我們平時學習的知識,壹般都是不同層次、不同內容的碎片化的知識形式。在解決應用問題的時候,我們會把所學的知識從儲存的大腦中壹個壹個的調出來使用。然而,用常規方法解決某些問題並不容易,也很麻煩。這時候可以換壹種思維方式,把問題作為壹個整體來看待,這樣解題效果特別好。這種解決問題的思維方式叫做整體設零,或者叫整體思維。
例1,五個數的平均數是7;如果其中壹個數字改成9,這五個數字的平均值就是8。最初的更改次數是多少?
【解題思路】:
妳可能看完題目就想知道這五個數字是什麽,顯然沒有必要。這個問題的解決方案要整體考慮,改變後的五個數之和比原來多:
8×5-7×5=5
那麽,什麽數字“增加5”變成了9呢?這個太簡單了,高壹的孩子都能做。
解:根據分析,列綜合公式為:
9-(8×5-7×5)=4
答:改後的數字是4。
例2:設四個數,其中每三個數之和分別為22,20,17,25,求這四個數。
【解題思路】:
按照解決這個問題的常規習慣,需要設定四個未知數,然後列出四個方程,難度很大。我們小學沒學過方程。如果把四個數之和作為整個x,可以列出壹個簡單的方程來求解。
解法:設四個數之和為X,那麽這四個數就是x-22,x-20,x-17,x-25,從題意可以得出。
(x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)= x
解是x=28。
所以,這四個數是8,3,6,11。
請嘗試用整體設零的思維方法解決以下問題:
任意改變五位數12345的位數位置得到的五位數有幾個質數?
數學思維方法(二)——巧妙的變化讓妳豁然開朗。
壹個山區的農民收獲了很多辣椒,拿到集市上賣,但是銷路不好,因為包裝不吸引人。後來,他們重新設計了壹種漂亮新穎的包裝,很快就打開了市場。
這個例子說明,山區的農民因為改變了辣椒的包裝,獲得了可觀的經濟利益。
解決數學問題也要這樣考慮,適當改變問題,達到化難為易,化繁為簡的目的,從而達到順利解決問題的目的。這種解決問題的方法叫做改變思維方法。
例如:計算:1990×198.9-1989×198.9。
【思路分析】
根據積的變化規律:壹個因子放大幾倍,另壹個因子縮小同樣的倍數,積不變,被減數可變為:199×1989,變化後的被減數為199× 1989× 65438,被減數為1989。
解:1990×198.9-1989×198.9。
=199×1989-1989×198.9
=1989×(199-198.9)
=1989×0.1
=198.1
數學思維方法(三)——快速巧妙的否定思維
如果妳想證明壹臺電視機壞了,有兩個基本方法:壹是把電視機拆開,檢查零件和電路。只要能找到毛病,就能斷定它壞了;另壹種方法是接通電源,調節視頻。如果接收不到相關頻率的圖像或聲音,就可以斷定是壞了。後壹種思路其實是:假設電視沒壞,那麽妳接好電源,調好視頻,就能接收到清晰的圖像和聲音;如果現在收不到聲音和圖像,那就和電視機沒壞的假設相沖突了。矛盾的根源在於假設電視機沒有壞,所以這個假設是站不住腳的,應該否定,就是電視機壞了。這種逆向思維的思維方法叫逆向思維,在解決數學問題時可以借鑒。
例:永興小學的壹次數學競賽,* * *有10道題,每做對壹道題得8分,每做錯題得5分,小華得了41分。他做對了幾道題?
【思路分析】
這個問題當然可以按照“常規”方法解決。讓小花把X題做對,把(10-x)題做錯,按題意列出方程式。
8x=41+(10-x)×5
8x=41+50-5x
8x+5x=91
13x=91
x=7
小華答對了七道題。
如果妳運用逆向思維,妳可以得到以下新穎的解決方案:
解:如果小華把10的題都做對了,他應該得到10×8=80(分)。
但他實際上只拿到了41分,輸了80-41=39分。
條件告訴我們,每錯壹個答案“不僅不給分,還要扣5分”,也就是每錯壹個答案損失5+8=13(分),從中可以發現他答錯的問題39÷13=3(道)。
10-3=7(道)
答:小華答對了七道題。
數學解題時,用反面思考問題,會有意想不到的結果。請用逆向思維解決學習中的問題。
請用逆向思維解決問題:
有壹個抽牌遊戲:兩個人輪流抽54張牌,每人壹次可以抽1到4張牌,但是不能錯過。規定抓到最後壹張牌的人是失敗者。妳想想,如果妳先抓住它,妳怎麽能立於不敗之地呢?
列表以期開辟壹條坦途(4)
應用於數學問題求解的列舉問題所有可能情況獲得解的方法,是根據題目某壹方面的要求,列舉(不是省略)所有基本符合要求的數據;然後選擇完全符合題目要求的答案。這種方法叫做枚舉思維。
比如從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中,選擇五個不同的數字組成壹個五位數,這樣就可以被3、5、7和13整除。最大數量是多少?
【思路分析】
這個問題的數量關系很復雜,問題給出的條件並不“充分”。用壹般的方法來分析和回答似乎更難。我們不妨用列舉思維來試試。
解:要使這五個數能被3、5、7和13整除,我們知道這五個數是3、5、7和13的公倍數。因為3、5、7和13的最小公倍數是(3×5×7×13)=1365,所以這個五位數中1365的最大倍數是1365×73=99645,而是99645。
99645-1365=98280(與題意不符)98280-1365=96915(與題意不符)96915-1365=95550(與題意不符)
可以看到最大的五位數是94185。
請列舉思維解決問題。
*有兩位數,兩者之差為56,其平方的後兩位數相同。找到這兩個數字。
【思路分析】
兩個數應滿足的條件分解如下
數學思維方法(五)——壹壹對應巧解題
鈴聲壹響,學生陸續回到座位,每個學生和座位之間都有對應關系;再比如,放學後,學生已經全部回了家,這些學生與各自的家有對應關系。對應是壹種普遍現象,每個對應都是按照壹定的規律進行的。日常生活中就是這樣,學數學也不例外。如果某些數學問題用常規方法很難解決,那麽我們可以考慮將問題適當對應,以達到化繁為簡的目的。這樣才能順利解決原問題。這種思維方式叫做壹對壹思維。
比如高級奶糖每公斤10元,普通奶糖每公斤6元,水果糖每公斤2元。現在把2斤高級奶糖,3斤普通奶糖,5斤水果糖混合在壹起。這種混合糖多少錢壹公斤?
【思路分析】
這類問題其實就是求平均值的問題。由問題“這種混合糖多少錢壹公斤?”對,它的總數量應該是總錢,它的總分應該是總公斤。根據條件,10元對應2kg,6元對應3kg,2元對應5kg。因此,高檔奶糖、普通奶糖和水果糖的數量分別為10×2=20(元)、6×3=18(元)和2× 5。三種糖果的總錢數為:20+18+10=48(元)。三種糖果的總重量為2+3+5=(公斤)。貨幣總量48元對應總重量10公斤,由此可以計算出這種混合糖每公斤的價格為:48÷10=4.8(元)。
解決方案:根據以上分析:
(10×2+6×3+2×5)÷(2+3+5)= 4.8元
這種混合糖每公斤4.8英鎊。
請用壹對壹的思維方式回答以下問題:
學校籃球隊有12人合影留念。兩張普通彩色照片的價格是16元,加壹張0.8元。如果壹個人得到壹張照片,每人多少錢?
數學思維方法(六)——收斂與發散的交流
日常生活中有壹個普遍現象——銜接與發散。
比如妳往壹鍋湯裏滴點香油,很快妳就會發現鍋裏有壹大朵油花;如果妳把壹塊石頭扔進河裏,會有水花等等。這種現象在解決數學問題中應用廣泛。凝聚力就是思考,找到解決問題的規律;發散就是用規律指導行動,讓這個規律可以用來解決問題,從而發展出規律的普適性。向“縱、橫、深、廣”拓展,向“少、精、柔”探索。這樣,學壹個例題,就能掌握壹節課,既能提高運算速度,又能像冰糖葫蘆壹樣有目的地把各種知識串聯起來,達到溫故而知新的目的。這種思維方式叫做凝聚式發散思維。
示例,計算:32+64+128+256
[思路分析1]
按照從左到右的操作順序。
溶液1,
32+64+128+256
=96+128+256
=224+256
=480
【思路分析2】
加法交換律和結合律:32結合128,64結合256,可以使計算簡單。
解決方案2,
32+64+128+256
=(32+128)+(64+256)
=160+320
=480
【思路分析3】
這四個數分別是32的1倍、2倍、4倍、8倍,所以這四個數是32的(1+2+4+8)倍,壹個數乘以15可以通過“乘以10加壹半”巧妙計算出來。
解決方案3,
32+64+128+256
=32×(1+2+4+8)
=32×15 ...........乘以10,在32×10+(320/2)上加半個巧妙的計算。
=480
請用這種方法解決下列問題。
火車在6小時內行駛360公裏。以這個速度,12小時火車行駛多少公裏?