我們平時學習的知識，壹般都是不同層次、不同內容的碎片化的知識形式。在解決應用問題的時候，我們會把所學的知識從儲存的大腦中壹個壹個的調出來使用。然而，用常規方法解決某些問題並不容易，也很麻煩。這時候可以換壹種思維方式，把問題作為壹個整體來看待，這樣解題效果特別好。這種解決問題的思維方式叫做整體設零，或者叫整體思維。
例1，五個數的平均數是7；如果其中壹個數字改成9，這五個數字的平均值就是8。最初的更改次數是多少？
【解題思路】:
妳可能看完題目就想知道這五個數字是什麽，顯然沒有必要。這個問題的解決方案要整體考慮，改變後的五個數之和比原來多:
8×5-7×5=5
那麽，什麽數字“增加5”變成了9呢？這個太簡單了，高壹的孩子都能做。
解:根據分析，列綜合公式為:
9-(8×5-7×5)=4
答:改後的數字是4。
例2:設四個數，其中每三個數之和分別為22，20，17，25，求這四個數。
【解題思路】:
按照解決這個問題的常規習慣，需要設定四個未知數，然後列出四個方程，難度很大。我們小學沒學過方程。如果把四個數之和作為整個x，可以列出壹個簡單的方程來求解。
解法:設四個數之和為X，那麽這四個數就是x-22，x-20，x-17，x-25，從題意可以得出。
(x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)= x
解是x=28。
所以，這四個數是8，3，6，11。
請嘗試用整體設零的思維方法解決以下問題:
任意改變五位數12345的位數位置得到的五位數有幾個質數？
數學思維方法(二)——巧妙的變化讓妳豁然開朗。
壹個山區的農民收獲了很多辣椒，拿到集市上賣，但是銷路不好，因為包裝不吸引人。後來，他們重新設計了壹種漂亮新穎的包裝，很快就打開了市場。
這個例子說明，山區的農民因為改變了辣椒的包裝，獲得了可觀的經濟利益。
解決數學問題也要這樣考慮，適當改變問題，達到化難為易，化繁為簡的目的，從而達到順利解決問題的目的。這種解決問題的方法叫做改變思維方法。
例如:計算:1990×198.9-1989×198.9。
【思路分析】
根據積的變化規律:壹個因子放大幾倍，另壹個因子縮小同樣的倍數，積不變，被減數可變為:199×1989，變化後的被減數為199× 1989× 65438，被減數為1989。
解:1990×198.9-1989×198.9。
=199×1989-1989×198.9
=1989×(199-198.9)
=1989×0.1
=198.1
數學思維方法(三)——快速巧妙的否定思維
如果妳想證明壹臺電視機壞了，有兩個基本方法:壹是把電視機拆開，檢查零件和電路。只要能找到毛病，就能斷定它壞了；另壹種方法是接通電源，調節視頻。如果接收不到相關頻率的圖像或聲音，就可以斷定是壞了。後壹種思路其實是:假設電視沒壞，那麽妳接好電源，調好視頻，就能接收到清晰的圖像和聲音；如果現在收不到聲音和圖像，那就和電視機沒壞的假設相沖突了。矛盾的根源在於假設電視機沒有壞，所以這個假設是站不住腳的，應該否定，就是電視機壞了。這種逆向思維的思維方法叫逆向思維，在解決數學問題時可以借鑒。
例:永興小學的壹次數學競賽，* * *有10道題，每做對壹道題得8分，每做錯題得5分，小華得了41分。他做對了幾道題？
【思路分析】
這個問題當然可以按照“常規”方法解決。讓小花把X題做對，把(10-x)題做錯，按題意列出方程式。
8x=41+(10-x)×5
8x=41+50-5x
8x+5x=91
13x=91
x=7
小華答對了七道題。
如果妳運用逆向思維，妳可以得到以下新穎的解決方案:
解:如果小華把10的題都做對了，他應該得到10×8=80(分)。
但他實際上只拿到了41分，輸了80-41=39分。
條件告訴我們，每錯壹個答案“不僅不給分，還要扣5分”，也就是每錯壹個答案損失5+8=13(分)，從中可以發現他答錯的問題39÷13=3(道)。
10-3=7(道)
答:小華答對了七道題。
數學解題時，用反面思考問題，會有意想不到的結果。請用逆向思維解決學習中的問題。
請用逆向思維解決問題:
有壹個抽牌遊戲:兩個人輪流抽54張牌，每人壹次可以抽1到4張牌，但是不能錯過。規定抓到最後壹張牌的人是失敗者。妳想想，如果妳先抓住它，妳怎麽能立於不敗之地呢？
列表以期開辟壹條坦途(4)
應用於數學問題求解的列舉問題所有可能情況獲得解的方法，是根據題目某壹方面的要求，列舉(不是省略)所有基本符合要求的數據；然後選擇完全符合題目要求的答案。這種方法叫做枚舉思維。
比如從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中，選擇五個不同的數字組成壹個五位數，這樣就可以被3、5、7和13整除。最大數量是多少？
【思路分析】
這個問題的數量關系很復雜，問題給出的條件並不“充分”。用壹般的方法來分析和回答似乎更難。我們不妨用列舉思維來試試。
解:要使這五個數能被3、5、7和13整除，我們知道這五個數是3、5、7和13的公倍數。因為3、5、7和13的最小公倍數是(3×5×7×13)=1365，所以這個五位數中1365的最大倍數是1365×73=99645，而是99645。
99645-1365=98280(與題意不符)98280-1365=96915(與題意不符)96915-1365=95550(與題意不符)
可以看到最大的五位數是94185。
請列舉思維解決問題。
*有兩位數，兩者之差為56，其平方的後兩位數相同。找到這兩個數字。
【思路分析】
兩個數應滿足的條件分解如下
數學思維方法(五)——壹壹對應巧解題
鈴聲壹響，學生陸續回到座位，每個學生和座位之間都有對應關系；再比如，放學後，學生已經全部回了家，這些學生與各自的家有對應關系。對應是壹種普遍現象，每個對應都是按照壹定的規律進行的。日常生活中就是這樣，學數學也不例外。如果某些數學問題用常規方法很難解決，那麽我們可以考慮將問題適當對應，以達到化繁為簡的目的。這樣才能順利解決原問題。這種思維方式叫做壹對壹思維。
比如高級奶糖每公斤10元，普通奶糖每公斤6元，水果糖每公斤2元。現在把2斤高級奶糖，3斤普通奶糖，5斤水果糖混合在壹起。這種混合糖多少錢壹公斤？
【思路分析】
這類問題其實就是求平均值的問題。由問題“這種混合糖多少錢壹公斤？”對，它的總數量應該是總錢，它的總分應該是總公斤。根據條件，10元對應2kg，6元對應3kg，2元對應5kg。因此，高檔奶糖、普通奶糖和水果糖的數量分別為10×2=20(元)、6×3=18(元)和2× 5。三種糖果的總錢數為:20+18+10=48(元)。三種糖果的總重量為2+3+5=(公斤)。貨幣總量48元對應總重量10公斤，由此可以計算出這種混合糖每公斤的價格為:48÷10=4.8(元)。
解決方案:根據以上分析:
(10×2+6×3+2×5)÷(2+3+5)= 4.8元
這種混合糖每公斤4.8英鎊。
請用壹對壹的思維方式回答以下問題:
學校籃球隊有12人合影留念。兩張普通彩色照片的價格是16元，加壹張0.8元。如果壹個人得到壹張照片，每人多少錢？
數學思維方法(六)——收斂與發散的交流
日常生活中有壹個普遍現象——銜接與發散。
比如妳往壹鍋湯裏滴點香油，很快妳就會發現鍋裏有壹大朵油花；如果妳把壹塊石頭扔進河裏，會有水花等等。這種現象在解決數學問題中應用廣泛。凝聚力就是思考，找到解決問題的規律；發散就是用規律指導行動，讓這個規律可以用來解決問題，從而發展出規律的普適性。向“縱、橫、深、廣”拓展，向“少、精、柔”探索。這樣，學壹個例題，就能掌握壹節課，既能提高運算速度，又能像冰糖葫蘆壹樣有目的地把各種知識串聯起來，達到溫故而知新的目的。這種思維方式叫做凝聚式發散思維。
示例，計算:32+64+128+256
[思路分析1]
按照從左到右的操作順序。
溶液1，
32+64+128+256
=96+128+256
=224+256
=480
【思路分析2】
加法交換律和結合律:32結合128，64結合256，可以使計算簡單。
解決方案2，
32+64+128+256
=(32+128)+(64+256)
=160+320
=480
【思路分析3】
這四個數分別是32的1倍、2倍、4倍、8倍，所以這四個數是32的(1+2+4+8)倍，壹個數乘以15可以通過“乘以10加壹半”巧妙計算出來。
解決方案3，
32+64+128+256
=32×(1+2+4+8)
=32×15 ...........乘以10，在32×10+(320/2)上加半個巧妙的計算。
=480
請用這種方法解決下列問題。
火車在6小時內行駛360公裏。以這個速度，12小時火車行駛多少公裏？