為圓心分別畫弧，得到過C′k點的弧與半徑OCk的交點Dk(0≤k≤n，記O點為D0，A點為Dn)，Dk點的軌跡即是“畹形”．可見，畹形就是阿基米德螺線．他給出畹形長(背)的計算公式：
至於他是如何得到這個公式的，書中沒有說明．
(2)圓環體、弧環體和十字環的體積 所謂圓環體是圓繞其所在平面上與圓沒有公***點的壹條直線旋轉壹周所得到的立體；弧環體則是由弓形繞其所在平面上與弓形沒有公***點的壹條直線旋轉壹周所得的立體．關孝和設想，把圓環體截斷伸直，圓環體就變成圓柱，因此圓環體的體積就等於這個截面(圓面)的面積乘以這個“圓柱”的高(即圓環體的“中心圓”周長)．他這樣計算是假定了“圓環體經截斷伸直成圓柱後體積不變”，以此假定為基礎，他用弓形的面積乘以弧環體的中心圓周長作為弧環體的體積．這裏所說的中心圓是指在圓(或弓形)旋轉過程中，圓(或弓形)面上壹個特定點所形成的圓，這個特定點就是圓(或弓形)的重心．可見，孝和已經有了“重心”這壹概念．他這樣計算圓環體、弧環體的體積的方法相當於帕波斯－古爾丁(Pappus－Guldin) 定理所敘述的方法．
所謂“十字環”是指兩個圓柱體與壹個圓環體互相截取組成的立體，如圖2所示，兩個圓柱的軸互相垂直且都通過圓環體的重心，圓柱被圓環體的表面所截，並且兩圓柱的底半徑與圓環體的截面半徑相等．這壹問題最早出現在榎並和澄的《參兩錄》(1653)中，孝和首次用近似方法求出了十字環的體積．
另外，《毬闕變形草解》也是主要研究求積問題的著作．不過此書所涉及的多是闕球(用平面去截球體所得)、闕圓柱(用平面去截圓柱所得)、弧錐(底是弓形的錐體)和弧臺(兩底都是弓形的臺體)等復雜的立體．他通過將這些立體變形而給出這些立體的近似求積方法．他把此書命名為《草解》，可見還有未盡之意，這說明上述壹類立體的求積是當時最難的求積問題．
6．創立圓理、角術，解決了有關圓弧長、球體積及正多邊形的壹些問題
“圓理”壹詞在後來的和算家中常用來總稱求解曲線長、圖形(平面圖形或曲面圖形)的面積及立體的體積的方法．但孝和創立的圓理只限於圓、球的有關計算．他關於圓理的研究主要集中在《括要算法》第4卷(貞卷)中，由“求圓周率術”、“求弧矢弦率術”和“求立圓積率術”(立圓即球)三部分組成．他求圓的正 215，216，217邊形的周長a，b，c，並對此施以增約術，用a，b，c的壹種平均值
作為圓周長的近似值，由此求得圓周率的小數點後11位數字，接著又用
他的“求弧術”是由弦a，矢c，徑d來求弧長s的方法，他給出公式：
其中A0， A1， A2， A3， A4， A5是由 c＝c0，c1，c2，c3，c4，c5和相應的s＝s0，s1，s2，s3，s4，s5來確定的．
如果上述插值公式中沒有分母(d－c)i(i＝1，2，…，5)，則與牛頓插值公式完全壹樣．這個公式與牛頓插值公式的原理相同．牛頓插值公式是I．牛頓(Newton)發現的，W．瓊斯(Jones)得到牛頓允許後著成《微分法》(Methodus differentilis，1711)將其公布於世，而《括要算法》是1709年寫成序、跋，1712年出版的，因此可以說關孝和與牛頓幾乎同時各自獨立地發現了這個公式．
對於球的體積，他提出了“求立圓積率術”，首先用平行平面把球截成50個薄片，將各薄片先看成以各自的接近球心壹側的底面為底的圓柱，求這50個“圓柱”的體積之和；再將各薄片看成是以各自的另壹底面為底的圓柱，求出這50個“圓柱”的體積之和，再求出這兩個體積和的平均值a作為這50個薄片的總體積．同樣將球截成100個、200個薄片，分別如上求出這100個、200個薄片的總體積b和c，用增約術求出
將其作為球體積．雖然這壹過程中用增約術的條件並不充足，但他如此分割—轉換—求和的求積方法中，積分思想已開始萌芽．
“角術”是建立正多邊形的邊長與外接圓半徑、邊長與內切圓半徑之間關系式的方法．他對正3—20邊形分別給出了這種關系式，而以前的和算家只是求出了邊數不大於15的正多邊形的上述關系式．另外，孝和在推導過程中所用的幾何學上的定理，有壹些是僅憑直覺得到的．
7．研究了幻方問題，又用同余式解決了日本流傳的古老的“繼子立”即“立後嗣”的問題
《七部書》中的《方陣之法·圓攢之法》給出了幻方(他稱為“方陣”)和圓攢的壹般構造方法，即按壹定規律變化n－2階幻方的每壹個數，將其相應地作為“內核”，再在外圈上按壹定規則填上4n－4個數就可以得到n階幻方．這種方法與16世紀德國數學家M．施蒂費爾(Stiefel)首次在其著作《整數算術》(Arithme－tica Integra，1544)中嘗試證陰幻方的思想是壹致的．
“繼子立”是在日本廣泛流傳的壹個古老問題，它說的是，某貴族家有30個孩子，其中15人是前妻所生，15人為後妻所生．要從這30個孩子中選出壹個來繼承家業，就讓這30個孩子排成壹圈，從某壹個小孩開始往下數，讓第10個孩子從圈中退出，再從下壹個繼續數，數到20時就讓對應20的那個孩子從圈中出去．照此數下去，數到整十的數時就把對應該數的孩子從圈中拉出，直到最後剩下壹個孩子，就由這個孩子來繼承家業．如果現在只剩下壹個前妻之子和14個後妻之子了，那麽只要從這個前妻之子開始數，就可以使這個孩子成為“繼子”．
孝和在《算脫驗符之法》中將這個問題理論化並用同余式進行了推導證明．
除上述著作之外，孝和在數學方面還寫下了《角法並演段圖》、《闕疑抄壹百問答術》、《勿憚改答術》等書．在天文歷法方面他也有許多著作，如《授時歷經立成》四卷、《授時歷經立成立法》(1681)、《授時發明》、《四余算法》(1697)、《星曜算法》、《數學雜著》(又名《天文數學雜著》)等．
先前數學對關孝和的影響
從上面的介紹可以看出，關孝和的數學研究有的起源於在他之前的和算著作中的“遺題”．他最初的數學著作《發微算法》是對澤口壹之的《古今算法記》(1671)中遺題的解答．他還解答了礒村吉德的《算法闕疑抄》(1659)的100道遺題和村瀨義益的《算法勿憚記》(1673)的遺題，至今尚存有關的抄本．有些遺題成為關孝和研究的起點．例如《算法闕疑抄》第45個問題(“圓臺斜截口”)引出了他對橢圓的研究；第 41個問題(“俱利加羅卷”，即在圓錐形棒上緾繩，求繩長)引出了他對畹背問題的研究．他的壹些重要的思想方法也是從這些著作中得到的．例如，澤口壹之在《古今算法記》中通過變換方程系數避開了有兩個正根的情況，關孝和由此受啟發變換“無商式”和“負商式”系數使其根達到要求，進而得到了求多項式函數的極大值、極小值的“適盡方級法”．他在《題術辨議之法》中，對“碎術”(即“自遠至近數次而求所問”的方法，他認為“其術不定也”，因而不是最恰當的方法)問題采用逐次逼近法解決，這可能是從《算法勿憚改》中受到啟發的，因為《算法勿憚改》在日本是首次使用逐次逼近法的著作．
但是，他的最主要的數學成就並不能在他之前的和算著作中找到線索，這就在他的研究與先前和算家的研究之間形成了壹個“斷層”．壹些人認為，彌補這個斷層的是中國數學和西方數學對他的影響．據日本武林史著作《武林隱見錄》(1738)中“關新助算術秩事”壹條記載，孝和估計到南部某寺收藏的“唐本”(指古時由中國傳到日本的書籍)中可能有數學書，就去南都搜尋，並將其抄錄下來帶回江戶研究．從此類“秩事”中可知關孝和在研究中參考了中國數學著作．
從孝和的數學成果來看，對他的研究產生較大影響的中國數學著作是《楊輝算法》(1378)和清朝的《天文大成管窺輯要》等．《楊輝算法》是楊輝的《乘除通變本末》(上卷為《算法通變本末》，中卷為《乘除通變算寶》，下卷為《法算取用本末》，與史仲榮合著)、《田畝比類乘除捷法》和《續古摘奇算法》三部著作合刻的，在朝鮮重刻後傳入日本並保存下來．孝和從《楊輝算法》中得到了“翦管術”的名稱和問題形式，並完善了“翦管術”．另外，《楊輝算法》中已有類似於“霍納法”的解方程方法，大概是孝和從中受到啟發，才提出了分別相當於霍納法和牛頓逼近法的兩種解方程方法．
朝黃鼎的《天文大成管窺輯要》對孝和也有影響．孝和的《授時發明》(或稱《天文大成三條圖解》)就是對此書第三卷的解釋，由此看來孝和曾仔細研究過這部書．書中有對元朝郭守敬《授時歷》中“三差法”所作的解說，可能由此引出了孝和對“招差法”的研究．
關於西方數學的影響是進入明治時代之後才開始研究的．17世紀中葉荷蘭萊頓大學的F．範·斯霍騰(Schooten)教授有壹個學生，名叫P．哈特辛烏斯(Hartsingius)，是日本人．這由荷蘭阿姆斯特丹大學的D．J．科爾泰韋赫(korteweg)教授給林鶴壹博士的信中可知．這個日本人後來是否回到日本已無法證實．但據日本數學史家三上義夫考證，那個時期在日本有壹名叫鳩野巴宗的醫學家，此人或許就是哈特辛烏斯．如果這個推測正確，則說明當時已經有人將西方數學帶回日本了，從而可以認為關孝和的數學研究直接受到西方數學的影響．
從以上的介紹可以看出，關孝和從以往數學家的研究中發現問題，又對這些問題從理論上加以解決或者將其推廣為壹般性方法．除此之外他還有自己的首創性研究．這些成果奠定了和算的基礎，擺脫了日本數學家單純介紹中國數學的傳統束縛，成為後世和算家的典範．
關流數學教育及關流弟子
關孝和作為壹個數學家的同時又是壹位數學教育家．他壹生中親自授過課的弟子就有幾百人，其中最傑出的是荒木村英及建部賢弘、建部賢明兩兄弟，村英的弟子中有松永良弼，賢弘的弟子中有中根元圭，元圭弟子中有山路主住等最為著名．孝和與他的弟子們的研究構成了和算的壹個最大流派——關流(關流各代數學家系譜如文後圖所示)．能培養出這許多傑出的弟子，與孝和創立的教育方式有很大關系．他根據學生的情況分成五個等級分別集中指導，每壹級都規定有相應的具體數學內容和具體教材．初級的教以珠算，進而籌算，高級的從演段術到點竄術，隨著每壹級學生學業的完成而分別授以相應的“免許證”，相當於現在的畢業證，有“見題免許”、“隱題免許”、“伏題免許”、“別傳免許”和“印可免許”五個等級．後來這種方式不斷發展，成為關流嚴格的教育制度——五段免許制．只有得到五個等級的免許之後，才可以被稱為“關流第幾傳”，而且最後得到“印可”的只限於幾名高徒．後來隨著數學研究的發展，加入到各等級的學習內容不斷增加，五段免許制日益完善和嚴格．到了山路主住成為關流掌門人時，據說規定壹代弟子中只傳壹子和高徒二人．
關於所用的教材，除了關孝和的著作之外，其他關流數學家也寫過教科書，如山路主住的《關流算術》45卷作為關流入門者的最初教程；久留島義太的《廣益算梯》25卷也作為數學初學者的教材．
可見，關孝和創立的五段免許制體系，已有班級授課制的萌芽．
附：關流系譜