b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)
這就是牛頓-萊布尼茨公式。
牛頓-萊布尼茨公式的意義在於聯系了不定積分和定積分，也給出了壹個完善的、令人滿意的定積分運算方法。以下是證明這個公式的全過程:
我們知道，函數f(x)在區間[a，b]上的定積分表示為:
b(上限)∫a(下限)f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為壹個變量，所以我們定義了壹個新的函數:
φ (x) = x(上限)∫a(下限)f(x)dx
但這裏x有兩個意思，壹個是表示積分的上限，壹個是表示被積函數的自變量，但在定積分中被積函數的自變量取壹個定值是沒有意義的。為了只表示積分上限的變化，我們把被積函數的自變量改為t等其他字母，這樣意思就很清楚了:
φ (x) = x(上限)∫a(下限)f(t)dt
接下來，我們將研究這個函數φ (x)的性質:
1，定義函數φ (x) = x(上限)∫a(下限)f(t)dt，則φ' (x) = f (x)。
證明了如果函數φ (x)獲得增量δ x，則對應的函數增量。
δ φ = φ (x+δ x)-φ (x) = x+δ x(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt。
很明顯，x+δ x(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt = x+δ x(上限)∫x(下限)f(t)dt。
而δ φ = x+δ x(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)？δx(ξ在x和x+δx之間，可以從定積分中值定理推導出來。
也可以自己畫個圖，幾何意義很清楚。)
當δx趨向於0，即δφ趨向於0 x時，f (ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，於是有limδx→δφ/δx = f(x)。
可以看出，這也是導數的定義，所以我們最後得到φ' (x) = f (x)。
2.b(上限)∫a(下限)f (x) dx = f (b)-f (a)，f(x)是f(x)的原函數。
證明:我們已經證明了φ' (x) = f (x)，所以φ (x)+c = f (x)。
但是φ (a) = 0(積分區間變成[a，a]，所以面積為0)，所以f (a) = C。
所以φ (x)+f (a) = f (x)，當x=b，φ (b) = f (b)-f (a)，
而φ (b) = b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)。
把T重新寫成X就成了開頭的公式，這就是牛頓-萊布尼茨公式。