1、1問題的提出
非歐幾何的發展源於2000多年前的古希臘數學家的歐幾裏得的《幾何原本》．其中公設五是歐幾裏得自己提出的，它的內容是“若壹條直線與兩直線相交，且若同側所交兩內角之和小於兩直角，則兩直線無限延長後必相交於該側的壹點”、這壹公設引起了廣泛的討論，因為它不如其他公理、公設那樣簡明，歐幾裏得本人也不滿意這條公設，他在證完了所有不需要平行公設的定理後才使用它，懷疑它可能不是壹個獨立的公設，或許能用其它公設或公理代替，從古希臘時代開始到19世紀的2000多年來數學家們始終對這條公設耿耿於懷，孜孜不倦的試圖解決這個問題，數學家們主要沿2條研究途徑前進：壹條途徑是尋找壹條更為自明的命題代替平行公設；另壹條途徑是試圖從其他9條公理、公設推導出平行公設來，沿第壹條途徑找到的第五公設最簡單的表述是1795年蘇格蘭數學家普雷菲爾(J,Playfair1748—1819)給出的：“過直線外壹點，有且只有壹條直線與原直線平行”也就是我們今天中學課本裏使用的平行公理，但實際上古希臘數學家普羅克魯斯在公元5世紀就陳述過它．然而問題是，所有這些替代公設並不比原來的第五公設更好接受，更“自然”．歷史上第壹個證明第五公設的重大嘗試是古希臘天文學家托勒玫(Ptolemy，約公元150年)做出的，後來普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”無意中假定了過直線外壹點只能作壹條直線與已知直線平行，這就是上面提到的普雷菲爾公設
1．2問題的解決
1．2．1非歐幾何的萌芽
沿第二條途徑論證第五公設的工作在18世紀取得突破性進展．首先是意大利人薩凱裏(Sacchairn1667—1733)提出用歸謬法證明第五公設，薩凱裏從四邊形ABCD開始，如果角A和角是直角，且AC=BD，容易證明角C等於角D．這樣第五公設便等價於角C和角D是直角這個論斷．薩凱裏提出另2個假設：(1)鈍角假設：角C和角D都是鈍角；(2)銳角假設：角C和角D都是銳角．最後在銳角假設下，薩凱裏導出了壹系列結果，因為與經驗認識違背，使他放棄了最後結論．但是從客觀上為非歐幾何的創立提供了極有價值的思想方法，開辟了壹條不同於前人的新途徑．其後瑞士數學家蘭伯特(Lambetr1728—1777)所做的工作與薩凱裏相似．他也考察了壹類四邊形，其中3個角為直角，而第5個角有3種可能性：直角、鈍角和銳角．他同樣在銳角假設下得到“三角形的面積取決於其內角和；三角形的面積正比於平角與內角和的差．他認為只要壹組假設相互沒有矛盾，就提供了壹種幾何的可能．著名的法國數學家勒讓德(A．M、Legendar1752—1833)對平行公設問題也十分關註，他得到的壹個重要定理：“三角形內角之和不能大於兩直角”，這預示著可能存在著壹種新幾何，19世紀初，德國人薩外卡特(schweikart1780—1859)使這種思想更加明朗化，他通過對“星形幾何”的研究，指出：“存在兩類幾何：狹義的幾何(歐氏幾何)星形幾何，在後壹個裏面，三角形有壹個特點，就是三角形內角之和不等於兩直角”，
1．2,2非歐幾何的誕生
前面提到的壹些數學家尤其是蘭伯特，都是非歐幾何的先驅，但是他們都沒有正式提壹種新幾何並建立其系統的理論，而著名的數學家高斯(Gauss1777—1855)、波約(Bolyai1802—1860)、羅巴切夫斯基(Lobatchevsky1793—1856)就這樣做了，成為非歐幾何的創始人，高斯是最早指出歐幾裏得第五公設獨立於其他公設的人，早在1792年他就已經有壹種思想，去建立壹種邏輯幾何學，其中歐幾裏得第五公設不成立．1794年高斯發現在他的這種幾何中，四邊形的面積正比於2個平角與四邊形內角和的差，並由此導出三角形的面積不超過壹個常數，無論其頂點相距多遠．後來他進壹步發展了他的新幾何，稱之為非歐幾何．他堅信這種幾何在邏輯上是無矛盾的，並且是真實的，能夠應用的，為此他還測量了3
個山峰構成的三角形內角，他相信內角和的虧量只有在很大的三角形中才能顯露出．但他的測量因為儀器的誤差而宣告失敗．遺憾的是高斯在生前沒有任何關於非歐幾何的論著．人們是在他逝世後，從他與朋友的來往函件中得知了他關於非歐幾何的研究結果和看法．
2。。非歐幾何發展史的啟示
非歐幾何的誕生，是自希臘時代以來數學中壹個重大的革新步驟．在這裏我們將沿著事物的歷史發展過程來敘述這壹歷史的重要意義．M．克萊茵(M．Klein)在評價這壹段歷史的時候說：“非歐幾何的歷史以驚人的形式說明數學家受其時代精神影響的程度是那麽厲害．當時薩凱裏曾拒絕過歐氏幾何的奇異定理，並且斷定歐氏幾何是唯壹正確的．但在壹百年後，高斯、羅巴切夫斯基和波約滿懷信心地接受了新幾何”．
2．1對數學學科本身
2．1．1數學發展的相對獨立性
通過邏輯演繹法建立的非歐幾何體系為數學的發展提供了壹種模式，使人們清楚地看到數學可以有自己的邏輯體系存在，從而獨立發展．數學發展的相對獨立性突出表現為：數學理論的發展往往具有超前性，它可以獨立於物理世界而進行，可以超前於社會實踐，並反作用於社會實踐，推動數學乃至於整個科學向前發展．19世紀前，數學始終與應用數學緊密結合在壹起，即數學不能離開實用學科而獨立發展，研究數學的最終目的是為了解決實際問題，但是非歐幾何第壹次使數學的發展領先於實用科學，超越人們的經驗，非歐幾何為數學創造了壹個全新的世界：人類可以利用自己的思維，按照數學的邏輯要求自由自在的進行思考．於是數學被認為應當是那些並不是直接地或間接地由於研究自然界的需要而產生出來的任意結構．這種觀點逐漸被人們了解，於是造成了今天的純粹數學與應用數學的分裂LlJ．
2．1．2數學的本質在於它的充分自由
非歐幾何的創立，使壹直為人們意識到但未曾清楚地認識的區別呈現出來了即數學空間與物理空間的不同．數學家創造m幾何理論，然後由此決定他們的空間觀，這種建立在數學理論基礎上的空間觀、自然觀，壹般並不能否定客觀世界的存在等內容，它僅僅強調這樣壹些事實：人們關於空間的判斷所獲得的壹系列結論純粹是自己的創造．物質世界現實與這種現實的理論，永遠是兩回事．正因為如此，人類探索知識、建立理論的認識活動才永遠沒有盡頭．非歐幾何的創立使人們認識到數學是人的精神的創造物，而不是對客觀現實的直接臨摹，這樣就使數學獲得了極大的白南，同時也使數學喪失了對現實的確定性．數學從自然界和科學中解脫出來，繼續著它自己的行程．對此，M．克萊茵說：“數學史的這壹階段，使數學擺脫了與現實的緊密聯系，並使數學本身從科學中分離出來了，就如同科學從哲學中分離出來，哲學從宗教中分離出來，宗教從萬物有靈論和迷信中分離出來壹樣．現在可以利用喬治．康托的話了：‘數學的本質在於它的充分自由”’．
2．1．3幾何觀念的更新
非歐幾何的出現打破了歐氏幾何壹統天下的局面，使幾何學的觀念得到更新．傳統歐氏幾何認為空間是唯壹的，而非歐幾何的出現打破了這種觀念，促使人們對歐氏幾何乃至整個幾何學的基礎問題作深人探討．
2．2文化教育方面
2．2．1非歐幾何是敢於向傳統挑戰、勇於為科學獻身的人類精神的產物高斯、波約、羅巴切夫斯基幾乎同時發現了非歐幾何，但3人對待新幾何的態度是不同的．高斯很早就意識到了新幾何的存在，但他沒有向世人公布他的新思想，他受康特(Kant)唯心思想的影響，不敢向傳統幾何學界達2000a之久的歐氏幾何挑戰，以致推遲了非歐幾何的誕生．波約致力於平行公設的研究，終於發現了新幾何．這其中還有壹個故事，當高斯決定將自己的發現秘而不宣時，波約卻急切的想通過高斯的評價將自己的研究公諸於世，然而高斯回信給他的父親F波約中說：“誇獎他就等於稱贊我自己．整篇文章的內容，妳兒子采取的思路和獲得的結果，與我在30至35年前的思考不謀而合”]，波約對高斯的回答深感失望。認為高斯想剽竊自己的成果，特別是在羅巴切夫斯基關於非歐幾何的著作出版後，他更決定從此不再發表論文．
羅巴切夫斯基在1826年公開新幾何思想後，並沒有得到同代人的理解與贊揚，反而遭到諷刺和攻擊，“可是沒有任何力量可以動搖羅巴切夫斯基的信心，他像屹立在大海中的燈塔，驚濤駭浪的沖擊，十足顯出他剛毅的意誌，他壹生始終為新思想而鬥爭f4Jj’，在他雙目失明時，還口授完成了《泛幾何學》．
3人發現新幾何的過程啟示我們：只有突破了對傳統、對權威的迷信，才能充分發揮科學的創造性；只有不畏艱難困苦，勇於為科學獻身，才能追求、捍衛超越時代的真理．壹般認為高斯、波約、羅巴切夫斯基3人同時發現了新幾何，這是人們對歷史的公正，但人們更喜歡稱新幾何為羅氏幾何，這正是人們對羅巴切夫斯基為科學獻身
精神的高度贊揚．
2，2，2非歐幾何精神促使人們樹立寬容、包容壹切的產物
非歐幾何的創立，解放了人類思想，新見解、新觀點不斷湧現，“數學顯現為人類思想的自由創造物”5]．數學的發展使康托由衷的說道：“數學的本質在於其自由”．這種思想活躍而且民主的藝術氣氛，使數學以前所未有的速度向前發展．非歐幾何曲折的創建歷程及其所帶來的數學的發展，使人們意識到自由創造、百家爭鳴對科學發展的重要性，促使人們樹立寬容、包容壹切的精神與美德[6．
2．3哲學思想方面
2．3．1認識論的變革
法國哲學家、數學家彭加萊(HenriPoincare)說過7：非歐幾何的發現，是認識論壹次革命的根源．簡單講，人們可以說，這壹發現已經勝利的打破了那個為傳統邏輯所要求的，束縛住任何理論的兩難論題：即科學的原理要麽是必然真理(先驗綜合的邏輯結論)；要麽是斷言的真理(感官觀察的事實)．他指出：原理可能是簡單的任意約定，但是這些約定決不是同我們的心靈和自然界無關的，它們只能靠著壹切人的默契才能存在，它們並且緊密地依賴著我們所生活的環境中的實際外界條件．事實上正是由於這壹點，對於探索未知或目前無法感知的事物，我們可以在哲學的領域裏依靠我們對自然界的認識作某種“默契約定”，這是認識壹切事物的開始和基礎．另外，我們在理論評判中，放棄非彼即此的評判，愛因斯坦就說過8]：這種非彼即此的評判是不正確的．這些評判家、數學家的評判無疑是非歐幾何創立後，其對思想、理論建立，特別是對認識論有最為直接的影響；更進壹步的近代的理論和技術的進步均離不開它的內在影響，像“相對論”的產生、特別是對時空的進壹步認識，集合論、現代分析基礎、數理邏輯、量子力學等學科建立與發展均可以看成是非歐幾何的直接結果．非歐幾何的創立所產生的震蕩至今余波未消．
2．3．2打破人類的傳統思維方式
分析和評價壹種理論的首要依據應該是看其是否有“相容性”，即它是否有或會得出自相矛盾的結論，如果壹個理論尚不能“自圓其說”。說明這壹理論要麽還只是人類經驗的壹種簡單表述和列舉，還沒有進化到“理論”的高度；要麽至少還需要進壹步完善和改進．本來非歐幾何與歐氏幾何理論建立的前提是矛盾的，而歐氏幾何已被普遍接受．是否接受非歐幾何勢必產生這樣的問題，矛盾的前提是否壹定能夠導¨{矛盾的結果?傳統的思維方式認為這是壹定的，即矛盾的前提必然導致矛盾的結果．接受非歐幾何就意味著要沖破這壹傳統思維方式的束縛．隨著時間的推移，特別是非歐幾何的成果的廣泛應用，使人們認識到：我們在建立理論的過程中不能保證矛盾的前提壹定能導矛盾的結果．因此，在理論的建立過程中，相容性是必須具備的…]，特別是在導出某個結論的過程中，我們必須清醒的認識到建立的理論體系是否具有無矛盾性、是否具有排中性．
2-4對數學科研者
2．4．1勇敢面對在科學探索路途上的暴風雨
在科學探索的征途上，壹個人經得住壹時的挫折和打擊並不難，難的是勇於長期甚至終生在逆境中奮鬥．羅巴切夫斯基的新學說，違背了2000多a來的傳統思想，動搖了歐氏幾何“神聖不可侵犯”的權威基礎，同時也違背了人們的“常識”．他的學說壹發表，社會上的嘲弄、攻擊，甚至侮辱、謾罵，暴雨般地襲來：科學院拒絕接受他的論文；大主教宣布他的學說是“邪說”；大多數的權威們稱羅巴切夫斯基的學說是“偽科學”，是壹場“笑話”；即使那些心腸比較好的人最多也只能抱著“對壹個錯誤的怪人的寬容和惋惜態度”；連不少著名的文學家也起來反對這種新的幾何，如德同詩人歌德，在他的名著(浮土德)中寫下了這樣的詩句：“有幾何兮，名日：‘非歐’，自己嘲笑，莫名其妙”．面對種種攻擊、嘲笑，羅巴切夫斯基毫不畏懼，寸步不讓，他像屹立在大海中的燈塔，表現出壹個科學家“追求科學需要的特殊勇敢”．羅巴切夫斯基堅信自己學說的正確性，為此奮鬥壹生．從l826年發表了非歐幾何體系後，又陸續…版了《關於幾何原本》等8本著作．在他逝世前la，他的眼睛差不多瞎了，還口述，用俄、法2種文字寫成他的名著《泛幾何學》．羅巴切夫斯基就是在逆境中奮鬥終生的勇士．同樣，壹名數學工作者，特別是聲望較高的學術專家，正確識別出那些已經成熟的或具有明顯現實意義的科技成果並不難，難的是及時識別ff；那些尚未成熟或現實意義尚未露川來的科學成果．數學的發展決不是壹帆風順的，在更多的情況下是充滿猶豫、徘徊，要經歷艱難曲折甚至會面臨更多危機的．我們每壹位科學T作者，既應當作壹名勇於在逆境中頑強點
頭的科學探索者，義應當成為壹個科學領域中新生事物的堅定支持者．
2_4_2正確對待數學領域裏的成就
數學是壹門歷史性或者說積累性很強的學科．重大的數學理論總是在繼承和發展原有理論的基礎上建立起來的，它們不僅不會推翻原有的理論，而且總是包含原先的理論．如非歐幾何可以看成是歐氏幾何的拓廣．因此，有的數學史家認為“在大多數的學科裏，壹代人的建築為下壹代人所拆毀，壹個人的創造被下壹個人所破壞．惟獨數學，每壹代人都在古老的大廈上添加壹層樓”1]．克萊茵在考察第五公設研究的歷史特別是從18～19世紀非歐幾何由“潛”到“顯”轉變的100多a的歷史過程時指：“任何較大的數學分支或較大的特殊成果，都不會只是個人的工作，充其量，某些決定性步驟或證明可以歸功於個人．這種數學積累特別適用於非歐幾何”．事實上，自從《幾何原本》以後到l9世紀，第五公設問題就像壹塊磁石壹樣廣泛地吸引和激勵著各個時代有才華的數學家為之奮鬥．這就形成了壹個在科學史上時間跨度最長、成員最多，並以傳播和研究第五公設為範式的數學***同體．在這個***同體中，數學家相互交流思想，交換研究成果，對研究成果進行評議，形成不斷競爭和激勵的體制．羅巴切夫斯基也是從前人和自己的失敗得到啟迪，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明．於是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答．羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發現壹個新的幾何世界的．也可以說，羅氏幾何的m現應歸功與薩凱裏、蘭伯特等對第五公設的研究．在今天分支越來越細的數學領域裏，精通多個領域的知識的數學家也越來越少．對此，數學科研者應團結，相互進行交流；用平和的心態對待已取得的成績，不驕不躁．
2．5對數學教師和數學學習者
2．5．1在質疑問難中培養創新思維
羅巴切夫斯基認為，作為壹名優秀的數學教師，講授數學必須敘述精確、嚴密，所有概念都應當完全清晰．因為在他看來，數學課程是以概念為基礎的，幾何學尤其如此．所以他在備課中，通過對歐氏幾何的邏輯結構的全面思考，發現了其邏輯體系的缺陷，使他感到非常困惑．他決心在自己的教學實踐中消除那些缺陷．後來他確實編寫了壹本幾何教科書《幾何學教程》(1883)．他不僅在教材中形成並貫徹了他的非歐幾何思想，而且他關於非歐幾何
的研究，始終是和教學活動相結合的．他關於非歐幾何的許多定理都是在授課過程中推導m來的，在學生中交流、修改和完善的．我們可以肯定的說，他創立非歐幾何的偉大成果是從幾何教育改革的角度切入的，是壹個數學教育家取得偉大突破的成功範例．正如數學史家鮑爾加斯指出的“羅巴切夫斯基希望建立起在教學法意義上無可指責的幾何學”，“這是促使他改革新幾何的重要原因”．“他對教學法的探討，獲得了色的、開創幾何學發展新階段的、作為人類研究和征服周世界嗣新方法的科學結論”．所以作為壹名2l世紀的數學教師，在平時的教學過程中要不斷的學習這個時代的新的知識，要勇於質疑妳已經掌握的知識；教學中引導學生廣開思路，重視發散思維；教師要精選壹些典型問題，鼓勵學生標新立異、大膽猜想、探索，培養學生的創新意識．
2．5_2在教學中訓練學生的創新思維
羅巴切夫斯基剛開始是循著前人的思路，試圖給Ⅲ第五公設的證明．在僅存下來的他的學生聽課筆記中，就記載著他在1816—1817學年度幾何教學中給出的幾個證明．但他很快就意識到證明是錯誤的．前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明．於是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答．羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發現壹個新的幾何世界的．“學起於思，思源於疑”，我們在探索知識的思維過程總是從問題開始，又在解決問題中得到發展．教師不僅要善於設問，還要激發學生質疑問難．教學中，要鼓勵學生在學習過程中碰到的問題提出來並和同學討論，讓學生存在壹個充分表現的機會．先對不同問題提供同壹思路來解決，之後提出個別條件的變化，要求用新的思路解決，以打破原來的思維定勢，使思維靈活而富有創造性．
2．5．3非歐幾何的歷史對高校學生學習數學的意義
高校學生可通過對數學文化的學習，了解人類社會發展與數學發展的相互作用，認識數學發生、發展的必然規律；了解人類從數學的角度認識客觀世界的過程；發展求知、求實、勇於探索的情感和態度；體會數學的系統性、嚴密性、應用的廣泛性，了解數學真理的相對性；提高學習數學的興趣．非歐幾何的誕生和發展過程曲折而又艱辛，而數學家們也為之付出了巨大的努力．它於現今和以後的數學學習者有著深遠而又積極的意義和影響．知識的學習
和研究永無止境，只有通過不斷的創新和探索，才有新的知識的創造和新知識領域的發現．
“讀史使人明智”，學習非歐幾何學發展史對於揭示數學知識的現實來源和應用，對於引導學生體會真正的數學思維過程，創造壹種探索與研究的數學學習氣氛，對於
激發學生對數學的興趣，培養探索精神，都有重要意義．
非歐幾何的產生
到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另壹條路子。他提出了壹個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然後與歐式幾何的前四個公設結合成壹個公理系統，展開壹系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。
但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了壹個又壹個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：
第壹，第五公設不能被證明。
第二，在新的公理體系中展開的壹連串推理，得到了壹系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何壹樣是完善的、嚴密的幾何學。
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第壹個被提出的非歐幾何學。
從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出壹個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的壹組假設都有可能提供壹種幾何學。
幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在1832年，在他的父親的壹本著作裏，以附錄的形式發表了研究結果。
那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。