亞裏士多德將數學定義為“數量數學”，這壹直持續到18世紀。19世紀以來，數學研究越來越嚴謹，開始涉及群論、投影幾何等與量和度量沒有明確關系的抽象話題。數學家和哲學家已經開始提出各種新的定義。
這些定義有些強調大量數學的演繹性質，有些強調它的抽象性，有些強調數學中的某些主題。即使在專業人士中，也沒有達到數學的定義。
數學到底是壹門藝術還是壹門科學甚至還沒有定論。很多職業數學家對數學的定義不感興趣，或者認為它是未定義的。有的只是說，“數學是數學家做的。”
三種主要的數學定義被稱為邏輯學家、直覺主義者和形式主義者，每壹種都反映了不同的哲學思想流派。每個人都有嚴重的問題，沒有人普遍接受，沒有和解似乎是可行的。
數理邏輯的早期定義是本傑明·皮爾士的《得出必然結論的科學》(1870)。提出壹個叫邏輯主義的哲學綱領，試圖證明所有的數學概念、陳述和原理都可以用符號邏輯來定義和證明。數學的邏輯定義是羅素的“壹切數學都是符號邏輯”(1903)。
直覺主義的定義來自數學家L. E. J. Brouwer，將數學等同於某些心理現象。直覺主義定義的壹個例子是“數學是壹種相繼建構的心理活動”。直覺主義的特點是拒絕壹些根據其他定義認為有效的數學思想。
特別是，雖然其他數學哲學允許可以被證明存在的對象，即使不能被構造，但直覺主義只允許實際可以被構造的數學對象。