二、微積分中無窮小的判定。說白了，這是無窮小的0還是別的？
第三，羅素悖論的出現。說白了就是理發師會不會自己刮胡子的問題。這個危機基本避免了。
這是我個人的理解。以下是從其他地方來的復雜。希望我的理解能幫助妳理解，當然也希望下面的材料能幫助妳理解更多。
第壹次危機:公元前580-568年的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這所學校是宗教、科學和哲學的結合體。它的數量是固定的，它的知識是保密的，所有的發明創造都歸功於它的領導者。當時人們對有理數的認識還很有限，對無理數的概念壹無所知。畢達哥拉斯學派說，數字最初的意思是整數。他們沒有把分數看作壹個數，而只是看作兩個整數的比值。他們錯誤地認為宇宙中所有的現象都歸結於整數或者整數的比值。根據畢達哥拉斯定理(西方稱畢達哥拉斯定理)，該學派成員希伯索斯通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比值。赫貝索斯的發現被認為是“荒謬的”，違背常識。它不僅嚴重違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統觀點。當時希臘數學家深感不安。相傳赫比索斯就是因為這壹發現而葬身大海，這是第壹次數學危機。
最後，將不可公度量的概念引入幾何學，解決了這壹危機。兩條幾何線段若有第三條線段能同時度量它們，則稱它們不可公度，否則稱它們不可公度。沒有第三條線段可以同時測量正方形的壹邊和對角線，所以它們是不可通約的。顯然，只要我們承認不可公度量的存在使得幾何量不再受整數限制，所謂的數學危機也就不復存在了。
我認為第壹次危機最大的意義是導致了無理數的出現。比如我們現在談論的東西，是無法用語言表達的。那麽就必須引入新的數字來描述這個問題，於是無理數就出現了。正是有了這種思想，當我們對負數求根時，人們引入了虛數I(虛數的出現導致了復變函數等學科的出現，在現代工程技術中得到了廣泛的應用)，這讓我不得不佩服人類。但我個人認為第壹次危機的真正解決在於德國數學家在1872中對無理數的嚴格定義，因為數學強調其嚴密的邏輯和推導。
第二次數學危機:發生在十七世紀。17世紀微積分誕生後，由於微積分的理論基礎，數學出現了混亂的局面，即第二次數學危機。其實我翻了壹下數學史的資料。早在古希臘就形成了微積分的雛形。阿基米德的逼近法實際上掌握了無窮小分析的基本要素。直到2100年後，牛頓和萊布尼茨開辟了壹個新世界——微積分。微積分的主要創始人牛頓在壹些典型的推導過程中，用無窮小作為除法的分母。當然，無窮小不可能為零。第二步，牛頓將無窮小視為零，去掉包含它的項，從而得到所需公式。在力學和幾何學中的應用證明這些公式是正確的，但其數學推導過程在邏輯上是矛盾的。焦點是:無窮小是零還是非零？如果是零，怎麽做除數？如果不是零，如何剔除那些包含無窮小量的項？
直到19世紀，柯西詳細而系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小作為壹個確定的量，甚至是零，是不合理的，會和極限的定義相沖突。無窮小應該越小越好，所以本質上是壹個變量，是壹個以零為極限的量。至此，柯西澄清了前人的無窮小概念。此外，魏斯特拉斯創立了極限理論，結合實數理論和集合論的建立，從而把無窮小從形而上學的桎梏中解放出來，基本解決了第二次數學危機。
我自己的理解是無窮小量。是否為零取決於它是運動的還是靜止的。如果是靜態的，我們當然認為可以看作是零。如果是動的，比如說1/n，我們說，但是n 1/n的乘積是1，不是無窮小。當我們遇到這樣的情況時，可以用羅必達定律反復求導來考察極限，也可以用泰勒展開式壹步壹步地展開比值，總會在有限的順序中比較大小。
第三次數學危機:發生在1902年，羅素悖論震驚了整個數學界，聲稱自己無懈可擊，絕對正確的數學是自相矛盾的。
我看過很久以前的“理發師悖論”，就是理發師給不自己理發的人理發。那麽理發師應該自己理發嗎？還有眾所周知的“騙子悖論”，其大致內容是:壹個克裏特人說:“所有克裏特人所說的壹切都是謊言。”這句話是真是假？數學上，這是羅素悖論的壹個具體例子。
羅素在這個悖論中定義的集合R，幾乎被所有集合論研究者認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。雖然是這樣，但原因是什麽呢？這是因為R是壹個集合。如果R包含自身作為壹個元素，就會有R ^ R，那麽從集合的角度來看就會有R ^ R。壹個集合確實包含自身，這樣的集合顯然是不存在的。因為很明顯，R不可能有不同於R的元素，而R and R也不可能相同。所以任何壹套都必須遵循R R的基本原則，否則就是非法的。從這個角度來看，羅素悖論中定義的所有R R的集合應該是所有合法集合的集合，也就是所有集合的集合，也就是說，相似的東西包含所有相似的東西，必然導致最大的這種東西。歸根結底，R是包含所有集合的“最大集合”。因此，可以清楚地看到，在本質上，羅素悖論是壹個以否定形式陳述的極大集悖論。
此後，數學家們壹直在尋找解決這壹危機的方法，其中之壹就是將集合論建立在壹組公理之上，以避免悖論。第壹個做這項工作的人是德國數學家澤爾梅羅，他提出了七條公理，建立了不會產生悖論的集合論，並通過另壹位德國數學家弗裏德裏希·克爾的改進，形成了沒有矛盾的集合論公理系統(即所謂的ZF公理系統)，這場數學危機得到了緩解。
現在通過對離散數學的學習，我們知道集合論主要分為康托集合論和公理集合論。集合首先定義為完備集I和空集，通過壹系列壹元和二元運算得到。基於七個公理的集合論體系避免了羅素悖論，使現代數學得以發展。