幾何學的發展大致經歷了四個基本階段.1、實驗幾何的形成和發展幾何學最早產生於對天空星體形狀、排列位置的觀察，產生於丈量土地、測量容積、制造器皿與繪制圖形等實踐活動的需要，人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了壹批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何.我國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何，大體上就是實驗幾何的內容.例如，我國古代很早就發現了勾股定理和簡易測量知識，《墨經》中載有“圜（圓），壹中同長也”，“平（平行），同高也”，古印度人認為“圓面積等於壹個矩形的面積，而該矩形的底等於半個圓周，矩形的高等於圓的半徑”等等，都屬於實驗幾何學的範疇.2、理論幾何的形成和發展隨著古埃及、希臘之間貿易與文化的交流，埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘.古希臘許多數學家，如泰勒斯（Thales）、畢達哥拉斯（Pythagoras）、柏拉圖（Plato）、歐幾裏德（Euclid）等人都對幾何學的研究作出了重大貢獻.特別是柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，而後歐幾裏德在前人已有幾何知識的基礎上，按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》十三卷，奠定了理論幾何（又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、歐氏幾何等）的基礎，成為歷史上久負盛名的巨著.《幾何原本》盡管存在公理的不完整，論證有時求助於直觀等缺陷，但它集古代數學之大成，論證嚴密，影響深遠，所運用的公理化方法對以後數學的發展指出了方向，以至成為整個人類文明發展史上的裏程碑，全人類文化遺產中的瑰寶.3、解析幾何的產生與發展公元3世紀，《幾何原本》的出現，為理論幾何奠定了基礎.與此同時，人們對圓錐曲線也作了壹定研究，發現了圓錐曲線的許多性質.但在後來較長時間裏，封建社會中的神學占有統治地位，科學得不到應有的重視.直到15、16世紀歐洲資本主義開始發展起來，隨著生產實際的需要，自然科學才得到迅速發展.法國笛卡爾（Descartes）在研究中發現，歐氏幾何過分依賴於圖形，而傳統的代數又完全受公式、法則所約束，他們認為傳統的研究圓錐曲線的方法，只重視幾何方面，而忽略代數方面，竭力主張將幾何、代數結合起來取長補短，認為這是促進數學發展的壹個新的途徑.在這樣的思想指導下，笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，並且形成了壹系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了.解析幾何學的出現，大大拓廣了幾何學的研究內容，並且促進了幾何學的進壹步發展.18、19世紀，由於工程、力學和大地測量等方面的需要，又進壹步產生了畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等幾何學的分支.4、現代幾何的產生與發展在初等幾何與解析幾何的發展過程中，人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，並不斷地充實壹些公理，特別是在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“壹條直線與另外兩條直線相交，同側的內角和小於兩直角時，這兩條直線就在這壹側相交”的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，並取得了兩方面的突出研究成果.壹方面，從改變幾何的公理系統出發，即用和歐氏幾何第五公設相矛盾的命題來代替第五公設，從而導致幾何學研究對象的根本突破.俄羅斯數學家羅巴切夫斯基用“在同壹平面內，過直線外壹點可作兩條直線平行於已知直線”代替第五公設，由此導出了壹系列新結論，如“三角形內角和小於兩直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等等，後人稱為羅氏幾何學（又稱雙曲幾何學）.德國數學家黎曼從另壹角度，“在同壹平面內，過直線外任壹點不存在直線平行於已知直線”代替第五公設，同樣導致了壹系列新理論，如“三角形內角和大於兩直角”、“所成三角形與球面三角形有相同面積公式”等，又得到另壹種不同的幾何學，後人稱為黎氏幾何學（又稱橢圓幾何學）.習慣上，人們將羅氏幾何、黎氏幾何統稱為非歐幾何學.將歐氏幾何（又稱拋物幾何學）、羅氏幾何的公***部分統稱為絕對幾何學.另壹方面，人們在對歐氏幾何公理系統的嚴格分析中，形成了公理法，並由德國數學家希爾伯特在他所著《幾何基礎》中完善地建立起嚴格的公理體系，通常稱為希爾伯特公理體系，希爾伯特公理體系是完備的，即用純邏輯推理的方法，定能推演出系統嚴密的歐氏幾何學.但如果根據該公理體系，逐步推演出歐氏幾何中那些熟知的內容，卻是壹件相當繁瑣的工作.。
解析幾何發展史十六世紀以後，由於生產和科學技術的發展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。
比如，德國天文學家開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的壹個焦點上；意大利科學家伽利略發現投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發現都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的壹套方法顯然已經不適應了，這就導致了解析幾何的出現。
1637年，法國的哲學家和數學家笛卡爾發表了他的著作《方法論》，這本書的後面有三篇附錄，壹篇叫《折光學》，壹篇叫《流星學》，壹篇叫《幾何學》。當時的這個“幾何學”實際上指的是數學，就像我國古代“算術”和“數學”是壹個意思壹樣。
笛卡爾的《幾何學》***分三卷，第壹卷討論尺規作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數問題，探討方程的根的性質。後世的數學家和數學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。
從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起壹種“普遍”的數學，把算術、代數、幾何統壹起來。他設想，把任何數學問題化為壹個代數問題，在把任何代數問題歸結到去解壹個方程式。
為了實現上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對（x,y）的對應關系。x,y的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。
這就是解析幾何的基本思想。 具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第壹，在平面建立坐標系，壹點的坐標與壹組有序的實數對相對應；第二，在平面上建立了坐標系後，平面上的壹條曲線就可由帶兩個變數的壹個代數方程來表示了。
從這裏可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數的方法解決，而且還把變量、函數以及數和形等重要概念密切聯系了起來。 解析幾何的產生並不是偶然的。
在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為壹種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了壹點位置可由兩個“坐標”（經度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創建產生了很大的影響。
在數學史上，壹般認為和笛卡爾同時代的法國業余數學家費爾馬也是解析幾何的創建者之壹，應該分享這門學科創建的榮譽。 費爾馬是壹個業余從事數學研究的學者，對數論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。
他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發表《幾何學》以前，就已寫了關於解析幾何的小文，就已經有了解析幾何的思想。
只是直到1679年，費爾馬死後，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發表。 笛卡爾的《幾何學》，作為壹本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數學新園地做出了貢獻。
解析幾何的基本內容 在解析幾何中，首先是建立坐標系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有壹定方向和度量單位的直線，叫做平面上的壹個直角坐標系oxy。
利用坐標系可以把平面內的點和壹對實數（x,y）建立起壹壹對應的關系。除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。
在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。 坐標系將幾何對象和數、幾何關系和函數之間建立了密切的聯系，這樣就可以對空間形式的研究歸結成比較成熟也容易駕馭的數量關系的研究了。
用這種方法研究幾何學，通常就叫做解析法。這種解析法不但對於解析幾何是重要的，就是對於幾何學的各個分支的研究也是十分重要的。
解析幾何的創立，引入了壹系列新的數學概念，特別是將變量引入數學，使數學進入了壹個新的發展時期，這就是變量數學的時期。解析幾何在數學發展中起了推動作用。
恩格斯對此曾經作過評價“數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變書，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，……” 解析幾何的應用 解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。 在平面解析幾何中，除了研究直線的有關直線的性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。
在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。 橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產或生活中被廣泛應用。
比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在壹個焦點上，影片門在另壹個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽竈、雷達天線、衛星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的。 總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：壹類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另壹類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。
運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數方程；然後運用代數工具對方程進行研究；最後把代數方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。 坐標法的思想促使人們運用各種代數的方法解決幾何問題。
先前被看作幾何學中的難題，壹旦運用代數方法後就變得平。
幾何圖形的歷史最早的幾何學當屬平面幾何。
平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）。平面幾何采用了公理化方法，在數學思想史上具有重要的意義。
平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。 為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。
笛卡爾引進坐標系後，代數與幾何的關系變得明朗， 且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產生。
解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創建的。這又是壹次具有裏程碑意義的事件。
從解析幾何的觀點出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質。 幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類），也就轉化為方程的代數特征分類的問題，即尋找代數不變量的問題。
立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇，從而研究二次曲面（如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面）的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變量問題。 總體上說，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結構--即平坦的空間結構--背景下考察，而沒有真正關註彎曲空間下的幾何結構。
歐幾裏得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了人們對其正確性的疑慮。由此人們開始關註其彎曲空間的幾何， 即“非歐幾何”。
非歐幾何中包括了最經典幾類幾何學課題， 比如“球面幾何”，“羅氏幾何”等等。另壹方面，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察範圍內， 人們開始考慮射影幾何。
這些早期的非歐幾何學總的來說，是研究非度量的性質，即和度量關系不大，而只關註幾何對象的位置問題--比如平行、相交等等。 這幾類幾何學所研究的空間背景都是彎曲的空間。
空間解析幾何的發展史間解析幾何
題組壹 向量及其運算
1. 是非題
(1) 若 且 ，則 ；
(2) 若 且 ，則 ；
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) .
2. 證明 （1） 。 (2) 。
(3) 。
3. 設 ， ，
(1) 試證 ， ， ***面。 （2）沿 和 分解 。 （3）求 在 上的投影。
4. 設 ， ， 均為非零向量，且 ， ， ，求 。
5. 設 且 ， ， ，求 。
6. 設 ， ，求 與 的夾角。
7. 已知 ， ，
(1)證明 。
(2)當 與 的夾角為何值時， 的面積取最大值。
8. 用向量證明：三角形的三條高交於壹點。
題組二 空間平面與直線
1. 設平面 過點 且與已知平面 垂直，又與直線 平行，求平面 的方程。
2. 求過直線 與點 的平面方程。
3. 設有壹平面，它與 平面的交線是 ，且與三個坐標面圍成的四面體體積等於2，求這平面的方程。
4. 壹直線過點 且和兩直線 ， 相交，求此直線方程。
5. 過平面 ： 和直線 的交點，求在已知平面上，垂直於已知直線的直線方程。
6. 在壹切過直線 的平面中求壹平面，使原點到它的距離為最大。
題組三 空間曲面與曲線
1. 討論平面 與曲面 間相互的位置關系。
2. 設空間曲線 ，試將曲線 的方程用母線平行於x軸和z軸的兩個投影柱面的方程表示。
3. 求錐面 與柱面 所圍立體在三個坐標平面上的投影區域。
4. 求直線 繞z軸旋轉而成的旋轉曲面的方程。
5. 柱面的準線為 ，母線的方向向量為 ，求柱面的方程。
幾何的發展史？是怎樣的名稱由來幾何這個詞最早來自於希臘語“γεωμετρ？α”，由“γ？α”（土地）和“μετρε ？ν”（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。
後來拉丁語化為“geometria”。中文中的“幾何”壹詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。
當時並未給出所依根據，後世多認為壹方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另壹方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以壹般認為幾何是geometria的音、意並譯。1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另壹種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有壹定的影響。
在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9卷出版後，幾何之名雖然得到了壹定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學壹詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有“形學”壹詞的使用出現。
古代幾何國外最早記載可以追溯到古埃及、古印度、古巴比倫，其年代大約始於公元前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝制作中的實際需要。
埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺（截頭金字塔形）體積正確公式；而巴比倫有壹個三角函數表。中國中國文明和其對應時期的文明發達程度相當，因此它可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這壹點。
也許這是部分由於中國早期對於原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。幾何學發展幾何學發展歷史悠長，內容豐富。
它和代數、分析、數論等等關系極其密切。幾何思想是數學中最重要的壹類思想。
目前的數學各分支發展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數學理論。平面幾何與立體幾何最早的幾何學當屬 平面幾何。
平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）。平面幾何采用了公理化方法，在數學思想史上具有重要的意義。
平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。
笛卡爾引進坐標系後，代數與幾何的關系變得明朗， 且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產生。
解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創建的。這又是壹次具有裏程碑意義的事件。
從解析幾何的觀點出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質。幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類），也就轉化為方程的代數特征分類的問題，即尋找代數不變量的問題。
立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究範疇，從而研究二次曲面（如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面）的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變量問題。總體上說，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結構--即平坦的空間結構--背景下考察，而沒有真正關註彎曲空間下的幾何結構。
歐幾裏得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了人們對其正確性的疑慮。由此人們開始關註其彎曲空間的幾何， 即“非歐幾何”。
非歐幾何中包括了最經典幾類幾何學課題， 比如“球面幾何”，“羅氏幾何”等等。另壹方面，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察範圍內， 人們開始考慮射影幾何。
這些早期的非歐幾何學總的來說，是研究非度量的性質，即和度量關系不大，而只關註幾何對象的位置問題--比如平行、相交等等。 這幾類幾何學所研究的空間背景都是彎曲的空間。
幾何的形成歷史幾何學的發展大致經歷了四個基本階段。
1、實驗幾何的形成和發展幾何學最早產生於對天空星體形狀、排列位置的觀察，產生於丈量土地、測量容積、制造器皿與繪制圖形等實踐活動的需要，人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了壹批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯系，形成了實驗幾何。我國古代、古埃及、古印度、巴比倫所研究的幾何，大體上就是實驗幾何的內容。
例如，我國古代很早就發現了勾股定理和簡易測量知識，《墨經》中載有“圜（圓），壹中同長也”，“平（平行），同高也”， 古印度人認為“圓面積等於壹個矩形的面積，而該矩形的底等於半個圓周，矩形的高等於圓的半徑”等等，都屬於實驗幾何學的範疇。2、理論幾何的形成和發展隨著古埃及、希臘之間貿易與文化的交流，埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘。
古希臘許多數學家，如泰勒斯（Thales）、畢達哥拉斯（Pythagoras）、柏拉圖（Plato）、歐幾裏德（Euclid）等人都對幾何學的研究作出了重大貢獻。特別是柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎，而後歐幾裏德在前人已有幾何知識的基礎上，按照嚴密的邏輯系統編寫的《幾何原本》十三卷，奠定了理論幾何（又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、歐氏幾何等）的基礎，成為歷史上久負盛名的巨著。
《幾何原本》盡管存在公理的不完整，論證有時求助於直觀等缺陷，但它集古代數學之大成，論證嚴密，影響深遠，所運用的公理化方法對以後數學的發展指出了方向，以至成為整個人類文明發展史上的裏程碑，全人類文化遺產中的瑰寶。3、解析幾何的產生與發展公元3世紀，《幾何原本》的出現，為理論幾何奠定了基礎。
與此同時，人們對圓錐曲線也作了壹定研究，發現了圓錐曲線的許多性質。但在後來較長時間裏，封建社會中的神學占有統治地位，科學得不到應有的重視。
直到15、16世紀歐洲資本主義開始發展起來，隨著生產實際的需要，自然科學才得到迅速發展。法國笛卡爾（Descartes）在研究中發現，歐氏幾何過分依賴於圖形，而傳統的代數又完全受公式、法則所約束，他們認為傳統的研究圓錐曲線的方法，只重視幾何方面，而忽略代數方面，竭力主張將幾何、代數結合起來取長補短，認為這是促進數學發展的壹個新的途徑。
在這樣的思想指導下，笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數對的對應，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數的方程來表示，並且形成了壹系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產生了。解析幾何學的出現，大大拓廣了幾何學的研究內容，並且促進了幾何學的進壹步發展。
18、19世紀，由於工程、力學和大地測量等方面的需要，又進壹步產生了畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等幾何學的分支。4、現代幾何的產生與發展在初等幾何與解析幾何的發展過程中，人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，並不斷地充實壹些公理，特別是在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“壹條直線與另外兩條直線相交，同側的內角和小於兩直角時，這兩條直線就在這壹側相交”的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，並取得了兩方面的突出研究成果。
壹方面，從改變幾何的公理系統出發，即用和歐氏幾何第五公設相矛盾的命題來代替第五公設，從而導致幾何學研究對象的根本突破。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基用“在同壹平面內，過直線外壹點可作兩條直線平行於已知直線”代替第五公設，由此導出了壹系列新結論，如“三角形內角和小於兩直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等等，後人稱為羅氏幾何學（又稱雙曲幾何學）。
德國數學家黎曼從另壹角度，“在同壹平面內，過直線外任壹點不存在直線平行於已知直線”代替第五公設，同樣導致了壹系列新理論，如“三角形內角和大於兩直角”、“所成三角形與球面三角形有相同面積公式”等，又得到另壹種不同的幾何學，後人稱為黎氏幾何學（又稱橢圓幾何學）。習慣上，人們將羅氏幾何、黎氏幾何統稱為非歐幾何學。
將歐氏幾何（又稱拋物幾何學）、羅氏幾何的公***部分統稱為絕對幾何學。另壹方面，人們在對歐氏幾何公理系統的嚴格分析中，形成了公理法，並由德國數學家希爾伯特在他所著《幾何基礎》中完善地建立起嚴格的公理體系，通常稱為希爾伯特公理體系，希爾伯特公理體系是完備的，即用純邏輯推理的方法，定能推演出系統嚴密的歐氏幾何學。
但如果根據該公理體系，逐步推演出歐氏幾何中那些熟知的內容，卻是壹件相當繁瑣的工作。