1.金聖公式
壹元三次方程ax3+bx2+CX+d = 0，(a，b，c，d∈R，a≠0)。
多重根判別式:
a = B2-3ac；
b =公元前9ad
C=c2-3bd，
總判別式:δ = B2-4ac。
當A=B=0時，金聖公式①:
x 1 = X2 = X3 =-b/(3a)=-c/b =-3d/c .
當δ = B2-4ac >時；0，金聖公式②:
x 1 =(-b-(y 11/3+y 21/3))/(3a)；
X2，3 =(-2 b+ y 11/3+y 21/3 31/2(y 11/3-y 21/3)I)/(6a)；
其中y1，2 = ab+3a (-b (B2-4ac) 1/2)/2，I2 =-1。
當δ= B2-4ac = 0時，公式③:
x 1 =-b/a+K；X2=X3=-K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
當δ = B2-4ac
x 1 =(-b-2a 1/2 cos(θ/3))/(3a)；
X2，3 =(-b+a 1/2(cos(θ/3)31/2 sin(θ/3)))/(3a)；
其中θ=arccosT，t = (2ab-3ab)/(2a3/2)，(a >；0，-1 & lt；T & lt1)。
2.填金鑒別法
①:當A=B=0時，方程有三重實根；
②:當δ = B2-4ac >時；0，方程有壹個實根和壹對* * *軛虛根；
③:當δ = B2-4ac = 0時，方程有三個實根，其中壹個有兩個根；
④:當δ = B2-4ac < 0時，方程有三個不相等的實根。
3.金聖定理
當b=0，c=0時，“金聖”公式沒有意義；當A=0時，黃金公式③毫無意義；當A≤0時，公式④無意義；當t 1時，公式④無意義。
當b=0，c=0時，公式①成立嗎？公式③和公式④中是否存在A≤0的值？金聖公式④中是否存在t 1的值？金聖定理給出了如下答案:
金聖定理1:當A=B=0時，若B=0，必有c=d=0(此時方程有三重實根0，金聖公式①仍然成立)。
金聖定理2:當A=B=0時，若b≠0，必有c≠0(這種情況應用金聖公式①解題)。
金聖定理3:當A=B=0時，必有C=0(此時應用金聖公式①解題)。
金聖定理4:當A=0時，若B≠0，必有δ > 0(這種情況應用金聖公式②解題)。
金聖定理5:當a < 0時，必有δ > 0(此時應用金聖公式②解題)。
金聖定理6:當δ = 0時，若B=0，必有A=0(此時應用金聖公式①解題)。
金聖定理7:當δ = 0時，若B≠0，金聖公式③必無A≤0的值(這種情況下應用金聖公式③解題)。
金聖定理8:當δ < 0時，金聖公式④壹定沒有A≤0的值。(此時應用金聖公式④解決問題)。
金聖定理9:當δ < 0時，金聖公式④中T≤-1或T≥1壹定沒有值，即T的值壹定是-1 < t < 1。
顯然，當A≤0時，有相應的公式可以解決問題。
註意:金聖定理的逆不壹定成立。例如，當δ > 0時，不壹定有< 0。
金聖定理表明，金聖公式總是有意義的。用金聖公式可以直觀地求解任意實系數的壹元三次方程。
當δ= 0(d≠0)時，仍然有利用卡爾丹公式解題的處方。與卡丹公式相比，金聖公式表達更簡單，利用金聖公式解決問題更直觀高效。用黃金財富的判別法，判別方程的解是直觀的。多重根判別式A = B2-3ac；b =公元前9adC = C2-3bd是最簡單的公式，A、B、C組成的總判別式δ = B2-4ac也是最簡單的公式(是壹個非常漂亮的公式)，其形狀與壹元二次方程根的判別式相同；金聖公式②中的公式(-b (B2-4ac) 1/2)/2具有壹元二次方程求根的形式，體現了數學中的有序、對稱、和諧、簡潔之美。
4.傳統解決方案
另外，壹元三次方程的求根公式是無法用普通的演繹思維推導出來的，標準的AX ^ 3+BX ^ 2+CX+D+0型壹元三次方程只能用類似於壹元二次方程求根公式的匹配方法形式化為X ^ 3+PX+Q = 0的特殊類型。
壹元三次方程的解公式的求解只能通過歸納思維得到，即根據壹元二次方程和特殊的高次方程的根公式的形式來概括壹元三次方程的根公式的形式。X ^ 3+PX+Q = 0形式的壹元三次方程的求根公式應該是X = A (1/3)+B (1/3)，是兩個指數之和。總結了壹元三次方程的根公式的形式，下壹步是求平方的內容，即用p和q表示a和b，方法如下:
(1)可以得到X = A (1/3)+B (1/3)的聯立立方。
(2)x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)(a^(1/3)+b^(1/3))
(3)因為X = A (1/3)+B (1/3)，所以(2)可以改成
X 3 = (a+b)+3 (ab) (1/3) x，轉置項可用。
(4) x 3-3 (ab) (1/3) x-(a+b) = 0，對比壹元三次方程和特殊類型x 3+px+q = 0可以看出，
(5)-3 (AB) (1/3) = P，-(A+B) = Q，簡化。
(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3
(7)這樣壹元三次方程的根就公式化成了壹元二次方程的根，因為A和B可以看成壹元二次方程的兩個根，(6)是關於AY ^ 2+BY+C = 0形式的壹元二次方程的兩個根的維耶塔定理，即。
(8)y1+y2=-(b/a)，y1*y2=c/a
(9)比較(6)和(8)，可以使A = Y1，B = Y2，Q = B/A，-(P/3) 3 = C/A。
(10)因為求ay 2+by+c = 0類型的壹元二次方程的根的公式是
y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
可以變成
(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的a = y1，b = y2，q = b/a，-(p/3) 3 = c/a代入(11)可得。
(12)a=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
b=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
(13)將A和B代入X = A (1/3)+B (1/3)。
(14)x =(-(q/2)-(q/2)2+(p/3)3)(1/2))(1/3)+(-(q/2))
(14)只是壹元三次方程的實根解。根據維耶塔定理的壹元三次方程，應該有三個根。但根據維耶塔定理的壹元三次方程，只需要壹個根，另外兩個根就很容易找到。