在計數法中，單位的個數用縱橫排列兩種方式表示，其中1-5分別用縱橫排列對應個數的芯片表示，6-9用上面的芯片和下面對應的芯片相加表示。當表示多個數字時，壹個數字是垂直的，十個數字是水平的，百個數字是垂直的，千個數字是水平的，以此類推。如果它滿足零，它將被留空。這種計數方法遵循十進制。
計算的日期無法考證，但據史料記載，計算最晚出現在春秋末期、戰國初期(公元前722年~公元前221年)，在算盤發明和普及之前壹直是中國最重要的計算工具。
計數芯片的發明是在這些計數方法的歷史發展中逐漸產生的。第壹次出現是什麽時候？現在已經無法搜索，但直到春秋戰國時期。計算的使用已經變得非常普遍。我之前說過，計算基金是壹根長短粗細都壹樣的小棍，那麽怎麽用這些小棍來表示各種數字呢？
那麽為什麽會有垂直和水平兩種不同的揮桿方式呢？這是因為十進制的需要。所謂十進制，也稱十進制數值系統，包含兩層意思。壹種是“十進制”，即每十個十進制單位，十個十進制單位是十，十個十進制單位是百，十個十進制單位是千...另壹種是“數值系統”，即每個數字所代表的數值不僅取決於數字本身，還取決於它在計數中的位置。例如，它也是壹個數字“2”，意思是個位數的2、十位數的20、百位數的200和千位數的2000...在中國商代的文字體系中，就已經有了十進制數值體系的影子萌芽，而說到計數和運算，更是標準的十進制數值體系。
按照中國古代的計算規則，計算計數的記數法是:壹位豎，十位橫，壹百位豎，壹千位橫，壹萬位豎...這樣從右到左，縱橫等，就可以用計算和計數來表示任意大的自然數。因為它的位之間有垂直和水平的轉換，而且每壹位都有固定的擺，所以不會混淆或者錯位。毫無疑問，這樣的計數方法是完全符合現代十進制記數法的。
中國古代十進制記數法是世界數學史上的壹大創造。與世界上其他古老民族的記譜法相比，其優勢是顯而易見的。古羅馬的數字系統沒有位次系統，只有7個基本符號，所以要記住壹個稍大的數字是相當困難的。雖然古代美洲的瑪雅人知道價值體系，但他們使用的是小數點後20位。古巴比倫人也知道價值體系，但他們使用60位小數。十進制至少需要19位，十六進制需要59位，使得計數和運算非常復雜，遠不如只用9位就能表示任意自然數的十進制簡單方便。中國古代數學在計算方面取得了許多傑出的成就，在某種程度上應該歸功於這種十進制記數法。馬克思在《數學手稿》壹書中，把十進制記數法稱為“最奇妙的發明之壹”，這的確不為過。
二元思想的先驅國家
萊布尼茨(1646-1716)是著名的哲學家和數學家，他發明了二進制，這對現代計算機系統具有重要意義，但他認為在此之前，中國已經在《易經》中提到了關於二進制的初步設想。當代很多科學家認為《易經》並不包含復雜的二進制思想，但中國這部古書中的壹些基本思想仍然與二進制有著千絲萬縷的聯系。
元初《靈寶經》將陰陽定義為冬至夏為升氣，夏至冬為陰為降氣，這是對地球周期運動最簡潔的理解。陰陽是壹種物質知識，後來轉化為壹種思維方式，反對道的運動等等都是這種思維的表現。從而創造了對立統壹的思維方式。其實計算機的電子脈沖的思想是與之壹致的，采樣定律也是如此。
《易經》是伏羲、周文王等中國統治者積累下來的壹部關於天象、氣象和人的變化的經典。從八卦到六十四卦，都是三位數到六位數的二進制表達式。在20世紀80年代，有四臺電腦。可以說，周文王的六十四卦在表達能力上已經高於四臺電腦。
十進制的使用
甲骨文中記載，商代人已經學會用壹、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這13個字來記憶10萬以內的任何壹個數字，而現在當時能確認的最大數字是3萬。甲骨文中也有奇數、偶數、倍數的概念。
十進制記數系統包括兩個原則:十進制和十進制。“十進制”是指完整的十進制壹；“位值”是指同壹個數字在不同的位置有不同的值，如三個數字“111”，右邊的“1”表示1壹位，中間的“1”表示10位的1。這樣，極其困難的整數表示和計算就變得如此簡單和容易，以至於人們常常忽略了它在數學發展中的關鍵作用。
我們有個成語叫“屈指可數”，說明古代人的數量真的離不開手指，而壹般人剛好十個手指。因此，小數的使用似乎是極其自然的。但實際情況並不完全如此。在古巴比倫的古代文明中，使用的是60進制(這個系統現在還有痕跡，比如壹分鐘= 60秒等。)，還有人用的是20進制。古埃及很早就使用10十進制，但他們不知道價值體系。所謂價值體系，就是壹個數字代表什麽，取決於它所處的位置。價值體系是人類幾千年智慧的結晶。零是價值系統符號的本質。但它的出現並不容易。中國是第壹個使用十進制記數法並實現進位制的國家。我們口頭或書面的數字也遵守這壹原則，如127。同時，我們對0也有了最早的認識。
十進制是中國人的傑出創造，在世界數學史上具有重要意義。英國著名科學史家李約瑟教授曾高度評價中國商代的記數法。“如果沒有這個十進制，幾乎不可能有現在我們統壹的世界。”李約瑟說:“總的來說，商朝的數字體系比同時代的古巴比倫和古埃及更先進，更科學。”
分數和小數的最早使用
分數的應用
初始分數的出現不是由除法得出的。分數被視為整體的壹部分。“分”在中文裏是“分開”和“分割”的意思。後來在運算過程中也出現了分數，表示兩個整數的比值。分數的加減乘除在我們小學已經完全掌握了。很簡單，不是嗎？但在七八百年前的歐洲，如果妳有這個水平，那就相當了不起了。當時掌握自然數四則運算已經達到學者的水平。至於分數，當時的人幾乎不可能上天。有壹句德國諺語，形容壹個人走投無路，說“我掉到分數裏了”。為什麽會這樣呢？這都是笨拙的符號造成的。中國古代在《九章算術》中就有系統的分數運算方法，比歐洲早約1400年。
西漢時期，張蒼、耿壽昌等學者對秦以來的數學知識進行了整理和刪減，編撰了《算術九章》。在這本數學經典《田方》壹章中，提出了壹個完整的計分算法。
從劉徽的《九章算術筆記》中可以知道，在《九章算術》中，歸約、組合(分數加法)、減法(分數減法)、乘法(分數乘法)、除法(分數除法)的規則與我們現在的分數算術完全壹樣。此外，它還記載了關於分數的知識，如班級分數(比較分數的大小)和等分(求分數的平均值)，這是世界上最早系統描述分數的書籍。
大約在15世紀，分數運算在歐洲開始流行。歐洲人普遍認為這種算法起源於印度。事實上，印度在七世紀婆羅門笈多的著作中就已經開始有了分數算術，這些定律和《九章算術》中介紹的是壹樣的。劉徽的《九章算術註》成書於魏景元四年(263)，所以即使與劉徽的時代相比，我們也比印度早了400年左右。
小數的最早使用
劉徽在《九章算術註》中介紹，方無窮時用小數(徽數，即小數)來近似，並首次提出了小數的概念。到公元1300年左右，1338+02已經寫在元代劉瑾的《法律詩》中。
將小數部分寫在整數部分後壹行。但西方直到1585才出現小數的概念，他的表達方法遠不如中國先進。例如，他將上述小數記為106368。
九九手表的使用
作為啟蒙教材，我們都背過1999年的乘法表:11得1，12得2...9981.古代是從“9981”開始的，所以叫“99表”。九九表的使用對完成乘法有很大的幫助。齊恒公納賢的故事表明，到公元前7世紀，99首並不罕見。可能有人會覺得這種成績不值壹提。但是在古埃及，乘法是通過乘法來完成的。比如說。如果我們計算23×13，需要從23乘以2得到23×2，23×4，23×8，然後註意13 = 1+4+8，那麽23+23× 4+23× 8之和就是23× 63。從對比中，不難看出使用九九標的優勢。
根據考古學家在湖南張家界古民堤遺址出土的竹簡上發現的漢代“九九乘法表”，與今天生活中使用的乘法表驚人地壹致。這張寫有“九九乘法表”的竹簡是木質的，長約22厘米，破損嚴重。此前，在湘西裏耶古城出土的阿沁竹簡上也發現了壹張距今2200多年的乘法口訣表，經考證是當今中國發現的最早的乘法口訣表。
除了裏耶秦簡，與張家界古民堤遺址發現的簡牘基本相同的“九九乘法表”在樓蘭文獻中也有見到。它是寫在兩張廢紙上的99乘法表，是瑞典探險家斯文·赫定在上世紀初發掘出來的。
乘法表不是中國古代獨有的，古巴比倫泥板上也有。但漢字(包括數字)的單音節發音，讀起來朗朗上口；後來發展的珠算公式也繼承了這壹特點，對運算速度和算法的提高起到了壹定的作用。
負數的使用
在解方程或其他數的過程中，人們經常會遇到用較小的數減去較大的數的情況。此外，它們還會遇到意義相反的量，如增減量、盈余量和虧損量，所以人們很自然地引入了負數。
負數的引入是中國古代代數對數學的壹大貢獻。在古代秦漢時期的算術經典《九章算術》第八章“方程”中，自由引入了負數。如果方程的系數和常數項中出現負數，把“賣(掙錢)”取為正，“買(交錢)”取為負，“余錢”取為正，那麽“錢不夠”取為負。在糧食計算問題上，盈利(增糧)為正，虧損(減糧)為負，書中還指出:“兩種計算的得失相反，應以正負命名。”當時是通過計算得出的，所以在計算中，相應規定紅籌為正，黑籌為負；否則計算將是直的和負的。這樣，在遇到意義相反的量時，可以清楚地區分正負數。
《九章算術》中，除了引入了正負數的概念外，還完整地記載了正負數的算術，實際上就是正負數的加減運算，即書中解方程所用的“加減術”，意思是“同名相除，異名相益，正負相加不加負數；”不同的名稱劃分時，相同的名稱是有益的，正確的不是正確的，負面的不是錯誤的。“這段話前四句講的是正負減法定律，後四句講的是正負加法定律。意思是:兩個符號相同的數相減等於它們絕對值的相減；兩個符號不同的數相減，等於它們的絕對值相加；零減去正數是負數，零減去正數。兩個符號不同的數相加，等於它們的絕對值相減；兩個符號相同的數相加等於它們的絕對值相加；零加正數產生正數，零加負數產生負數。當然，從現代數學的角度來看，古籍中的敘述不夠嚴謹，但直到公元17世紀，它是最完整的正負數加減的敘述。
在國外，負數出現的很晚，直到1150(比《九章算術》壹書晚了1000多年)，印度人巴圖卡羅第壹次提到了負數，而在17世紀之前，很多數學家壹直采取不承認的態度。比如法國偉大的數學家吠陀，他對代數有很大的貢獻，但是他在解方程的時候盡量避免負數，放棄了所有的負根。很多數學家把零看成“無”，他們無法理解“小於”比“無”的現象，所以認為負數是“荒謬的”。直到17世紀，笛卡爾創立坐標系，負數才獲得了幾何解釋和實際意義，並逐漸被認識。
從上面可以看出，負數的引入是中國古代數學家為世界數學貢獻的寶貴財富。引入負數概念後，整數集和有理數集就完全形成了。
圓周率的計算
圓周率是數學中最重要的常數之壹。它的計算可以作為顯示壹個國家古代數學發展水平的標尺之壹。但是，中國古代數學在這方面取得了令人矚目的成就。
中國古代最初取圓周率為3，應用簡單，但太不準確。在尋找圓周率的精確值的旅程中，劉輝第壹個邁出了關鍵的壹步。他創立了割線技術，通過無限逼近內接正多邊形的圓來獲得圓周率的值。這樣他得到了圓周率的近似值為3.14，也有人認為他得到了更好的結果:3.1416。照耀著妳，卻比藍色更好。後繼者祖沖之利用圓周率，得到了正確的小數點後七位。而且，他還給出了簽約率和保密率。秘密率的發現是數學史上的傑出成就，保持了1000多年的世界紀錄，是史無前例的傑作。