1.元素和集合:a∈A，b？A
2.設置和設置:A B，A？b，A？B，A∩B，A∪B，UA，…
3.差集:a-b = {x | x ∈ a和x？B}(在某些材料中用“A\B”表示)
4.設定運算法則:(略)
5.n個元素的集合的所有子集的數量是2n。
6.覆蓋和劃分:如果集合S = S1 ∪ S2 ∪...∪ Sn，那麽S1，S2，...，Sn稱為集合S的覆蓋；如果同時存在Si ∩ SJ = φ (I ≠ J)，那麽S1，S2...，Sn稱為集合s的壹個除.
7.排除原理:卡(a ∪ b) =卡(a)+卡(b)-卡(a ∪ b)
卡(A∪B∪C)=卡(A)+卡(B)+卡(C)
-卡(A∩B)-卡(B∩C)-卡(C∩A)
+卡(A∩B∩C)
這個結論可以推廣到n個集合。
8.命題與推理:簡單命題與復合命題，邏輯關聯詞“或”、“與非”的應用，逆命題、負命題、否定命題及其真假判斷。
9.充要條件:如果a？B，說A是B的充分條件，B是A的必要條件。
10.數學悖論:對於命題P，如果P是正確的，可以推導出“非P”，如果P是錯誤的，可以推導出P是正確的。也被稱為“兩難”。
二、例子:
1.給定集合A = {1，3，x}，B = {1，x2}，A ∪ B = {1，3，x}，這樣的x有()個不同的值。
A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的所有元素都是自然數，如果x∈M是8-x ∈ m，那麽滿足這個條件的集合M的個數是()(註:自然數包括0)。
A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x ∈ z | ≤ 2x < 32}的真子集數。
4.從1到120的120個自然數中，分別有多少個質數和合數？
5.已知m = {a，a+d，a+2d}，n = {a，aq，a+2d}，m = n，求q的值.
6.數理化競賽輔導中，高壹有10、11、12三個班，參加數學輔導的有168人，參加物理輔導的有187人，參加化學輔導的有155人。數學化學都參加過的有127人，物理化學都參加過的有135人，數學物理化學都參加過的有102人。這三個班有多少人參加過至少壹個科目的輔導？
解答:根據寬容與排斥原則，參加至少壹門學科的學生人數為:
168+187+155-139-127-135+102=211
7.證明:在n+1的任意整數中，兩個整數之差總能被n整除..
提示:N個集合是用余數構造的。根據鴿子洞原理，至少有兩個整數放在壹個集合中，它們全等，它們的差壹定能被n整除.
8.證明:購買17公斤(整數公斤)以上的糧食，只需用3公斤和10公斤糧票支付，無需補。
解:這個問題其實是為了證明大於17的整數可以用3m+10n的形式表示，其中m和n為非負整數。註意大於17的整數可以寫成3k，3k+1，3k+2 (k ≥ 6)，3k+6550的形式。
9.設A是壹組數，這樣如果a∈A，那麽A，和1？A.
(1)如果2∈A，A中有多少個元素？找到這些元素。
⑵A可以是單元素集嗎？分別在實數集和復數集中討論。
(3)若a∈A，則證明為:1-∈ A .
解法:(1) 2 ∈ A？-1∈A？∈A？2∈A
∴ A中至少有兩個元素:-1和。
⑵如果A是單元素集，那麽A =
即A2-A+1 = 0。
方程沒有實數解，所以在實數範圍內，A不可能是單元素集。
但是這個方程有兩個虛解:A = I。
所以在復數的範圍內，a可以是單元素集，a = {i}或a = {i}。
⑶a∈A？∈A？∈A，即1-∈ A
10.設s是集合{1，2，3，...，50}，且S中任意兩個元素之和不能被7整除。S中最多有多少個元素？
根據7的余數把這50個數分成7組。
A0={7，14，21，28，35，42，49}
A1={1，8，15，22，29，36，43，50}
A2={2，9，16，23，30，37，44}
A3={3，10，17，24，31，38，45}
A4={4，11，18，25，32，39，46}
A5={5，12，19，26，33，40，47}
A6={6，13，20，27，34，41，48}
除A0中的7個元素外，其他集合中的所有元素都不能被7整除，其他六個集合中的每壹個集合中任意兩個元素之和都不能被7整除。但如果從A1和A6，A2和A5，A3和A4中取壹個元素，這兩個元素之和可以被7整除，那麽集合中的元素可以這樣構成:從A0中取壹個。然後從A1和A6，A2和A5，A3和A4中取壹個集合中的所有元素。為了“最大化”，我們必須從A1中取8個元素，然後我們可以從A2和A3中取7個元素，所以S中元素的最大個數是1+8+7 = 23。
11.已知集合A中有10個元素，每個元素都是兩位數的整數。證明了A必有兩個子集，且其中沒有相同的元素，但其元素之和相等。
解:這10個元素之和S < 100×10 = 1000。
而A的子集總是有210 = 1024 > 1000 > s。
根據鴿子洞原理，至少有兩個元素和相等的子集，記為m，n，
如果M和N沒有公共元素，那麽M和N是滿足問題含義的子集，命題得到證明。
如果m和n有壹個公共元素，記住m ∩ n = q，
檢查集合m' = m-q，n' = n-q。
那麽M’和N’中沒有公共元素，M’和N’中元素之和相等，都是a的子集.
也就是說，m’和n’是期望的集合。
命題成立！
12.老師手裏拿著三頂白帽子和兩頂紅帽子。他讓三個學生站成壹排，然後讓他們閉上眼睛，給每個人戴上壹頂帽子，把剩下的兩頂帽子藏起來。三個人睜開眼睛後，後面的人可以看到前面帽子的顏色。這時老師問:“誰能說出妳戴的帽子的顏色？”結果三個都說:“不行！”老師又說:“好好想想。能看出來嗎？”他們三個想了壹會兒，但都說:“不行！”老師又問:“真的嗎？”這時，站在前面的同學突然說:“老師，我知道我帽子的顏色了！”“請問這位同學的帽子是什麽顏色的？他是如何判斷他帽子的顏色的？
甲:白色的。
這麽說吧，從頭到尾的三個人是A，B，C，
第壹次問的時候，甲乙雙方自然無法判斷，丙方也無法判斷，說明甲乙雙方戴的帽子顏色是“兩白”還是“壹紅壹白”。
第二次問的時候，C的情況沒有變化，無法判斷。這時候甲乙雙方就可以動動腦筋了。由於甲方帽子的顏色是“兩白”或“壹紅壹白”，如果乙方看到甲方帽子的顏色是紅色，那麽乙方帽子的顏色壹定是白色，這樣乙方第二次回答老師的問題，就說明甲方帽子的顏色是白色。所以乙方無法判斷自己帽子的顏色。
這樣，當老師第三次提問時，A就可以利用前兩次B和C的“我不知道”回答所給出的提示，準確判斷出自己帽子的顏色是白色。
13.孫臏是中國古代著名的軍事學家，他的兵法是眾所周知的。有壹天，國王決定考驗壹下孫臏的才能，就對孫臏說:“請用壹個詭計讓我從王位上下來。”龐涓壹口咬定:“我要把大王拖下水！”國王立刻否認了他的回答:“這不是詭計！”龐涓說:“那我就燒了它！”國王不同意。這時，孫臏說:“陛下，您要從寶座上下來真的不容易，但是您要是到了寶座下面，我可以把您騙回去！”大王壹心要試試孫臏的聰明，毫不猶豫地下來等孫臏用。這時，孫臏說:“陛下，我成功了！”大家壹時糊塗了。發生了什麽事？
其實這是孫臏給王者設置的壹個“二難”格局。如果國王不從寶座上下來，那麽孫臏的前提“如果妳是從寶座下來的”就不成立，所以我的智力就無法表現出來。如果國王從寶座上下來，那麽“我已經讓妳從寶座上下來了”。所以，不管王者怎麽走，孫臏至少能保證自己不會輸！
14.這裏有五家並排的商店。他們的店員分別是高太太(她不是美容師)、林先生(他不是水果商)、劉先生(他不是毒販)、李先生(他不是雜貨商)和陸小姐(她不是花店的)。
陸小姐的商店在這壹排的最後壹家。劉先生的隔壁是壹家雜貨店，他和賣水果的人很友好。我希望有壹天她能把商店轉讓給他。
如果上面壹段已經能確定每個店鋪的店主，能不能得出壹個詳細的結果？
註:題目描述已透露水果商為女性，並註明“此段可確定各店鋪店主”，畫推理表即可得出正確結論。
理發師、水果商、毒販、雜貨商、花店
高×××××夫人
林先生
劉先生
李先生
陸小姐o ×××××
練習:
1.集合A = {A2，A+1，-3}，B = {A-3，2A-1，A2+1}。如果A ∩ B = {-3}，則A的值為(。
A.0 B.1 C.2 D.-1
2.設a = {x ∈ z | x2-px+15 = 0}，b = {x ∈ z | x2-5x+q = 0}。如果a ∪ b = {2，3，5}，那麽集合A和B分別是
A.{3，5}、{2，3} B.{2，3}、{3，5} C.{2，5}、{3，5} D.{3，5}、{2，5}
3.50人參加跳遠測試和鉛球測試，40人通過測試，365，438+0人。四名學生兩次考試都不及格，所以有()名學生兩次考試都及格。
A.35 B.25 C.28 D.15
4.集合{x ∈ n | 0的真子集的個數
A.16
5.設a = {x | 2x2-px+q = 0}，b = {x | 6x2+(p+2) x+5+q = 0}。如果a ∩ b = {}，求a ∪ b .
6.已知集合A和B各包含12個元素，A∩B包含4個元素。試求同時滿足以下兩個條件的集合C的個數:①C？A∪B，而C包含三個元素，②C∪A≠φ。
7.已知集合A = {x | x2-3x+2 = 0}，B = {x | x2-ax+(A-1) = 0}，C = {x | x2-MX+2 = 0}，A∪B=A ∪ B = A，A。
(理發師悖論)壹個島上只有壹個理發師，所以島上的每個人都得去找這個理發師。壹天，理發師自豪地說:“我給這個島上所有不自己理發的人理發，而且只給這些人理發！”