示例1。壹名運動員在離籃筐4米的地方跳起投籃。球的軌跡是拋物線。當球的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，然後準確落入籃筐。已知鐵環中心到地面的距離為3.05米。
(1)建立如圖直角坐標系，求拋物線解析式；
(2)運動員的身高是1.8m，這次跳投，球是在他頭頂上方0.25m處出手的。
問:當球被釋放時，他跳離地面多高？
簡單的解決方案:
(1)由於拋物線的頂點是(0，3.5)，其解析式可設為y=ax2+3.5。因為拋物線經過(1.5，3.05)，所以得到a=-0.2。拋物線的解析式為y=-0.2x2+3.5。
(2)當x=-2.5時，y=2.25。球釋放時，其離地高度為2.25-1.8-0.25=0.20(米)。
點評:利用投球時球的軌跡、跳水時人體的軌跡、拋物線橋洞設計的二次函數的應用屢見不鮮。解決這類問題壹般分為以下四個步驟:
(1)建立合適的直角坐標系(如題中給出，無需重建)；
(2)根據給定的條件，找出拋物線上的已知點，寫出坐標；
(3)利用已知點的坐標，得到拋物線的解析式。①已知三點坐標時，可用通式y=ax2+bx+c求其解析式；(2)當已知頂點的坐標為(k，h)和另壹點的坐標時，解析式可由頂點y=a(x-k)2+h得到；③當已知拋物線與X軸兩交點的坐標分別為(x1，0)和(x2，0)時，可由二分公式y=a(x-x1)(x-x2)得到解析式；
(4)利用拋物線解析式求出與問題相關的點的坐標，從而使問題得以解決。
例2:某商場購買了壹批生活用品，單價為16元。通過實驗發現，如果以每件20元的價格出售，每月可以賣出360件，如果以每件25元的價格出售，每月可以賣出210件。假設每月售出的件數y(件)是價格x(元/件)的線性函數。
(1)試求y和x的關系；
(2)在不考慮商品積壓等因素的情況下，每月利潤最大的售價是多少？每月最大利潤是多少？
解:(1)根據題意設y=kx+b，則有
所以y =-30x+960 (16 ≤ x ≤ 32)。
(2)月利潤P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
= 30(+48-512)
=-30 +1920.
所以當x=24時，P有壹個最大值，最大值是1920。
答:當價格為24元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤為1920元。
註:數學應用題來源於實踐，用於實踐。在當今社會市場經濟環境下，我們應該掌握壹些關於商品價格和利潤的知識。總利潤等於總收入減去總成本，然後用壹個二次函數求最大值。
例3:體育考試，初三壹個高個子男生鉛球，已知鉛球經過的路線是壹個二次函數圖像的壹部分。如圖，如果這個男同學手上的A點坐標是(0，2)，那麽鉛球路徑最高點的B點坐標是(6，5)。
(1)求這個二次函數的解析表達式；
(2)男同學推鉛球推了多遠？(精確到0.01米，)
解法:(1)設二次函數的解析式為
，頂點坐標是(6，5)
A (0，2)在拋物線上。
(2)什麽時候，
(無關，放棄)
(米)
a:該生推鉛球13.75米。
例4。某商場以每件42元的價格購買壹種服裝。根據試銷可知，該類服裝的日銷售量(件)可視為與每件銷售價格(元/件)成線性函數:
1.寫出該類服裝在商場銷售的日銷售利潤與每件銷售價格之間的函數關系(日銷售利潤是指所售服裝的銷售價格與進價之間的差額)；
2.通過得到的函數關系式的公式指出，如果商場想每天獲得最大的銷售利潤，每件最合適的銷售價格是多少；最大銷售利潤是多少？
分析:壹個商場的利潤是由每件商品的利潤乘以每天銷售的數量決定的。
在這個問題中，如果每件服裝的利潤為()，售出的件數為(+204)，那麽我們可以得到和之間的壹個函數關系，它是壹個二次函數。
銷售所需的最大利潤就是這個二次函數所需的最大值。
解:(1)從題意來看，每件的銷售利潤與銷售價格的函數關系為
= (-42) (-3+204)，也就是=-3 ^ 2+8568。
(2)公式=-3 (-55) 2+507。
當每件銷售價格為55元時，可獲得最大利潤，日銷售利潤最高為507元。
例5:跳水運動員進行10米的跳臺跳水訓練時，其身體(作為壹點)在空中的運動路線是如圖所示坐標系中通過原點O的拋物線(圖中標註的數據為已知條件)。跳壹個規定動作時，壹般情況下，空中最高處距離水面米，入水點到池邊距離4米。在運動員離開水面5米之前，
(1)求這條拋物線的解析表達式；
(2)在壹次試跳中，測得運動員在空中的運動路線為(1)中的拋物線，運動員在空中調整入水姿勢時，離池邊的水平距離為米。這次跳水會不會出現失誤？
並通過計算說明原因。
解析:(1)在給定的直角坐標系中，要確定拋物線的解析式，需要確定拋物線上三點的坐標，如跳躍點O (0，0)，入水點(2，-10)，最高點的垂直點標為。
(2)找到拋物線的解析式後，就要判斷跳水是否會錯，即運動員在離泳池水平距離為米時，是否在水面以上5米。
解法:(1)在給定的直角坐標系中，設最高點為A，入水點為B，拋物線的解析式為。
從問題的意思我們知道O (0，0)，B(2，-10)，頂點A的縱坐標是。
求解或
∵拋物線對稱軸在軸的右側，∴
且∵拋物線開口向下，∴ A < 0，B > 0。
∴拋物線的解析式是
(2)當運動員在空中與池邊的水平距離為100米時，
最終，
∴此時，運動員離水的高度是
所以這個跳水會出錯。
例6。某服裝經銷商A庫存進價為400元的A品牌服裝1200套。正常銷售時，每套600元每月能買1000套，剛好壹年內售罄。現在市場上流行B品牌的服裝。該品牌服裝進價200元，售價500元，每月可購買1，20套(兩套服裝)。目前有機會進入B品牌。如果錯過這個機會，估計壹年之內這種服裝就沒有了。但經銷商手頭沒有流動資金，只低價轉讓A品牌服裝。與經銷商B協商後，達成協議。轉讓價格(人民幣/臺)與轉讓數量(臺)有如下關系:
轉讓數量(套)1200 100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100。
價格(人民幣/臺)240 250 260 270 280 290 300 365 438+00 320 330 340 350
方案1:既不轉讓A品牌服裝，也不分銷B品牌服裝；
方案二:A品牌衣服全部轉讓，用轉讓的資金購買B品牌衣服後，B品牌衣服分銷；
方案三:轉讓A品牌服裝的壹部分，用轉讓的資金購買B品牌服裝後，同時發放B品牌服裝和A品牌服裝。
問:
(1)莊家A壹年從期權1和期權2中獲得多少利潤？
(2)莊家A選擇哪種方案在壹年內獲利最大？如果選擇方案3，他轉給經銷商B的某品牌衣服的數量是多少(精確到100套)？這個時候，他壹年賺多少？
解:經銷商A的進貨成本= = 48萬元。
①如果選擇方案1，利潤為1200 600-480000=240000元。
如果選擇方案二，轉讓費為1200 240=288000元，可以購買B品牌服裝套裝。如果只是壹年內做空，可以獲利1440 500-480000=240000元。
②如果轉讓X套A品牌衣服，轉讓價格為每套人民幣，可以購買B品牌衣服，賣出所有B品牌衣服後獲得人民幣。此時A牌衣服還剩(1200-x)套，A牌衣服全部賣出後將獲得人民幣x=600(1200-x)，因此X = * *獲利。
三、習題題:
1.某商場以每件30元的價格購買壹件商品。在試銷過程中，發現該商品的日銷售量(件)與每件的銷售價格(元)滿足線性函數關系:
(1)寫出每天的銷售利潤與商場每件商品銷售價格之間的函數數關系。
(2)如果商場想每天獲得最大的銷售利潤，每種商品最合適的價格是多少？最大銷售利潤是多少？
2.如圖，壹面緊貼學校圍墻，另外三面用40米長的圍欄圍起來，形成壹個40平方米的長方形花園。
(1)求:和之間的函數關系，求米為2時的值；
(2)設矩形的邊長米滿足矩形變成黃金矩形的關系，求黃金矩形的長和寬。
習題1答案:
當價格為42元時，最大銷售利潤為432元。
練習2答案:(1)
什麽時候，
(2)如果①
(2)
從①和②的解中，
其中20個無關緊要，所以丟棄。
當矩形變成黃金矩形時，寬度為，長度為。
3.壹個圓形噴泉將建在某個地方。噴泉中心垂直於水面安裝壹根花形柱OA，O正好在水面中心。置於a柱頂部的噴嘴向外噴水，水流沿拋物線路徑向下流，各方向形狀相同。在通過OA的任意平面上，拋物線形狀如圖，建立直角坐標系如圖。水射流的高度和水平距離之間的關系如下。
請回答以下問題:
1.OA柱的高度是多少？
2.噴射的水離水平面的最大高度是多少？
3.如果不考慮其他因素，水池的半徑至少要有多少米，才能讓噴出的水不落到池外？
練習3答案:
(1)OA的高度是米。
(2)當，即水流離水平面的最大高度為米。
(3)
其中，是無關緊要的。
回答:水池的半徑至少要有2.5米，這樣噴出的水才不會落到池外。