1. 元素與集合：a∈A,b?A
2. 集合與集合：A B,A?B,A?B,A∩B,A∪B, UA,……
3. 差集：A－B＝{x|x∈A且x?B}(部分資料上用“A\B”表示)
4. 集合運算律：(略)
5. n個元素的集合所有子集個數為：2n
6. 覆蓋與劃分：如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn，則S1、S2、……、Sn叫做集合S的壹個覆蓋；如果同時又有Si∩Sj＝φ(i≠j),則S1、S2、……、Sn叫做集合S的壹個劃分.
7. 容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)
－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)
＋card(A∩B∩C)
該結論可以推廣到n個集合.
8. 命題與推理：簡單命題與復合命題，邏輯關連詞“或”、“且”、“非”的應用，逆命題、否命題、逆否命題及其真假性的判斷
9. 充要條件：如果A?B，則稱A是B的充分條件，同時稱B是A的必要條件
10. 數學悖論：對於命題p，如果p正確，則可以推導出“非p”，而如果p錯誤，又可以推導出p正確。也稱“二難問題”。
二、例題：
1. 已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，則這樣的x的不同的值有( )個
A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然數，且如果x∈M，則8－x∈M，則滿足這樣條件的集合M的個數為( )(註：自然數包括0)
A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z| ≤2x＜32}的真子集個數.
4. 在1～120的120個自然數中，素數與合數各有多少個？
5. 已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.
6. 在數理化三科競賽輔導中，高壹10、11、12班參加數學輔導的有168人，參加物理輔導的有187人，參加化學輔導的有155人，數學、物理兩科都參加的有139人，數學、化學兩科都參加的有127人，物理、化學兩科都參加的有135人，數理化三科都參加的有102人，問這三個班總***有多少人至少參加了壹科的輔導？
解：根據容斥原理，至少參加壹科輔導的學生人數為：
168＋187＋155－139－127－135＋102＝211
7. 求證：任意n＋1個整數中，總有兩個整數的差能被n整除。
提示：利用余數構造n個集合，根據抽屜原理，至少有兩個整數放在壹個集合裏，它們同余，它們的差壹定能被n整除.
8. 證明：若購買超過17千克（整數千克）的糧食，只用3千克和10千克的糧票支付，而無需要找補。
解：本題其實就是證明大於17的整數都能表示為3m＋10n的形式，其中m,n都是非負整數.註意到：大於17的整數可以寫成3k,3k＋1,3k＋2(k≥6)的形式，而3k＋1＝3(k－3)＋10,3k＋2＝3(k－6)＋10×2，因此它們都能夠表示成3m＋10n的形式，其中m,n都是非負整數.
9. 設A是數集，滿足若a∈A，則 ∈A，且1?A.
⑴若2∈A，則A中至少還有幾個元素？求出這幾個元素.
⑵A能否為單元素集合？分別在實數集和復數集中進行討論.
⑶若a∈A，證明：1－ ∈A.
解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A
∴ A中至少還有兩個元素：－1和
⑵如果A為單元素集合，則a＝
即a2－a＋1＝0
該方程無實數解，故在實數範圍內，A不可能是單元素集
但該方程有兩個虛數解：a＝ i
故在復數範圍內，A可以是單元素集，A＝{ i}或A＝{ i}
⑶a∈A ? ∈A ? ∈A，即1－ ∈A
10. 設S為集合{1，2，3，……，50}的壹個子集，且S中任意兩個元素之和不能被7整除，則S中元素最多有多少個？
將這50個數按照7的余數劃分成7個集合
A0={7,14,21,28,35,42,49}
A1={1,8,15,22,29,36,43,50}
A2={2,9,16,23,30,37,44}
A3={3,10,17,24,31,38,45}
A4={4,11,18,25,32,39,46}
A5={5,12,19,26,33,40,47}
A6={6,13,20,27,34,41,48}
除去A0中的7個元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六個集合的每壹個集合中任意兩個元素之和也不能被7整除，但是，A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取壹個元素的話，這兩個元素之和能夠被7整除，因此，所求集合中的元素可以這樣構成：A0中取壹個，然後在A1和A6、A2和A5、A3和A4每壹組的兩個集合中取壹個集合中的所有元素，為了“最多”，必須取A1中的8個，然後可以取A2、A3中各7個元素，因此S中元素最多有1+8+7+7=23個
11. 已知集合A中有10個元素，且每個元素都是兩位整數，證明：壹定存在這樣兩個A的子集，它們中沒有相同的元素，而它們的元素之和相等.
解：這10個元素的總和S＜100×10＝1000
而A的子集總***有210＝1024＞1000＞S
根據抽屜原理，至少存在兩個子集，他們的元素之和相等，記為M、N，
如果M、N沒有公***元素，則M、N就是滿足題意的子集，命題得證.
如果M、N中有公***元素，記M∩N＝Q,
考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q
則M'、N'中沒有公***元素，且M'、N'的元素之和相等，同時它們都是A的子集.
即M'、N'為所求集合.
命題成立！
12. 老師手中拿有三頂白色帽子和兩頂紅色帽子，他讓三個學生按前後順序站成壹列，然後讓他們閉上眼睛，給他們每人戴上壹頂帽子，並將剩下的兩頂帽子藏了起來，三人睜開眼睛後，後面的人可以看見前面人的帽子顏色.這時老師問：“妳們誰能判斷出自己戴的帽子的顏色？”結果三人都說：“不能！”老師又說：“妳們再考慮考慮，能判斷出來嗎？”三人思考了壹會兒，還是都說：“不能！”老師再壹次問：“真的不能嗎？”，這時，站在最前面的同學突然說：“老師，我知道我戴的帽子顏色了！”請問，這位同學戴的帽子是什麽顏色的？他又是怎樣判斷出自己帽子的顏色的？
答：白色.
不妨從前到後記三人為甲乙丙，
第壹次問，甲乙自然無法判斷，而丙也無法判斷，說明甲乙二人戴的帽子顏色為“兩白”或“壹紅壹白”
第二次問，丙的情形沒有變化，也無法判斷，這時，甲和乙可以動腦筋了，既然甲乙的帽子顏色為“兩白”或“壹紅壹白”，如果乙看到甲的帽子顏色為紅色，則乙的帽子顏色肯定為白色，這樣乙就應該在老師第二次提問時回答出答案，這說明乙看到的甲的帽子顏色為白色.因此乙無法判斷自己帽子的顏色.
這樣，當老師第三次提問時，甲就可以利用前兩次乙和丙“不知道”的回答給自己的提示，從而準確地判斷出自己所戴帽子的顏色為白色.
13. 孫臏是中國古代著名的軍事學家，他的兵法眾人皆知.壹天，大王決定要考壹考孫臏的才能，便對孫臏說：“請妳用計讓我走下我的寶座.”壹旁的龐涓爭著說：“我把大王拖下來！”大王對他的答案立即給予否定：“這不是用計！”龐涓又說：“那我用火燒！”大王也不以為然，這時孫臏說：“大王，要妳走下寶座確實不易，但如果妳來到寶座下面的話，我可以用計讓妳走回去！”大王壹心要試壹試孫臏的智力，毫不猶豫地走了下來等待孫臏用計，這時孫臏說：“大王，我已經成功了！”大夥兒壹時都糊塗了，這是怎麽回事呢？
其實這是孫臏給大王設下了壹個“二難”的格局，如果大王不下寶座，則孫臏的的前提“如果妳來到寶座下面”不成立，這樣我的智力無法表現出來了，而如果大王走下寶座，則“我已經讓妳走下了寶座”。因此，無論大王怎麽樣動作，孫臏都能夠保證自己至少不輸！
14. 這裏是五間並排的商店。它們的店員分別是高太太(她不是美容師)、林先生(他不是水果商)、劉先生(他不是藥商)、李先生(他不是雜貨商)及盧小姐(她不是開花店的)。
盧小姐的店鋪位於這排商店的最後壹間，劉先生的隔鄰是雜貨店，而他跟水果商很友善，希望有壹天她能把店鋪轉讓給他。
如果上面這壹段文字已經能確定出每間店鋪的主人，妳能得出詳細結果嗎？
解：註意：題目敘述中已經透露出水果商是女性，並註意到“這壹段文字已經能確定出每間店鋪的主人”，畫出推理表即可得出正確結論
美容師 水果商 藥商 雜貨商 開花店
高太太 × O × × ×
林先生 × × × O ×
劉先生 × × × × O
李先生 × × O × ×
盧小姐 O × × × ×
練習：
1. 集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，則a的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.－1
2. 設A＝{x∈Z|x2－px＋15＝0}，B＝{x∈Z|x2－5x＋q＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，則集合A，B分別是( )
A.{3，5}，{2，3} B.{2，3}，{3，5} C.{2，5}，{3，5} D.{3，5}，{2，5}
3. 50名學生參加跳遠和鉛球兩項測試，成績及格的人數分別為40人和31人，兩項成績都不及格的有4人，那麽兩項成績都及格的有( )人
A.35 B.25 C.28 D.15
4. 集合{x∈N|0＜|x－1|＜3}的真子集個數為( )
A.16 B.15 C.8 D.7
5. 設A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{ }，求A∪B.
6. 已知集合A和集合B各含有12個元素，A∩B含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合C的個數:①C?A∪B，且C中含有3個元素，②C∩A≠φ.
7. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求實數a的值和m的取值範圍.
(理發師悖論)某個小島上只有壹個理發師，因此小島上的所有人理發都只好找這個理發師，壹天，這個理發師自豪地說：“我給這個小島上所有不給自己理發的人理發，也只給這些人理發！”