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看數學巨匠:高斯和黎曼誰更牛

在數學史上,高斯與黎曼是兩個如雷貫耳的名字。這兩位偉大的數學家有很多相似之處:都是德國人;都在哥廷根大學教過書;同為幾何學史上劃時代的人物;都既是數學家又是物理學家;以他們姓氏命名的數學概念都有幾十個等等。

學數學的人大多都知道他們是師徒,高斯是黎曼的博士論文導師。話說青出於藍而勝於藍,長江後浪推前浪,對這師徒二人誰更厲害沒有壹個標準的說法,下面大家可以評壹評這倆師徒誰更牛。

說到高斯,大家馬上想起來的很可能是在他童年時巧算1+2+3+···+100的事跡,童年時的高斯就如此了得,壹般來說長大之後那還得了。他成年之後的神跡給了我們壹個肯定的回答,他確實是不同凡響,1796年高斯19歲,發現了正十七邊形的尺規作圖方法, 解決了自歐幾裏德以來近2000年懸而未決的壹個難題。 同年,高斯發表並證明了二次互反律,這是他的得意之作,壹生曾用八種方法證明,稱之為“黃金律”。1799年,高斯完成了博士論文,獲黑爾姆施泰特大學的博士學位,年僅22歲,這壹時代偉大的數學序幕才剛剛拉開。

? 在這裏應該談談非歐幾何學,非歐幾何是19世紀數學的壹個偉大發現,它是由鮑耶、羅巴切夫斯基所獨立發現,但從後來高斯的數學日記來看,偉大的高斯早在他兩位幾十年之前就已經獨自發現了非歐幾何,當時的他年僅19歲,夠嚇人吧!現在很多人19歲才剛進大學吧!高斯當時就明白了這種幾何是正確的,但考慮到數學界很可能不能接受而未將他的研究發表,僅僅是記入了他的數學日記中。多進行研究少發表論文從此成為高斯的壹大習慣,他的很多研究成果都未發表而僅僅只是記錄在他的數學日記中。在以後多年的研究生涯中,高斯的研究幾乎遍及純粹數學與應用數學的各個領域,包括數論、復分析、微分幾何、代數學等等,當然還有他所鐘愛的物理學。在這裏不壹壹敘述,高斯因此獲得了“數學王子”的美譽,也與阿基米德、牛頓、歐拉並列為數學史上四大數學家。

相比之下,黎曼就沒有他老師那麽多的故事與神跡,他1826年出生於壹個普通牧師家庭,上中小學時並沒有展露出多少數學才能,但有壹次不得不提及,上中學時,黎曼向壹位老師借了壹本數學著作,那是法國著名數學家勒讓德800多頁的名著《數論》,僅僅壹個星期後黎曼便將此書歸還,並向那位借他書的老師說:“這是壹部偉大的著作,我已經掌握了它”,那位老師不大相信的問了他書中所講的幾個困難之處,黎曼竟都能夠對答如流,那老師默然。應該說這是有關黎曼青少年時期很少的神跡記載之壹,他這壹時期的其他事跡很少見於記載。

1845年19歲的黎曼進入哥廷根大學學習哲學和神學。在此期間他也去聽了壹些數學講座,包括高斯關於最小二乘法的講座等。在得到父親的允許後,他改學數學。在大學期間有兩年去柏林大學就讀 ,受到雅克比和狄利克雷的影響。1851年,黎曼在高斯指導下獲得博士學位,時年25歲,博士論文有關復變函數的基礎問題,得到了對學術極為苛刻的高斯的少有的熱情稱贊,因此論文黎曼成為了復變函數論的奠基人之壹。

學數學的人未必對黎曼很了解,但大多都知道有壹門偉大的學問叫做黎曼幾何,這開始於黎曼1854年在哥廷根大學發表的題為《論作為幾何學基礎的假設》的演說,由此創立了黎曼幾何學。黎曼將曲面本身看成壹個獨立的幾何實體,而不是把它僅僅看作歐幾裏得空間中的壹個幾何實體。1915年,愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。應該說對於廣義相對論的創立,黎曼功不可沒。數學界公認,黎曼幾何是黎曼對數學的最大貢獻,由此黎曼成為了近現代最偉大的幾何學家,沒有之壹。

? 1859年,黎曼發表了著名論文《不超過已知數的素數個數》,在此文中黎曼首先提出了用復變函數論,特別是用ζ函數研究數論的新思想和新方法,從而開創了解析數論的新時期,並在這篇論文中提出了讓很多大數學家望而卻步的黎曼猜想。除了復變函數、黎曼幾何、解析數論的研究外,黎曼對實分析、偏微分方程、數學物理等領域亦有重大貢獻,他不僅是壹位偉大的數學家,還是壹位物理學家,他對引力與電和磁的關系的研究在物理學中有壹定推動作用。

? 說了這麽多,大家可能早已感到對這兩位數學巨匠很難分出高下,好吧!讓我們來看看同為德國人的數學大師克萊因對他們的評價。

關於高斯:他時常不發表他最美的結果,會有什麽原因使他在達到目標前的壹瞬間出現了這種奇異的停頓?可能的原因要在壹種沮喪中去尋找,他在自己最成功的工作中常陷入某種沮喪而不能自拔......。對過於緊張的多產,他的首創精神和意誌力量終於不勝其才,對於像他這樣早熟而又熱情的具有創造性的人,才思洶湧激蕩終於使他心力交瘁。

關於黎曼:黎曼的直覺確實是光輝耀目,他那無所不包的天才超越了他的所有同時代人。不論在哪個地方,只要他的興趣被激發起來,他都會從頭開始,從不讓自己被傳統引入歧途。黎曼的羞怯甚至是笨拙的舉止常遭到同事們的嘲笑,他時常神情憂郁,哀傷地回應這些攻擊。他與周圍的世界完全隔絕,過著壹種無比豐富的內心生活。我們從黎曼身上看到了壹個典型的親切的天才:從外表看,他是平靜的,而且有點古怪;但從內心看,則是充滿了活力和力量。

讀完此文的妳對這兩位數學巨匠又會有怎樣的評價呢?

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