要介紹十二平均律的集合，首先要介紹十二平均律是什麽。要介紹“十二平均律”，首先要介紹什麽是“律”。“節奏”，即“音準”，是指人們為了規範音樂而刻意選擇的壹組高低不同的音符組成的系統，以及這些音符之間的關系。比如我們都知道的do、re、mi、fa、so、la、si，這七個音就形成了壹套音律。性情之學，謂之“性情”。也就是說，研究為什麽選擇do、re、mi……等七個音(當然也可以選擇其他音)作為規範，這些被視為“音階”的音是如何產生的，它們之間有什麽關系，是壹門學問。對於任何壹個民族來說，只要有豐富的音樂經驗，想要積累關於音樂的知識，遲早都會遇到關於法律的問題。令人驚訝的是，古今不同的民族，雖然各自喜愛的音樂形式可謂五光十色，異彩紛呈，互不借鑒，但大家法學的基本概念卻驚人的相似。這可能是音樂本身的超文化、超地域魅力造成的。(BTW: do，re，mi，fa，so，la，si，這些看似毫無意義的詞，其實是中世紀在西方教會中非常流行的壹些拉丁聖詠的第壹個音節。這些聖歌是現代西方音樂的來源。學過高中物理的人都知道，聲音的本質是空氣的振動。空氣的振動以波的形式傳播，這種形式稱為聲波。所有波(包括聲波、電磁波等。)有三個最本質的特征:頻率/波長、振幅和相位。對於聲音來說，聲波的頻率(聲學上壹般不考慮波長)決定了聲音有多“高”，聲波的振幅決定了聲音有多“響”，而人耳對聲波的相位並不敏感，所以研究音樂壹般不考慮聲波的相位。當然，法律不考慮聲音有多大，所以法律研究的重點是聲波的頻率。壹般來說，人耳能聽到的聲波頻率範圍在20HZ(每秒20次振動)到20000HZ(每秒20000次振動)之間。聲波的頻率越大(每秒振動越多)，聲音就越高。20HZ以下的頻率稱為次聲，20000HZ以上的頻率稱為超聲波。(BTW:人耳能分辨的最小頻差是2HZ。比如，人能聽出100HZ和102HZ的區別，卻聽不出100HZ和101HZ的區別。此外，由於以下原因，人耳在高音區的分辨率迅速下降。需要指出的是，人耳對聲波的頻率是指數敏感的。例如，100赫茲、200赫茲、300赫茲、400赫茲的聲音……...人們並不認為它們是“等距”的，而是認為越往後，聲音之間的“距離”就越近。100赫茲，200赫茲，400赫茲，800赫茲……...這些聲音讓人覺得“等距”(不知道為什麽)。換句話說，如果某壹組聲音的頻率嚴格按照×1，×2，×4，× 8的規律排列...，也就是說，它們聽起來像壹個“算術音高序列”。(例如，這裏有16個音調，它們的頻率分別是110HZ 1次、2次、3次...16次。妳可以聽聽，感覺是不是聲音越高，距離越近。用音樂術語來說，這些聲音都是110HZ的“諧波”，即這些聲波的頻率是某壹頻率的整數倍。這個ogg文件可以用暴風影音//StormCodec軟件試聽。)由於人耳對指數頻率比較敏感，所以上面提到的“x 2表示距離相等”的關系是音樂中最基本的關系。在音樂術語中，×2是壹個八度。上面說的do、re、mi中的do，和so、la、si之後的高音do是八度關系。換句話說，高音do的頻率是do的兩倍。同樣，re和高音re之間也有壹個八度的關系，高音re的頻率是re的兩倍。高音do之上的高音do，其頻率是do的四倍。也可以說兩者之間有兩個“八度”。很明顯，壹個音的所有八度都是它的諧音，但不是所有的諧音都是它自己的八度。自然，用do、re、mi寫的歌，如果用高音do、高音re、高音mi寫，聽眾只會覺得聲音變高了，旋律本身不會變。這種對等實際上是“等音高序列”的直接結果。全世界的人都發現了“八度”的重要性。例如，在中國浙江河姆渡遺址出土了壹支有9000年歷史的笛子(由鶴腿骨制成)。它能演奏八個音符，包括壹個八度。當然這個八度不會是從do到高音do，因為只要壹個音的頻率是另壹個音的兩倍，它們就是八度的關系，和具體壹個音多高沒有關系。理解八度的重要性。先說壹個八度以內哪些音比較重要。這其實是法理學的中心問題。也就是說，如果某個聲音的頻率是F，那麽我們應該在F和2F之間尋找那些重要的頻率。如果妳有學習弦樂器(如吉他、古琴、小提琴)的經驗，妳會知道它們能發出聲音是因為弦的振動。弦的振動與弦的長度有關。如果壹根弦振動，我們用手指按住弦的中點，也就是原來完全振動的弦變成了兩根長度為1/2的弦振動，我們會聽到更高的音。這個聲音和原聲的關系就是八度。因為物理上，弦的振動頻率和它的長度成反比。由於弦樂器是世界上發展最早的樂器類型之壹，這種現象對古人來說早已耳熟能詳。他們自然會想:如果在弦樂器上只需按中點就能實現八度2:1的關系，那麽如果妳試著按其他位置會怎麽樣？數學上，2:1是最簡單的比例關系，簡單程度僅次於3:1。那麽，如果我們按住字符串的1/3點會發生什麽？結果，琴弦發出兩個更高的音符。壹個聲音的頻率是三倍(因為弦長是1/3)，另壹個聲音是三倍(因為弦長是三分之二)。這兩個音相互之間也是壹個八度的關系(因為它們的弦長比是2:1)。這樣，第壹個重要的頻率3/2F就出現在我們要尋找的F ~ 2f範圍內。(那個3F的頻率正好在下壹個八度的同壹位置，也就是2f到4f。)然後再試壹次。數學上，簡單程度僅次於3:1，也就是4:1。我們試試和弦的1/4點。還有兩種聲音。壹個聲音的頻率是原聲的四倍(因為弦長變成了1/4)，離原聲差了兩個八度(術語叫“主音”)，可以不管。另壹個音符的頻率是主音的4/3倍(因為弦長是原來的3/4)。現在我們有了另壹個重要的頻率，4/3F。同壹根弦，在不同的條件下振動，可以發出多種頻率的聲音。聽覺上，與主音f最和諧的是3/2F和4/3F(主音八度除外)。這個現象也被很多民族發現了。比如最早用數學方法研究弦的振動的古希臘哲學家畢達哥拉斯(約公元前6世紀)。中國先秦時期的《管子·元帝篇》和《呂春秋·曲篇》中也記載了所謂的“三分盈虧法”。具體來說，取壹個和弦，“三分減壹”，即把和弦平均分成三段，舍壹留二，得3/2F。如果“三點成壹”，即把弦分成三段，再加壹段，就得到4/3F。得到這兩個頻率後，是不是還要繼續尋找1/5點，1/6點等等？不會，因為這些音和主音之間的和聲遠不如3/2F和4/3F。事實上，4/3F的和聲比3/2F的和聲低得多。古人於是改了壹個方法。在找到了與主音f最和諧的3/2F之後，他們轉向了3/2F的3/2F，也就是與最和諧的那個音最和諧的音，從而得到了(3/2)2F，也就是9/4F。但這已經超出了2F的範圍，進入了下壹個八度。沒關系，不是有“等音高序列”嗎？下壹個八度中的聲音，當然在這個八度中有等價的聲音，所以9/4F的頻率減半，得到9/8F。然後重復這個過程，找到3/2的三次方，於是就有了27/8F，在下壹個八度中也再次減半，得到27/16F。就這麽周而復始的壹直找？不會，因為這個循環會沒完沒了。我們理想的情況是，經過壹定的循環，我們會得到壹個八度的主音，這樣我們就可以“回歸”到主音，而不必繼續尋找。但是(3/2)n，只要n是自然數，結果就不是整數，更不是2的冪。所有法律的麻煩都開始了。數學上不可能的，只能用數學來解決。古人的策略是“近似”。他們註意到(3/2)5≈7.59非常接近23 = 8，於是他們認定這個音是他們要找的最後壹個音，比這個音高壹點的是主音的第三個八度。這樣，從主音f開始，我們只需要將“按照3/2的比例尋找最和諧的聲音”的過程循環五次，就得到五個音，加上主音和4/3F，壹* * *就是七個音。這就是為什麽我們應該用do、re、mi等七個音，而不是六個或八個音。這七個音符的頻率分別是F，9/8F，81/64F，4/3F，3/2F，27/16F，243/128F。如果這裏的F是do，那麽9/8F是re，81/64F是mi……...這七個頻率組成了七個聲級。這七種聲調都有自己的正式名稱。在西方音樂術語中，它們分別被稱為主音、超音、中音、次屬音、屬音、中音和導音。其中，第五“主音”so和第四“從屬音”fa與主音的關系最為密切，因為它們與主音之間的和聲分別是第壹和第二高。因為這個旋律主要來源於“主導音”so，也就是3/2F，而3/2的比例在西方音樂術語中被稱為“純五度”，所以這個旋律被稱為“五度律”。古希臘的畢達哥拉斯最早在西方提出了五度律(所以西方按照3/2的比例定調的做法叫畢達哥拉斯調律)，東方是《管子》的作者(不壹定是管仲本人)。中國歷代的旋律大多也是從“三分盈虧律”發展而來，也可以認為是“五度律”。如果我們仔細觀察上面五度律中七個音的頻率，可以發現它們之間的關系非常簡單:Do ~ Re、Re ~ Mi、Fa ~ So、So ~ La、La ~ Si之間的頻率比為9:8，稱為聲調；mi ~ fa和si ~ do的頻率比為256:243，稱為半音。由“五度互律”產生的七音音階，自誕生以來就不斷受到批評。原因之壹就是太復雜了。我之前說過，如果妳按住弦的1/5點或者1/6點，妳得到的聲音和主音不是很和諧。現在有81/64，243/128這樣的比例。這是不是太好看了？於是有人開始調整這七個音的頻率，於是就出現了“只是語調”。“純法”的重點是使每個音盡可能與主音和諧，也就是說，使每個音與主音之間的頻率比盡可能簡單。“純粹法”的發明者是古希臘學者塔倫圖姆(今意大利南部塔倫圖)的阿裏斯托塞努斯。東方似乎還沒有人獨立提出“純粹法”的概念。)這個人是亞裏士多德的學生，生活在公元前3世紀。他的理論重點是靠耳朵，而不是數學來主導音樂。他的著作留下來的只是片段，但可以確定的是，他最早提出了所謂的“自然尺度”。全音階也有七個音，但與“五度律”的七音音階有很大不同。七個自然音階的頻率分別是:f，9/8F，5/4F，4/3F，3/2F，5/3F，15/8F。真的簡單多了不是嗎？真的好多了。這麽簡單的比例就是“純法”。可見，“純粹法”不僅用3/2的比例，也用5/4的比例。新的7個頻率分別是5/4F，5/3 (= 5/4× 4/3) f，15/8 (= 5/4× 3/2) f，雖然“純律”的7音音階比“五音律”的7音音階好，數學上更簡單，但也有很大的問題。雖然每個音與主音的比例變得簡單了，但音與音之間的關系卻變得復雜了。原來五聲音律的七個音之間只有兩種比例關系，即“全音”和“半音”，現在有三種:9:8(叫“大調”，就是原來的“全音”)和10:9(叫“小調”)。妳可以通過將全音階的頻率彼此相除得到這個結果。再者，如果在全音階中比較re和fa，頻率比是27/32，那就沒那麽簡單好聽了！所以“純粹法”修改為“五度法”是不完全的。事實上，“純法律”遠不如“五度法律”受歡迎。五度定律的另壹個修正來自另壹個方向。還記得妳為什麽記了七個音符嗎？因為(3/2)5≈7.59非常接近23 = 8。但這畢竟是近似的，不是完全相等的。壹個八度以內，這麽小的差距可能不算什麽，但是如果樂器的音域跨越了幾個八度，那麽這個近似就不太好了。於是人們開始尋找更好的近似。古人通過計算發現(3/2)12≈129.7非常接近27 = 128，於是將“五度互律”中“按3/2的比例尋找最和諧的聲音”循環重復了12次，認為達到了主題。加上原來的主音和4/3F，現在有12個音符。請註意，目前的“標準”音階不是七音，如do、re、mi……...但是12筆記。由這個修正後的“五度律”衍生出的12音級，其頻率分別為F，2187/2046F，9/8F，19683/16384F，81/64F。對比之前的“五度互律”的七個聲調，可以發現原來的七個聲調還在，只是中間多插了五個。使用正式的音樂術語來稱呼原來的七個音符，即C、D、E、F、G、A和b。這五個新音符稱為C#(發音為“升C”)、D#、F#、G#和A#。12音階現在不能叫do、re、mi，應該叫C、C#、D、D#、e、F、F#、G、G#、A、A#和b，把兩個相鄰音符的頻率互相除以，妳會發現它們之間只有兩個比例:256:243(原來的“半音”，也叫“自然半音”)和2187:2048(這叫“變化半音”)。換句話說，這12個音符幾乎構成了壹個“等音高序列”。它們之間的距離幾乎相等。(當然，如果相鄰兩個音符之間只有壹個比值，嚴格來說等於“距離”。原來的七音音階中，C ~ D、D ~ E、F ~ G、G ~ A、A ~ B是用壹個全音隔開的，現在認為是用兩個半音隔開的。這就是“全部”和“壹半”這個術語的基礎。由於C#被認為是來自C的半音，C#也可以被認為是來自D的半音，所以C#和Db(讀作“D”)被認為是等價的。其實新加的五個音符也可以寫成:Db，Eb，Gb，Ab，Bb。我只需要舉壹個例子來說明這個12音級在音樂界的地位。鋼琴上所有的白鍵對應的都是原來7音階中的C，D … B，所有的黑鍵對應的都是12音階中新加入的C#，Eb…Bb。從7音級發展到12音級的實踐在西方和東方很早就出現了。其實《管子》中已經提出了12調值，後來的中國音律大多是以“五度律”的12調值為基礎的。畢達哥拉斯學派也提出了這個12音級。但是西方直到中世紀晚期才重新發現它們。能否進壹步發展五度律的12音級？是的，妳可以。12的聲級基於(3/2)12≈129.7，非常接近27 = 128。按照這個思路，繼續找接近的值就行了。真的有人找到了，這個人就是方婧(公元前77年-公元前47年)，中國西漢時期的著名學者。他發現(3/2)53≈2.151×109也非常接近231≈2.147×109，於是他提出了53音階的新旋律。要知道，古人現在還沒有我們的計算器，他們要計算這麽高的冪次問題還挺麻煩的。當然，方靜的新法律並不受歡迎，因為53秤太麻煩了！剛開始學音樂就記住這麽多音符。誰會感興趣？不過這種努力還是值得肯定的，這也說明12的聲音水平並不完美，確實需要提高。五聲音階律12音階的主要問題是相鄰音(自然半音和可變半音)的頻率比是兩個，而不是壹個。而且兩個半音差距也不小。(2187:2048)/(256:243)≈1.014。看起來差不多，是吧？但是自然半音本身是256:243≈1.053。如果12的音級是真正的“等音高序列”，那麽每個半音應該是相等的，每個音階應該是“等距”的。換句話說，12的真實音級可以把壹個八度分成12。為什麽強調「等分」和「等距離」？因為在音樂發展的過程中，人們越來越覺得需要“調音”。所謂變調，其實就是用不同的音高唱同壹個旋律。比如壹個人的音域是C ~高音C(也就是前面的do ~高音do)，為了給他伴奏，樂器就得演奏C ~高音C以內的旋律；如果另壹個人的音域是D ~高音D(也就是前面的re ~高音re)，樂器就得演奏D ~高音D內的旋律，而五度律的12音階根本不是“等音高序列”，人們會認為C ~高音C內的旋律和D ~高音D內的旋律是不壹樣的，特別是如果旋律涉及到更多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果每個鍵的音高都是由五度定律決定的，那麽只要旋律中有很多黑鍵參與，彈出的效果就會壹塌糊塗。這個問題在弦樂器上很容易解決，因為弦樂器的音高是由手指的按壓決定的。演奏者可以根據不同音域和旋律的要求，通過故意按弦而不是按在指定的手指位置來解決問題。但是，鍵盤樂器(如鋼琴、管風琴、大鍵琴等)的音高。)是固定的，暫時不能調整。所以在西方中世紀的樂理中，規定了有些曲調，有些聲音不能用，有些旋律不能寫。在壹些教堂的管風琴中，為了應對各種可能出現的情況，提前準備了很多額外的音管。以至於有些器官有幾百個甚至上萬個音管。壹方面作曲家覺得受到限制，另壹方面演奏者覺得演奏起來太麻煩。問題的根源還是在於近似。畢竟“五度定律”所依據的(3/2)12並不完全等於27。之所以有兩個半音，就是這種近似造成的。對“五度互律”12聲級的進壹步修改，東西方也走了類似的路線。比如東晉的何承天(公元370年-公元447年)把(3/2)12和27之間的差距劃分為12，累計展開到12的刻度，從而創造了壹個等差數列。可惜這只是壹種修補工作，並沒有從根本上解決問題。西方的做法是把(3/2)12和27之間的間隙攤到其他音符上。但為了保證主音c和屬音g的比例關系(這個“純五度”是壹個音階中最重要的和聲，即使在12音級中也是如此)，這種分散註定是不均勻的，最好的結果是12音中至少有壹個“走調”。如果把差距展開到12的音階，就必須破壞C和G之間的“純五次”和C和F之間的4/3比例(術語是“純四次”)。這樣雖然調音方便，但代價是尺度不再像以前那麽好。因為壹個八度內最和諧的兩個關系——純五度和純四度——都被破壞了。直到文藝復興時期，西方音樂圈盛行的規律叫“中庸壹節制”，就是在保證盡可能不影響純五度和純四度的前提下，把(3/2)12和27之間的間隙盡量分配到12音符上。這個妥協只是無奈的妥協，大家其實都在等待新的旋律出現。終於有人想出了壹個完整的解決方案。壹個八度不是12份嗎？為什麽不直接開2:1的12次方的比例關系呢？換句話說，真正的半音比應該是21/12。如果12音階中第壹個音符的頻率是F，那麽第二個音符的頻率是21/12F，第三個音符是22/12F，第四個音符是23/12F，...，第十二註是21658。這就徹底解決了“轉”的問題。有了這種新的旋律，從任何聲音中彈出的旋律都可以復制到任何其他音高，而不會影響旋律。在西方巴洛克音樂中，復調音樂偏愛多聲部。有了這個新旋律，可以說不再有障礙了。後來的古典音樂也間接受益匪淺。可以說，如果沒有這種新的旋律，古典主義者和浪漫主義者就不可能在後來探索各種音樂調性。這種新旋律被稱為“十二平均節奏”。它首先是由壹個名叫朱載堉的中國人發明的。他生於1536，死於1611。他利用算盤計算平方根的方法，第壹次計算出十二平均律的正確半音比例(難度可想而知)，他的成果可以在他的著作《律新論》中找到。可惜他的發明和中國古代的其他偉大發明壹樣，被埋沒在歷史的塵埃裏，鮮為後人所知。西方人提出“十二平均律”，比朱載堉晚了50年左右。但很快就傳播開來，流行開來。主要原因是西方音樂界迫切要求解決變調問題。當然，反對“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對意見是“十二平均律”破壞了純粹的五度和四度。然而，這種損害的程度並不十分明顯。“十二平均律”12聲級的頻率(近似值)分別為:F(C)，1.335F(F (c #/db)，1.122F(D)，1.189f。1.414F(F#/Gb)、1.498F(G)、1.587F(G#/Ab)、1.682F(A)、1.782F(A#/Bb)、1.888F(B)。註意現在所有的半音都是壹樣的，都是21/12，也就是1.059。自然半音和可變半音的區別已經沒有了。另外，在原來的五度律12標度中，C和G的比例是3/2(即純五度)，而現在在十二平均律12標度中，C和G的比例是1.498，也就是原來的五度律12標度中的3/2 (65438+)，C和F的比例是4/3(即純現在，在十二平均律的12標度中，C與F的比值是1.335，也就是4/3 (1.335)因此，十二平均律基本上保留了五平均律最重要的特征。再加上完美的解決了變調的問題，所以後來“十二平均律”基本取代了“五度律”的主導地位。目前鋼琴是根據“十二平均律”來確定每個鍵的音高的。現在學生正在學的do、re、mi也是根據“十二平均律”修改的七個聲調。現在要想聽“五度律”或者“純法”的do、re、mi，已經很難了。BTW:目前鋼琴的音高標準是由“中央C”(俗稱do)右側第五個白鍵(按專業術語是A4)的頻率決定的。這個A鍵的頻率確定為440HZ。確定了它，就可以類比“十二平均律”得出鋼琴上其他鍵的頻率。但是，在某些國家(如東歐)，此鍵的頻率設置為444HZ。從歷史上看，這種A債券的標準已經改變了很多次。比如1759年，英國劍橋大學三壹學院管風琴的A調就曾被設定為309HZ。妳可以想象我們在這裏聽到的旋律和現在聽到的旋律有多麽不同。在研究古代音樂家的作品時，研究當時的音高標準也是壹個重要的部分。音高標準的歷史變遷，請參考這裏。關於“十二平均律”，我最後要提的是所謂的“大調”和“小調”。12標度與原7標度的關系，自“五度生辰綱”提出以來，壹直在研究。也就是說，除了原來的七個音階，現在人們可以選擇12音階中的其他七個音作為音樂的“尺子”。這可以給作曲家更大的創作自由。以C ~高音C的八度為例。如果選擇原來的7個音階，即C、D、E、F、G、A、B，則稱為“大調音階”，又因為這個大調的主音是C，所以稱為“c大調”。而如果我們選擇C，D，D#(Eb)，F，G，G#(Ab)，A#(Bb)，就叫做“C小調音階”。使用小寫c的原因是為了表明它是壹個小調。大調和小調的區別在於大小音的“距離感”不同，根據它們作曲給聽眾的感受也不同。這給了作曲家用音樂表達不同情感的機會。在西方中世紀樂理中，提出了八種不同的方法，從12個音中選取七個音作為基準，包括我們現在說的大調和小調。當時的樂理給這八個調式賦予了不同的情感色彩，比如，有的被認為是“悲傷”，有的被認為是“快樂”，有的被認為是“精力充沛”等等。這八個調性有些現在已經很少用了，最流行的是大調和小調。由於“十二平均律”允許任意變調，作曲家可以更自由地創作。在過去，由於音符之間半音的“不等距離”，壹些被認為不可能書寫的音符現在可以無障礙地創作出來。
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