學術研究
關曉鶴寫了很多作品，近20部，但去世前只出版了壹本《衍生算法》(1674)。他去世後，弟子們整理了他的手稿，發表了《包容算法》，其余為未發表的手稿。從這些著作的寫作時間來看，小河的數學研究工作可以分為兩個階段，其數學著作基本在65438年。
1.“對位書法”和代數符號被引入創造“對位表演”。
這是關曉鶴最大的貢獻。主要記載在他的著作《微分算法》(1674)和《三冊》中的《解題方法》、《解題方法》(1683)。在《微分算法》中，高橋分析回答了日本數學家和之澤口(據悉和之澤口是高橋的弟子)撰寫的《古今算法劄記》(1671)中的15“余題”。但書中只有結果，省略了演技的描述，所以當時的日本人普遍看不懂他的回答。於是有人指責關曉鶴胡編亂造。1680年，日本數學家喬治·依平寫了《算法導論》，指出了算法解中的“錯誤”，並給予了“糾正”。作為對這類問題的回答，蕭何的弟子謙弘謙部寫了壹篇算法的解讀(650
蕭何還在《三曲班》中闡述了書法和表演段落的技法，這是三部作品的總稱，分別是《解題方法》、《解隱法》(1685)、《解隱法》(1683)。看問題只會加減乘除。這也是三部作品各自名字的由來。解題方法中首次出現了“側書”公式。所謂側體書法，就是在壹條短豎線旁邊寫下字來表示數量關系的壹種方式，如“A加B”、“A減B”、“A”
乘法B分別寫成| A | B、| A | B和| A | B；A 2，A 3，A 4，…
把“A-B”寫成“B | A”。
蕭何用上面那套符號來處理文字方程，比如方程。
a-b×X+c×××x2 ++ d×X3 = 0
表示為
甲方|丙方|丁方.
如果壹個方程有兩個未知數，例如
3y3+5xy2+8x2y+4x3=0，
只要用“A”代替Y，整個方程就表示為
因為“書法旁的書法”可以表示含有兩個或兩個以上未知數的方程，所以可以消去，這就使蕭何能夠用消去法解方程，從而得到了他的行列式理論。這些內容集中體現在解題方法上。書中介紹了書法旁基於書法的壹系列算法，他稱之為“天元分期”，後擴展為“回歸本源”。梁弼也被他的師父內藤正樹(1703—1766，“關柳”，數學家)命將“歸源”改名為“點穴”。點通靈是用上述書法對公式變形、解方程(組)、行列式等問題的系統學習，內容相當可觀。
2.提出代數方程變換理論和行列式理論。
本研究著重於解決問題的方法。書中介紹的方程變換方法有:省略、省略、還原、疊加、包含等。將壹個方程相乘，再從另壹個方程中減去，這叫做省略。如果壹個方程有壹個公因子，就叫“省”。當每壹項都有相同的數字系數(他稱之為“段數”)時，他稱之為“約”；當兩個方程不含未知量X的奇次冪時，換元法會用x2作為未知量來簡化方程，這就是所謂的“收縮”。“重疊”是指兩個方程用適當的公式相乘，然後相減，去掉壹些項；“圍合”就是把同次冪的系數組合起來，也就是把相近的項合並起來。孝順的表現在這些方法中表現的很明顯。
他用這些方法解方程的基本思路是，通過上述變換，從兩個二元方程中消去壹個未知數，得到壹元方程，然後求解這個壹元方程。首先，他用重疊和包圍的方法，由原來的兩個方程導出了關於X的N ^ N-1次方程。這些方程都是用標準形式寫的，即方程的右邊是0，左邊是按照x的升序冪排列的，他把這N個方程叫做“變換”。於是求解原方程組的問題就轉化為求解由變換組成的方程組。將X的冪從這個方程組的每壹項中去掉，得到原位次中每個系數(y的多項式或單項式)的行列式，使這個行列式等於0，用這個行列式表示的關於y的方程就是將X從原方程組中消去得到的壹元方程。這樣就把原方程組的求解問題轉化為這個壹元方程的求解問題。
為了簡化和求解這個含有行列式的方程，他對行列式進行了變換，由此導出了他的行列式理論。他在書中介紹了兩種計算行列式值的方法:分步交叉乘法和交叉斜乘法。
逐公式乘法的基本思想是將行列式的每壹行乘以壹個合適的公式，然後將每壹列的元素相加，直到除第壹列(即系數x0對應的列)外，其他列的元素之和為零。此時第壹列的元素之和就是行列式的值。
當行列式的階數較高時，顯然不容易看到上面幾行要相乘的因子。因此，他在書中介紹了另壹種計算行列式的方法，即交集斜乘法。但他並沒有說明這種方法的基礎，只是給出了2-5階行列式展開的規則，並用圖表說明。從這些解釋中可以看出，他的交集斜乘法，大致相當於今天中學裏介紹的對角線法或其延伸。
西方對行列式的研究最早出現在1693年G.W .萊布尼茨寫給G.F.A. L'Hospital的信中，小黑的解壓定律完成於1683年。因此，對孝道的研究至少比西方早10年。西方最早發表的關於行列式研究的著作是G·克萊姆的《分析代數方程組(65，438+0750)》壹書，這本書比解題方法更好。
3.研究了數字系數的高次方程，找到了負根和虛根，提出了判別式和多項式函數的導函數的多項式等價的概念。
關曉鶴的成就主要包含在《解隱題法》、《組方》和《七書集》中，分別是《組變法》(1685)、《辨題術法》(1685)和《釋病法》。
解隱問題的方法中有兩種理解數值系數高次方程的近似方法，轉平方根法和平方根公式，分別等價於霍納法和牛頓叠代法。小黑將這些解應用於字母系數方程f(x)= A0+a 1x+a2 x2+…+Anxn = 0。形式上F′(x)= a 1+2A2x+…+Nanxn-1，即得到多項式函數f(x)的導函數。此外，他還考察了只有虛根的方程(他稱之為“無商公式”)和只有負根的方程(他稱之為“負根”)本文研究了方程正負根存在的條件。在《辨別問題的方法》和《解釋疾病原因的方法》中，他把方程“無商”和“商負”的問題歸為“疾病”，並利用自己對數值系數方程的研究，介紹了改變“量”和糾正“疾病”的方法。
對於非商公式f(x) = 0，他主要是改變方程的系數，使其判別式取某個值，使方程有壹個正根或負根。在這個變換中，得到了條件f′(x)= a 1+2A2x+…+Nanxn-1。
4.中國的“三差法”推廣到壹般差分法，研究數論問題，發明“化零術”。
這些成果都集中在算法百科全書裏。蕭何去世後，他的手稿全部傳給了他的弟子荒木村上(1640-1718)。據說村上和蕭何原本是高原同學，後來他拜蕭何為師，所以得到了，因為他們在同學中的道德水準很高。我把整理蕭何手稿的工作交給了我的弟子大高佑昌。大高郵長從手稿中抽出幾篇文章，編輯成《壓縮算法》，由存英作序，發表於1712。與此相比，大高郵長在剪輯時並沒有太大的改動。這正是蕭何手稿中“諸約”的方法。
(1)微分法這是壹種從X = X1，y2，…，yn的兩組數據中確定函數Y = A1x+A2X2+…+Anxn的系數的方法，相當於西方數學中的有限差分法。
產品。
如果所有的平積相等，則A3 = A4 = … = 0，則A2 =δz 1，A1 = z1-A2X1可供選擇，差分法稱為“壹次乘法”。如果所有的垂直乘積相等，A4 = A5 = …就是U = a1+a2X在X = Xi的值，然後A2和a1的值可以通過“壹次相乘”得到，以此類推。
關曉鶴稱系數a1，a2，...，壹種“差異”，而發現這些差異就是“呼喚差異”。上述尋找差異的方法是他對差異的呼喚。
對於n = 2，3，4的情況，求f (x) = a1x+a2x2+…+anxn的系數的問題，在我國的數學中早已解決。蕭何的貢獻主要在於將這種“三差法”推廣到求n為任意自然數的差的壹般方法。
(2)收縮疊加。他的“契約”包括相互契約、逐契約、逐契約、逐契約、逐契約、逐契約、零契約、逐契約等。其中“逐約”就是給n個整數a1，a2，…，an，確定它們各自的約數a'1。他還把“以減為減”稱為“相互減”。“齊次歸約”就是求整數的最小公倍數。“泛歸約”就是將這n個整數除以整數的最大公約數。“泛減”就是求數列A+Ar+Ar2+…“減損”就是求數列A-Ar。
“化零術”是小河的發明。這是壹種確定無限非循環小數的近似分數的方法。在書中，他舉例說明了降零技術，比如壹個邊長為1英尺的正方形。
取p1 = 1和q1 = 1，按以下規則確定以下pn和qn。
n，對應的pn依次為1，3，4，6，7，9，10，113，14，16，17。38, 40, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 57, 58.所以有。
都出現在上面的大概分數壹欄。
在《環抱的算法》最後壹卷(甄卷)中，他用的就是這種自己發明的降零術。
給，但他是怎麽得到的？這壹點沒有流傳下來。小荷的這部作品給出了壹種推導方法。
Encompassion算法的第壹卷(元卷)也描述了“堆疊”的問題，即尋找
而sp = 1p+2p+3p+…+NP(他稱之為“平方疊積”)和sum。
對於方堆積，他用差分的方法計算出P = 1，2，3，…，11的情況，進而得出方堆積的通式:
他還給出了遞減堆積積的壹般公式:
值得註意的是，B2 b 1、...，Bn，...在平方疊加中公式與伯努利數相同，而西方第壹本介紹伯努利數並給出上述公式的書是數學家雅各布·伯努利的《猜想》(Arsconj-Etandi，1765438)。
(3)在數論方面，他還研究了技巧，即解同余群b1x≡a1(mod m1)，b2x≡a2(mod m2)，…，BNX ≡ An。後四個問題都是b1，b2，…，bn不全是1的情況，利用歸約技巧和剩余壹個技巧給出了求解方法。
滑管術的名稱和問題形式在我國宋代楊輝的著作《楊輝算法》中有所描述，但楊輝求解的同余公式集僅局限於B1 = B2 = … = BN = 1，m1，m2，…，mn互為素數的情況，且由於引用的例子涉及到小何從《楊輝算法》中得到了“加特林術”的名稱和問題形式， 但由於他發明了“剩余技術”，引入了“壹壹”和“互約”的概念，所以對於m1，m2，…，mn不完全，b1，b2，…，bn不完全的情況，他沒有得到1。
5.給出了曲線長度和立體求積的壹些近似方法。
這些研究主要集中在解題方法、求積和球曲變形的求解上，其中創新性的成果在於他的橢圓周長和阿基米德螺線長度的近似算法，解決了圓環、圓弧圓環和十字圓環的近似求積問題。
(1)橢圓周長的近似算法首次出現在橢圓周長和阿基米德螺線的求解隱問題的方法中。他把橢圓看成是從不同角度看圓時得到的圖形，得出了橢圓周長L的近似計算公式:
L2 = π 2(大直徑×小直徑)+4×(大直徑-小直徑)2。
這本書還解決了“背”的問題，即所謂“形”的長度的求法問題。如圖1，將扇形的OAB分成半徑為OC1，OC2，…，OCn-1 n的等份，然後用半徑OA作為C'1。得到圓弧通過C′k點的交點Dk(0≤k≤n，點O為D0，點A為Dn)，Dk點的軌跡為“之”字形。可見之字形是阿基米德螺線。他給出了計算曲折長度的公式(後面):
書中沒有解釋他是如何得到這個公式的。
(2)環面、弧環面和交叉環面的體積所謂環面，是圓在其平面上繞與圓無公共點的直線旋轉壹周所得到的立體；弧形環是弧形環繞壹條與弧形環在其平面上無公共點的直線旋轉得到的立體。關曉鶴設想，如果將環形圈截平拉直，就會變成壹個圓柱體，那麽環形圈的體積就等於這個截面(圓形面)的面積乘以這個圓柱體的高度(也就是環形圈“中心圓”的周長)。他的計算假設環形的環被截斷和拉直。他用弓的面積乘以弧環的中心周長作為弧環的體積。這裏的中心圓是指圓(或弓)在旋轉過程中，圓(或弓)表面的壹個特定點所形成的圓，這個特定點就是圓(或弓)的重心。可見，小黑已經有了“重心”的概念。他計算環和弧環體積的方法與帕波斯的方法等價。
所謂“十字環”，是指由兩個圓柱體和壹個圓環構成的立體。如圖2所示，兩個圓柱體的軸線相互垂直，都經過圓環的重心，圓柱體被圓環的表面所切割，兩個圓柱體的底半徑等於圓環的橫截面半徑。這個問題最早出現在米和成對兩個記錄(1653)的引用中。
另外，《壹個球體的變形的解法》Que也是壹本主要研究求積問題的書。但這本書涉及的多是Que Ball(用平面切割球體得到)、Que Cylinder(用平面切割圓柱體得到)、Arc Cone(底部為弧形的圓錐體)、Arc Platform(底部為弧形的平臺)等復雜的實體。他通過使這些立體變形，給出了這些立體的近似求積方法。他給這本書命名。
6.建立了圓理論和角理論，解決了弧長、球體體積和正多邊形等問題。
“圓形”壹詞在後世數學家中常用來指求解曲線的長度、圖形(平面圖形或曲面圖形)的面積和立體的體積的方法。而小和創立的圓形，僅限於圓和球體的計算。他對循環性的研究主要集中在《包絡算法》第4卷(真卷)。由三部分組成:求圓周率的方法，求矢弦的方法，求豎圓積率的方法(豎圓就是球)。他找到了壹個圓的正215、216、217邊的周長A、B、C，並在上面加了壹個數。
作為圓周的近似，我們可以得到圓周率小數點後11位數，然後用
他的“尋弧”是從弦a、矢量c和直徑d求弧長s的方法，他給出了公式:
其中A0，A1，A2，A3，A4，A5由C = C0，c1，c2，c3，c4，c5和對應的S = S0，s1，s2，s3，s4，s5確定。
如果上述插值公式中沒有分母(d-c) I (I = 1，2，…，5)，則與牛頓插值公式完全相同。這個公式和牛頓插值公式原理壹樣。牛頓的插值公式是由I .牛頓發現的，w .瓊斯得到牛頓的允許，寫出了微分法(Method US)。1711)在國際上發表，而Encompassion算法在1709寫成序言和後記，在1712發表，所以可以說關曉鶴和牛頓幾乎同時獨立發現了這個公式。
對於球的體積，他提出了“求豎圓積率”的技巧。首先將球切成50個平面平行的切片，將每個切片看作壹個底部靠近球中心的圓柱體，求這50個“圓柱體”的體積之和。然後把每個切片看成壹個以它的另壹個底為底的圓柱體，求這50個“圓柱體”的體積之和，再求這兩個體積之和的平均值A，作為這50個切片的總體積。同樣，把球切成100和200片，如上分別求出這100和200片的總體積B和C，用加法求出。
把它當成壹個球體的體積。雖然在這個過程中使用化歸的條件並不充分，但在他的除法-變換-求和的求積方法中，積分的思想已經開始萌芽。
“測角法”是建立正多邊形的邊長與其外接圓半徑、邊長與其內切圓半徑之間關系的壹種方法。他給出了3-20的正多邊形的這些關系，而以前的求和器只算出了邊數不超過15的正多邊形的上述關系。另外，蕭何在推導過程中使用的壹些幾何定理都是憑直覺得到的。
7.研究了幻方問題，用同余公式解決了日本古代的“立繼子女”問題。
《七書》中的方陣法和圓積法給出了幻方(他稱之為“方陣”)和圓積的壹般構造方法，即按照壹定的規則改變n-2階幻方的每壹個數，相應地將其作為“核心”，在外圓上按照壹定的規則填入4n-4個數，就可以得到n階幻方。這種方法類似於18。
“繼子編制”是日本廣為流傳的古老問題。上面說壹個貴族家庭有30個孩子，其中15是前妻生的，15是前妻生的。要在這30個孩子中選壹個繼承家業，讓30個孩子圍成壹個圈，從壹個孩子開始倒數，讓65438。數到20的時候，讓20對應的孩子出圈。如果倒數到十這個整數，就把這個數對應的孩子拉出圈子，直到剩下最後壹個孩子，這個孩子就繼承家業了。如果前妻只有壹個兒子，前妻有14個兒子，那麽妳可以從前妻的兒子算起，讓這個孩子成為“繼子”。
蕭何把這個問題理論化，用算符方法中的同余公式證明。
除了上述著作，蕭何還寫了很多數學方面的書，如《角法與線段圖》、《百問百答》、《不要怕改答案》等。在天文歷法方面，他也有不少著作，如《編年歷四卷》、《編年歷立法》(1681)。
前期數學對關曉鶴的影響
從上面的介紹可以看出，關曉鶴的壹些數學研究源於他之前的求和著作中的“遺產”。他的第壹部數學著作《導數算法》是對澤口壹《古今算法誌》(1671)中遺留問題的解答。還回答了Kamura Jide (65438+)的《算法的可疑抄襲》。至今仍有相關手稿，其中壹些成為關曉鶴研究的起點。比如算法缺壹復制中的第45題(“截錐”)引出他對橢圓的研究。41的問題(“利加羅體積”，即在錐形桿上繞壹根繩子求繩子的長度)引出了他對背部問題的研究。他的壹些重要的思維方法也是從這些作品中獲得的。比如《古今算法》壹書中，澤口壹通過變換方程系數避免了有兩個正根的情況，這啟發了關曉鶴。進而得到了求多項式函數最大值和最小值的“最佳平方方法”。在問題和技巧的論證方法上，他采用了逐次逼近法來解決“破題技巧”(即“由遠及近找題”的方法，他認為這不是最恰當的方法)，這可能是取自“不要害怕改變算法”
但他的主要數學成就在他之前的求和著作中找不到，這就形成了他的研究與之前求和數學家的研究之間的壹個“斷層”。有人認為是中國數學和西方數學的影響彌補了這個斷層。根據日本武林史書《武林外傳》(1738)《關信助算術軼聞》中的壹段記載，蕭何估計南方某寺廟中可能收藏有唐本(指由中國流傳到日本的古籍)中的壹些數學書籍，於是前往杜南搜尋並復制帶回江戶研究。從這樣的軼事中，我們可以看出關曉·何在他的研究中參考了中國的數學著作。
從小河的數學成就來看，對其研究影響較大的中國數學著作有楊輝的《算法》(1378)和《清代天文學概論》等。楊輝的算法是楊輝的《乘除變》(上冊《算法與變》，中冊《乘除變與算寶》)。與石忠榮合著)，共同刻制的簡化的場木比較法乘除法和從古人提取賠率的算法，在朝鮮重新刻制後傳入日本並保存下來。小何從“楊輝算法”中得到了“海角管理”的名稱和問題形式，並加以完善。另外，“楊輝算法”
晁的《天文成就壹瞥》對蕭何也有影響。蕭何的《發明計時》(或稱天文成就三圖)是這本書第三卷的解說，所以看起來蕭何是認真研究過這本書的。元代郭守敬授時歷中有對“三異”的解釋，可能導致了蕭何的“求異”。
西方數學的影響直到明治時代以後才被研究。17世紀中葉，荷蘭萊頓大學的F. van Schooten教授有壹個學生叫P. Hartsingius。他是日本人。這是從荷蘭阿姆斯特丹大學的D.J. Coltee Weg教授寫給林博士的信中得知的。這名日本人後來是否回到日本已經無法確認。但根據日本數學史家三島和夫的考證，當時日本有壹位醫學家叫哈氏八宗，此人可能就是哈氏竇。如果這個推測是正確的，那麽說明當時已經有人把西方數學帶回日本了，所以可以認為是關曉曉。
從上面的介紹可以看出，關曉鶴從以往數學家的研究中發現問題，並在理論上解決這些問題或者推廣到壹般方法。此外，他還有自己的開創性研究。這些成果奠定了求和的基礎，擺脫了日本數學家簡單介紹中國數學的傳統束縛，成為後世和數學家的典範。
關柳數學教育與關柳弟子
關曉鶴作為壹名數學家，也是壹名數學教育家。他壹生親自教導過的弟子有數百人，其中最傑出的是荒木村上和健二，健二兩兄弟。在村上的弟子中，有畢，在中根元貴的弟子中也有。在袁貴的弟子中，最有名的就是住在山路上的那個。蕭何及其弟子的研究，構成了和算最大的流派之壹——管六(管六所有代數專家的家譜如下圖所示)。和蕭何創立的教育方法有很大關系。他根據學生情況分為五個等級，每個等級都配有相應的具體數學內容和具體教材。初級教學是珠算。每完成壹級的學習，“從演戲到從舞臺跳到舞臺”的高級技術，授予相應的“免試證書”，相當於現在的畢業證書。共有五個等級:“免見題”、“免藏題”、“免蓋題”、“免印”。後來這種方法不斷發展，成為壹種嚴格的教育制度。而且最後只有幾個高等級的弟子得到了封印。後來隨著數學研究的發展，加入到各個層次的學習內容不斷增加，五段免試制度也越來越完善和嚴格。山道主成為觀六掌門時，據說規定壹代只傳壹個兒子和兩個高徒。
關於所用的教材，除了關曉鶴的著作，其他關劉人數學家也寫過教材，如居住在盧杉的《關劉算術》45卷，作為關劉人的啟蒙教程；Kurujima Yitai的25卷《廣益計算階梯》也作為數學初學者的教材。
可見，關曉鶴創立的五段免修制，已經萌芽了班級授課制。
附:閉流家譜