拓撲學雖然是幾何學的壹個分支，但是這種幾何學又和通常的”平面幾何“、”立體幾何“不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的機關位置以及它們的試題性質。拓撲學研究的內容與研究對象的長短、大海、面積、體積及試題性質和數量關系無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裏，把平面上的壹個圖形搬到另壹個圖形上，如果完全重合，那麽這兩個圖形叫做全等圖形，也就是說，通常的平面幾何是研究在運動中大小和形狀都不變的學科，但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裏沒有不能彎曲的元素，每個圖形的大小、形狀中以改變。
裏斯丁以後，黎曼把拓撲學的概念引入復變函數論中，發展成黎曼曲面論。
早期的拓撲學明顯地分為兩支：壹是點集拓撲，以康托的貢獻為起點；另壹支是組合拓撲，由上世紀末龐加萊所首創。龐加萊平時行支遲緩、笨拙，視力很差，常常給人心不在焉的印象。可是，龐加萊具有超凡的心算和數學思維能力。龐國萊對20世紀數學影響十分浣。1895年，他出版了《analysissitus(位置分析）》，第壹次系統地論述了拓樸學的內容。後來被發展成20世紀極富有成果的拓樸學分支，龐加萊的研究領域十分廣泛。他在巴黎大學開設的講座包括毛細管學、彈性力學、熱力學、、光學、電學、宇宙學等，在數學方面還涉及非歐幾何，不變量理論、分析力學，包括概率論。
拓撲學是壹門新興的學科，它壹出現，很快就滲透到了各個領域裏去。