機械現象的數學模擬通常歸結為求解常微分方程、偏微分方程、積分方程或代數方程。求解這些方程有兩種方法:壹種是求解析解，即用公式表示的解；另壹種是求數值解，也就是用壹批數字表示的解。許多力學問題相當復雜，尤其是復雜的偏微分方程，壹般很難得到其解析解。而用數值方法求解，需要復雜的運算步驟，耗費大量人力，所以在電子計算機出現之前就有必要使用。自20世紀50年代以來，出現了具有現代編程語言的通用數字計算機。計算機的快速運算和大容量存儲使解決復雜的機械問題成為可能。在過去的30年裏，隨著計算機的改進，數值方法得到了廣泛的應用和極大的發展。主要思想是計算更快、更準、更省錢，為以前無法計算的問題構造算法。數值方法很多，其中有限差分法和有限元法是求解偏微分方程最廣泛的方法。此外，還有變分法、直線法、特征線法和譜法等。這些方法的本質是把偏微分方程問題變成代數問題，然後用計算機求未知函數的數值解。它簡單、靈活、通用。在用差分法求數值解時，首先要對自變量的定義域進行“離散化”，即我們只試圖計算自變量定義域內有限個點的未知函數的逼近。如果只有壹個自變量，可以把要計算的區間離散成線段。如果有兩個自變量，且計算區域是如圖1所示的矩形【兩變量區域的離散化】，最簡單的離散化方法是將區域分成多個小矩形。小矩形的長和寬分別稱為方向和方向的步長。微分方程中的偏導數(，)是微積分中差商的極限，在有限差分法中用差商代替。如圖1【二元區域離散化】所示，中點在某些情況下可以用差商(()-())/2代替，在另壹些情況下可以用(()-())/代替。如果有二階偏導數，往往可以用二階差商(()-2 ()+()/2代替，其中()。如果微分方程的每壹個導數都用壹個適當的差商來代替，我們就可以得到相應的
對於原微分方程的差分方程，如何選擇差商是非常重要的。另外，偏微分方程總是有邊界或初始條件的，這些條件也要用差分形式表示。這樣，對於每個網格點的未知函數值，就構成了未知量的代數方程組。如果網格劃分緊密，即步數之和小，或者步數之和大，代數方程組的未知數就大，但借助計算機，可以很快求得解。由於步長不能為零，差分法只能得到原微分方程的近似解。但只要選擇合理的差商和步長，計算結果仍能令人滿意，有時還能得到高精度的解。有限元法
該方法將計算區域劃分為大小不同的三角形(或其他形狀)單元，然後在每個單元上用合適的插值函數代替未知函數。根據變分原理，偏微分方程可以通過轉化為代數方程來求解。該方法適應性廣，特別適用於求解邊界形狀和物理條件復雜的問題，且易於在計算機上實現。自1970以來，開發了壹些適用於廣泛線性問題的通用有限元程序，在工程設計中發揮了巨大作用。根據有限元法的思想，將汽車殼體劃分成許多大小不同的三角形單元，彎曲邊界只能切割和拉直。在應力變化劇烈和需要精確計算的地方，單元必須做得更小；在變化不劇烈的地方，變化可以更大。該方法不僅能適應復雜區域，而且能使單元總數最小化，從而減少未知量。如果在有限差分法中使用矩形網格，那麽處理如此復雜的區域就更加困難。
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