勾股定理是壹個基本的幾何定理，是人類早期發現並證明的重要數學定理之壹，是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之壹，也是聯系數與形的紐帶之壹。古巴比倫人早在公元前3000年左右就知道並應用了勾股定理，他們還知道很多勾股數列。古埃及人在建造宏偉的金字塔和尼羅河泛濫後測量土地時也使用了勾股定理。在中國，勾股定理的公式和證明都記載在《周快舒靜》中，據說是商朝的商高發現的，所以也叫商高定理。三國時期的姜明祖對姜明祖計算中的勾股定理做了詳細的註釋，並給出了另壹種證明。直角三角形的兩個直角(即“鉤”和“股”)的邊長的平方和等於斜邊(即“弦”)的邊長的平方。也就是說，如果壹個直角三角形的兩個直角是A和B，斜邊是C，那麽A？+b？=c？。勾股定理的證明方法大約有400種，是數學中證明最多的定理之壹。趙爽在《周髀算經》的註釋中給出了壹張“趙爽弦圖”，證明了勾股定理的準確性。勾股數組方程A？+ b？= c？的正整數群(a，b，c)。(3，4，5)是畢達哥拉斯數。
“勾三、勾四、武賢”是勾股定理最著名的例子之壹。當整數a，b，c滿足a？+b？=c？在這種情況下，(a，b，c)稱為勾股數組。也就是說，如果壹個直角三角形的兩個直角是A和B，斜邊是C，那麽A？+b？=c？。“常見的畢達哥拉斯數是(3，4，5) (5，12，13) (6，8，10)。
勾股定理是壹個基本的幾何定理。直角三角形(即“鉤”和“弦”)的邊的平方和等於斜邊(即“弦”)的邊的平方。也就是說，如果壹個直角三角形的兩個直角是A和B，斜邊是C，那麽A？+b？=c？。勾股定理的證明方法大約有400種，是數學中證明最多的定理之壹。畢達哥拉斯數構成了？+b？=c？的正整數群(a，b，c)。(3，4，5)是畢達哥拉斯數。
勾股定理的證明方法；
加菲爾德方法
加菲爾德證明這個結論5年後，他成為美國第20任總統，所以人們也稱之為“總統證書法”。
在直角梯形ABDE中，∠ AEC = ∠ CDB = 90，△AEC?△CDB，？,?,
“總統證書法”示意圖
加菲爾德的變種
這個證明是加菲爾德證明的變體。
如果對角切壹個邊長為c的大正方形，就會回到加菲爾德證明。反之，如果把上圖中的兩個梯形放在壹起，就成了這個證明方法。
大正方形的面積等於中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:
勾股定理的應用；
小明學完勾股定理後很開心。他興奮地回家告訴父親:在△ABC中，如果∠ C = 90，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖所示，根據畢達哥拉斯定理，A2+B2 = C2。爸爸笑著說:很好，妳也掌握了壹樣的知識，現在我來考考妳。如果有，請說明原因；如果不成立，請類比勾股定理，試猜a2+b2和c2的關系，證明妳的結論。(下圖供以後使用)
回答:？解法:①當三角形為銳角三角形時，
證明AD⊥BC的垂直英尺是d，CD的長度是x，
根據勾股定理，b2-x2=AD2=c2-(a-x)2。
整理:a2+b2=c2+2ax
2ax > 0
∴a2+b2>c2
②當三角形是鈍角三角形時。
證明過B點為AC的垂線過D點，設CD的長度為y。
在直角三角形ABD中，AD2=c2-(a+y)2。
在直角三角形ADC中，AD2=b2-y2，
∴b2-y2=c2-(a+y)2
整理:a2+b2=c2-2ay
∵2ay>0,∴a2+b2 所以:①在銳角三角形中，A2+B2 > C2。 ②在鈍角三角形中，A2+B2 < C2。 分析:？根據題意，銳角三角形和鈍角三角形要分開證明，並做出它們的高度。根據高度是兩個直角三角形的共同直角邊這壹事實，應該用勾股定理來證明。