約分術曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”
其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法，實際上就是輾轉相除法。
輾轉相除法求最大公約數，是壹種比較好的方法，比較快。
對於52317和75569兩個數，妳能迅速地求出它們的最大公約數嗎？壹般來說妳會找壹找公***的使因子，這題可麻煩了，不好找，質因子大。
現在教妳用輾轉相除法來求最大公約數。
先用較大的75569除以52317，得商1，余數23252，再以52317除以23252，得商2，余數是5813，再用23252做被除數，5813做除數，正好除盡得商數4。這樣5813就是75569和52317的最大公約數。妳要是用分解使因數的辦法，肯定找不到。
那麽，這輾轉相除法為什麽能得到最大公約數呢？下面我就給大夥談談。
比如說有要求a、b兩個整數的最大公約數，a＞b，那麽我們先用a除以b，得到商8，余數r1：a÷b＝q1…r1我們當然也可以把上面這個式子改寫成乘法式：a＝bq1＋r1------l）
如果r1＝0，那麽b就是a、b的最大公約數3。要是r1≠0，就繼續除，用b除以r1，我們也可以有和上面壹樣的式子：
b＝r1q2＋r2-------2）
如果余數r2＝0，那麽r1就是所求的最大公約數3。為什麽呢？因為如果2）式變成了b＝r1q2，那麽b1r1的公約數就壹定是a1b的公約數。這是因為壹個數能同時除盡b和r1，那麽由l）式，就壹定能整除a，從而也是a1b的公約數。
反過來，如果壹個數d，能同時整除a1b，那麽由1）式，也壹定能整除r1，從而也有d是b1r1的公約數。
這樣，a和b的公約數與b和r1的公約數完全壹樣，那麽這兩對的最大公約數也壹定相同。那b1r1的最大公約數，在r1＝0時，不就是r1嗎？所以a和b的最大公約數也是r1了。
有人會說，那r2不等於0怎麽辦？那當然是繼續往下做，用r1除以r2，……直到余數為零為止。
在這種方法裏，先做除數的，後壹步就成了被除數，這就是輾轉相除法名字的來歷吧。