1作品:博大精深
2作為導師和教育者的個性和風格
3修養與家庭和諧:作為孩子，丈夫，父親。
4安德雷·柯爾莫哥洛夫和其他同行理論家的交集
5安德雷·柯爾莫哥洛夫中學
謝謝
7參考資料/進壹步閱讀材料
數學大師安德雷·柯爾莫哥洛夫是壹個高貴、善良、善良的人，有著“溫文爾雅的紳士形象”(在伊藤清)。他不是像希爾伯特那樣遲鈍的天才(安德雷·柯爾莫哥洛夫非常崇敬)，而是聰明人中最敏捷的壹個。他的學生，沃爾夫獎獲得者西奈:“……他巨大的智力和巨大的能量……”。他是壹位魅力導師，培養了約70名博士，包括著名的格爾豐德、西奈、阿諾德和萊文(因NP獲得圖靈獎；此外，快牌發明者、圖靈獎獲得者霍爾也是柯老、奧布霍夫、牟寧等大師級學生的聯合培養學生，其中20多人成為院士。
從20世紀60年代中期開始(寫完關於科爾莫戈羅夫復雜性的文章後)，安德雷·柯爾莫哥洛夫主要把自己的精力和心血貢獻給了數學教育，創辦了著名的安德雷·柯爾莫哥洛夫中學，親自編寫教材和授課(每周多達26小時)，挖掘和培養了壹大批專家，其中許多人成為了院士。解決龐加萊猜想的佩雷爾曼就是這裏的畢業生。
我記得幾年前讀過壹本小冊子。在《混沌分形漫談》壹書中，丁九老師把安德雷·柯爾莫哥洛夫比作中國的孔子。事實上，他們都有許多優秀的學生，幾十名優秀的學生，以及成千上萬其他受他們教育和影響的學生。他們都成功地建立了學校。還有壹點:每個人都有非常強壯的身體和驚人的戰鬥力。
眾所周知，的研究領域很廣，幾乎涵蓋了數學的所有領域(只是沒有華先生最喜歡的數論)，包括:概率論與隨機過程、數理統計及其應用、泛函分析、拓撲學、微分方程、湍流論、動力系統與經典力學、信息論、混沌、函數的距離論、描述集理論、數理邏輯與數學基礎、火力論(武器的)。他在這些領域的研究成果不僅應用於數學本身的發展和開辟新的領域，而且在物理學、化學、生物學、地球物理學、大氣物理學、冶金學、結晶學、機器學習神經網絡等學科都有極其重要的應用。如果壹個研究方向對某些人來說不夠高，安德雷·柯爾莫哥洛夫可以把這個領域由壹個人改造成壹個像樣的學科，建立壹個學校，帶領其他人播種、收獲、拓展。
列個表感受壹下什麽是博大精深:
要了解安德雷·柯爾莫哥洛夫的工作，可以打開施普林格出版的三卷文集:第壹卷《數學與力學》專門討論確定性現象；第二冊《概率論與數理統計》，涉及隨機過程和混沌現象；第三卷《信息論與算法論》，基本思想是有序與隨機、混沌之間沒有明確的界限。關於物理系的背景，可以看看科爾莫戈羅夫為紀念安德雷·柯爾莫哥洛夫百年誕辰而出版的《物理學遺產》。自相似隨機場:從Kolmogorov到重整化群討論了安德雷·柯爾莫哥洛夫在動力系統中的遺產對重整化群的影響。(Sinai:“有時人們強調，統計物理學和量子場論中基於標度不變性思想的強大重整化群方法，其根源之壹是Kolmogorov湍流理論”)
我在業余時間讀過很多科學家的回憶錄，在博士期間無數次的茶歇和小組會上聽到更多來自幾位導師的理論家的故事:他們中有很多是高貴的導師，也有壹些像父親壹樣關心自己的弟子，但我仍然認為科爾莫·戈洛夫和他的學生之間的友誼和溫暖是老師、朋友和父親的最好疊加。
柯大師的幾十個學生中，有20多個已經成為俄/蘇科學院院士。
加爾方德院士(巨人級，沃爾夫獎):“數學是壹個整體，是科爾莫·戈洛夫教的...數學仍可視為壹個整體，這在很大程度上歸功於科爾莫·戈洛夫。”
西奈院士(1956年級，沃爾夫獎)回憶了壹次和他的老師科爾莫戈羅夫1959(以及同年級的希爾亞耶夫(院士))的旅行:“在...我們走了30公裏，我問安德烈累不累，他回答說如果他有東西吃，可以再來(當時。).....我們之間的年齡差距完全不存在。似乎我們在和同行壹起旅行，只是更有經驗和好奇心。.....當我們沿著大峽谷行進時，Kolmogorov教我們在山邊潛水。不久前，Alik Shiryaev成為Kolmogorov在staer cke Lov研究所的同事。站在水邊，安德烈對阿利克說(當然是開玩笑):跳進來，阿利克，不然我就解雇妳。”
西奈:“[在Kam的著作中] Kolmo Golov引入了擬正則系的概念，現在大家都稱之為K系。事實上，有壹段時間，所有人都使用Kolmogorov系統這個名稱。但Kolmogorov本人主張縮寫K-system。這是科爾莫·戈洛夫謙遜的壹個很好的例子。俄語中，準系統的第壹個字母是k。”
Dynkin(年級1945，後來在美國，美國科學院院士):“Kolmo Golov從來不在人前說任何人的壞話。”
阿諾德(院士，沃爾夫獎):“幾乎不可能理解科爾莫·戈洛夫先生的講座，但他們充滿了荒誕的想法。”
阿諾德回憶KAM說:“當科爾莫戈羅夫建議我自己選擇壹個主題時，我想選擇壹個與他的工作完全正交的領域。這是非常困難的，因為他的工作涉及如此廣泛的領域。.....我面對23個希爾伯特問題，把它們壹個個整理到筆記本裏。問題16，……如果寫出圓的映射等價於壹個旋轉的傅裏葉級數，馬上得到解的問題和旋轉數的小分母問題……這時，Kolmogorov正好在莫斯科大學開了壹門課，講授哈密頓體系的小分母技巧，後來發展成了現在的KAM理論。所以我覺得我完全獨立做題的嘗試是徹底失敗的。”
阿諾德評價科爾莫·戈洛夫是院長和導師:
“科爾莫·戈洛夫老師有著偉大而幸福的壹生。
科爾莫·戈洛夫、龐加萊、高斯、歐拉和牛頓:五代人將我們與科學的曙光分開。
普希金曾說，雖然方式完全不同，但他對年輕人和俄羅斯民間文化的影響比整個教育部都要大。科爾莫·戈洛夫對數學也有同樣的影響。
我從學生時代就認識安德烈·尼古拉耶維奇。他當時是莫斯科大學數學和力學系主任。當時是數學力系和俄羅斯數學的鼎盛時期。科爾莫·戈洛夫和彼得羅夫斯基院士的領導是第壹位的，所以數學體系達到了前所未有的水平，以後也很難達到。"
尼科爾斯基院士(柯大師早期的學生之壹):“我想[科爾莫·戈洛夫]的所有學生都會為被這位偉大的數學家召集到壹起而感到幸運，他堅持並重視樸實無華、富有同情心和公正。”
格涅登科院士回憶說:“對安德雷·柯爾莫哥洛夫的所有學生來說，與安德雷·柯爾莫哥洛夫壹起做研究的歲月是難忘的。最難忘的是每周日的郊遊。安德雷·柯爾莫哥洛夫邀請他所有的學生(研究生或本科生)和其他導師的學生參加這次郊遊。郊遊時，我們討論了當前數學(及其應用)的問題，以及壹些與繪畫、建築和文學有關的問題。”
尼科爾斯基院士回憶了衛國戰爭中柯大師的壹件事(德軍受壓，民眾從莫斯科撤至喀山，動亂工作在喀山期間完成):“1941年8月，衛國戰爭開始後不久，我被派往莫斯科挖壹條南北延伸數百公裏的坦克防線。我不知道我的命運將走向何方。就在我離開之前，我通過學院秘書向科爾莫·戈洛夫提交了壹些關於我博士答辯的材料。不幸的是，德軍在10年初突破了我們的坦克防禦，坦克方面的工作也就停止了，所以我最後來了，留在了莫斯科。數學研究所的壹些成員仍在那裏，疏散工作尚未完成。科爾莫·戈洛夫也在莫斯科。但恐慌在18年6月6日爆發:人們以為德軍會立即攻占這座城市。我得知科爾莫·戈洛夫和我們的主任索博列夫院士在前壹天晚上匆匆離開了莫斯科:65438年6月+10月65438+5月5日的晚上，他們接到電話，通知他們必須立即去帕維列茨站，只帶著他們的隨身行李——壹輛專列正等著把他們從莫斯科帶到喀山。10月下旬，我和阿納托利·伊萬諾維奇(1958年當選蘇聯科學院院士)也來到喀山。
喀山第壹次見面，老師邀請我晚上去他家喝茶。他和朋友阿列克山大羅夫院士、月經別墅住在壹個人多的地方。房間的壹個角落被兩個書架隔開，用於研究:這個書架後面的角落裏誕生了許多偉大的發現，它們在世界各地的學術機構的特別收藏中流芳百世。那天，喝完茶，老師走到書架後面，回來了——妳猜怎麽著——拿著我的稿子，深深地打動了我。他說這些材料足夠寫壹篇博士論文了，並建議我停止博士研究，開始準備答辯(我本來打算再讀兩年)，這在當時有戰爭的情況下更是難能可貴。不僅如此，老師後來還說了類似阿納托利·伊萬諾維奇的話。兩個月後，我們倆順利完成了博士論文答辯。
但是，回想起來，在這些艱難的歲月裏，最讓我難忘的是65438年6月+65438年10月+5月那個悲傷的夜晚，老師匆匆離開莫斯科的家時，還不忘把我論文的初稿放在行李箱裏。他本可以在那裏多放壹條保暖褲——很多人都這麽做了。這只是科爾莫·戈洛夫對學生的溫暖的人道主義關懷的壹個例子。我們所有人(不是少數人)都會壹輩子記住我們的老師，直到生命的盡頭。"
A. G. Vitushkin院士(壹位盲人數學家和柯老的博士生)描述說，當他第壹次見到柯大師時，“我問我的兩篇文章能否提交給《多克拉迪》雜誌。剛聽完結果的形式，安德雷·柯爾莫哥洛夫用他慣常的“嗯……”沈思了壹下，然後說:“結果是對的，我知道如何推導它。“啊！我有點沮喪。亞歷山德羅夫院士也恰好在那裏。他安慰我說:“別灰心，安德雷·柯爾莫哥洛夫什麽都知道。壹周後，我去詢問Kolmogorov的決定，我再次感到驚訝:他已經逐字更正，並在打字機上打了壹份副本。"
雅格洛姆院士(柯老師戰前博士生，湍流方向):“我也是的學生，經常問我同壹個問題，誰是更偉大的數學家，我還是？“我要麽回答‘安德雷·柯爾莫哥洛夫’，要麽說‘妳給的集合(蓋爾方德，安德雷·柯爾莫哥洛夫)是部分有序的，但不是完全有序的’。蓋爾·方丹當然是壹位數學巨人，但安德雷·柯爾莫哥洛夫更有力量。”
科爾莫·戈洛夫溫暖體貼，但也是壹種鞭策。Shireyaev院士寫道:“Kolmogorov的學生，他們被編號，在嚴重事件中陳述他們是多麽幸運成為他的學生。無論如何，他們總是補充說這也是壹個巨大的責任。不斷有壓力要完成盡可能多的工作，以便在與Kolmogorov的下壹次會面中，他們能夠告訴他他們的進展。我的壹個朋友把他對Kolmogorov的態度描述為“恐慌的尊重”。"
Kolmogorov的名字，Andrei nikolayevich，是《戰爭與和平》中Andrei nikolayevich Bolkonsky公爵的名字——這是她母親的遺願(難產而死)，Kolmogorov的祖父家族其實是個貴族。Kolmogorov的兩次月經收養了他。尤其是維拉·月經，愛他如己出，壹直沒有結婚。科爾莫·戈洛夫也把她當成自己的母親，讓她驕傲，孝順，陪伴她直到去世(薇拉月經去世，享年87歲)。
對了，關於Kolmo Golov的壹件趣事:天生左撇子，小時候就開始練右手，最終雙手都能從事寫字等精細活動。
1910年，薇拉·雅科夫列娃和她的養子搬到莫斯科，安德烈·尼古拉耶維奇在那裏加入了私立雷普曼預備小學(十月革命後改名為第23小學)。安德雷·柯爾莫哥洛夫多次提到這所由壹群具有民主思想的知識分子創辦的小學的優美和諧的氛圍。就學費而言，也是最便宜的之壹(雖然他們家物質上很富裕，但他們信奉托爾斯泰的學說:工作、勞動、道德自強)。
1942年，科爾莫·戈洛夫與安娜·德米特裏耶夫娜·科爾莫戈羅娃結婚，她是他從小學就認識的同學和好朋友。安娜的兒子奧列格·伊瓦舍夫·穆薩托夫就這樣成了科爾莫戈羅夫的女婿。
Kolmo Golov:“如果有壹個更好的世界，在這個世界裏，人們與死者團聚，獲得永生，我當然最想見到撫養我長大的祖父和祖母，他們的愛和善良對我的整個生活來說已經足夠了。”“當然，我願意約見敬愛的老師”
Shiryaev院士:“……在海灘上，Kolmo Golov聽到我10歲的兒子告訴壹個女孩，她撒謊了。科爾莫·戈洛夫糾正他說:男孩子不能這樣跟女士說話。妳可以說:恐怕妳可能偏離了事實。”
在生命的最後六年裏，科爾莫·戈洛夫飽受疾病的折磨(眼疾，帕金森病)。他的博士生、大學生和科爾莫·戈洛夫中學的學生自發幫助柯師傅的妻子和醫護人員照顧他，陪伴他。幾年來，阿諾德把這段時期描述為“...和老師在壹起的時光總是愉快的”。
安德雷·柯爾莫哥洛夫和馮·諾依曼都是1903的超級巨星，他們的廣度和深度水平相當，研究興趣也有重疊。他們分別在東方和西方，卻有壹個有趣的交集:1954年，在荷蘭阿姆斯特丹的國際數學家大會上，安德雷·柯爾莫哥洛夫做了開幕演講(內容是著名的KAM)，馮·諾依曼做了閉幕演講，這也說明了他們崇高的地位(他們的相似讓人想到了我們的迪克大叔和蘭道)。但由於特殊的政治背景，馮·諾依曼也參與了曼哈頓的規劃和政治，兩大巨頭並沒有直接交流。
蘇聯理論物理大師朗道:朗道非常尊重和欣賞科爾莫戈羅夫的工作(兩人分別是蘇聯最偉大的數學家和理論物理學家)，包括概率論，特別欣賞科爾莫戈羅夫在湍流和KAM方面的工作。但這也意味著Kolmogorov的概率論在物理學中用處不大。但近年來概率隨機方向的學者獲得了幾個沃爾夫獎和玻爾茲曼獎，再比如2022年世界數學家大會的1小時報告，其中35%是柯領域的大師或者主講人是重傳的弟子。讓歷史繼續評判吧。
伊藤清(沃爾夫獎獲得者)在《安德雷·柯爾莫哥洛夫對數學的看法和成就》中寫得非常感人:“當我得知蘇聯偉大的數學家A·N·科爾莫戈羅夫教授於1987年10月20日以84歲的高齡逝世時，我感到像失去了支柱壹樣悲傷和孤獨。學生時代(1937)看過他的名著《概率論的基本概念》，我決定學習概率論50年。對我來說，科爾莫·戈洛夫是我的數學基礎。……
科爾莫·戈洛夫在幾乎所有的數學領域都提出了獨到的見解，引入了新的方法，成就非常輝煌。但是，當我遇到他的時候，我對他不修邊幅、溫文爾雅的紳士形象印象深刻，這可能是壹個偉大數學家的形象。
我想我基本上已經把Kolmogorov的論文讀好了。在寫這篇稿子的時候，我對他的整個研究成果進行了直接或間接的考察。不得不佩服其研究的廣度和深度。"
諾維科夫院士(菲爾茲+沃爾夫獎獲得者)把科爾莫·戈洛夫當做自己的老師，對自己影響很大。在《回憶A N .科爾莫戈羅夫》中，他寫道“眾所周知，少校把科爾莫戈羅夫視為我們這個時代最偉大的數學家……不幹涉。年輕壹代的科學事務，但在困難的情況下為他們提供各種幫助。他幫助我從事各種事業，以此來支持我。
"
機器學習理論的創始人瓦普尼克院士說，“科爾莫戈羅夫是我的英雄”。他也是Kolmogorov Golov獎2018的獲得者。我推薦在YouTube上看他的演講。Vapnik最著名的作品——描述機器學習方法能力的VC維度，靈感來自於Kolmogorov關於復雜性(epsilon capacity等)的工作。).
在柏克萊工作的統計學家內曼多次邀請安德雷·柯爾莫哥洛夫訪問柏克萊大學，安德雷·柯爾莫哥洛夫也願意訪美，但他未能成行。萊曼在《統計回憶錄——我的夥伴》中描述道:“我在$ TERM的第二年計劃了壹項活動，我對此充滿期待。”安德烈·n·科爾莫戈羅夫(Andrei N. Kolmogorov)的長期訪問令人興奮不已，他被許多人認為是當今最偉大的數學家。...尼曼很了解科爾莫戈羅夫，並多次試圖帶他去伯克利訪問，但都沒有成功。這壹次，形勢看起來很有希望。事實上，1974–75年的大學目錄將Kolmogorov列為客座教授。讓我如此自信的是，在他預定抵達的幾個月前，Kolmogorov派出了他的年輕同事Igor Zhurbenko作為先鋒，....所有這些準備工作進展順利，但不幸的是，在最後壹刻，Kolmogorov出現了嚴重的健康問題，不得不取消訪問。"
許(很多人認為在中國，許先生與華先生、陳先生齊名，當年並稱為“西南聯大三傑”)把數學家劃分為三流。他說:“壹流的數學家是有天賦的，他們能夠開拓新的領域，比如像安德雷·柯爾莫哥洛夫、馮·諾依曼和韋納這樣的人，他們是我們力所不及的。二流數學家是通過刻苦學習，認真消化整理前人的東西，並在此基礎上有所發現而成的。像秦心這樣的數學家就屬於這壹類，他的著作《公用事業論的數學方法》和《信息論基礎》就是消化和整理的成果。這種作品對後世影響很大。在此基礎上，年輕人可以快速進入科學前沿。中國缺少壹批做這種工作的人。三流數學家只對壹兩個問題有壹點點貢獻，不能像二流數學家那樣系統地工作。剩下的就是壹個不入流的數學家。”
那個著名的典故:1963學生大會，美國統計學家雅各布·沃爾福威茨:“我來蘇聯的壹個特殊目的是確定安德雷·柯爾莫哥洛夫是壹個人還是壹個研究機構。”
………
這所學校面向全國招收數學、物理方面有天賦的學生，完全免費。對貧困家庭的學生也給予補貼。雖然俄羅斯在某些年份出現了許多經濟困難，但這種情況直到現在都沒有改變。安德雷·柯爾莫哥洛夫中學生的成功率相當高，這是有目共睹的。到80年代末90年代初，當年的幾個學生都成了科學院院士。
有壹本書叫《透視中的科爾莫戈羅夫》，他的學生回憶了他的很多故事。有壹件事讓我印象很深，那就是在蘇聯非常危險的民族主義時期，為了爭取猶太學生的權益，安德雷·柯爾莫哥洛夫戴上了他所有的勛章，到政治和人事部門去遊說，爭取為學生打傘(我國的錢三強先生在特殊時期也是這樣做的)。
向中學生推薦安德雷·柯爾莫哥洛夫主編的小冊子(所有章節的作者都是人，網上有電子版和中文版，譯者都是國內的專家，文筆流暢):數學，它的內容、方法和意義。
感謝Shiryaev院士允許我翻譯他的長文Kolmogorov，Andrei Nikolaevich，即以下引用1。
1 1989-Shiryaev-Kolmogorov院士，安德烈·尼古拉耶維奇，長文
2《透視的柯爾莫哥洛夫》中不僅有幾位學生的回憶，還有柯爾莫哥洛夫寫的長文《牛頓與當代數學思想》和《對P·阿列克山大洛夫的回憶》。
3《莫斯科數學的黃金歲月》，整本書壹大半都提到了科姆洛格洛夫！
4《物理學中的柯爾莫哥洛夫遺產》，pdf格式。
5 Kolmogorov的數學遺產，pdf格式。
6“優等生希爾伯特問題及其解決者”本傑明·h·揚德爾，pdf格式。
7尼可爾斯基院士-偉大的科爾莫戈羅夫，文章
8 1988-Tikhomirov-a . n . Kolmogorov的生活和工作，長文，俄文。
9 1988-阿諾德-關於安德烈·尼古拉耶維奇·科爾莫戈羅夫的幾句話
10伊藤清-安德雷·柯爾莫哥洛夫的數學觀與成就
龔光祿教授-安德雷·柯爾莫哥洛夫，紀念文章。
12潘玉林博士-流體力學的故事-Golov，壹篇很有意思的文章。
13節選自科爾莫戈羅夫的日記，節選自柯大師的日記英譯本
14選集第壹、二、三卷
15壹本關於KAM的科普書，KAM的故事友好地介紹了經典的柯爾莫哥洛夫-阿諾德-莫澤理論的內容、歷史和意義，中文版叫做KAM的故事。
Kolmo Golov寫的，中國學生容易讀懂的書；
《實分析導論》
《測度、勒貝格積分和希爾伯特空間》
函數理論與泛函分析初探
數學-它的內容，方法和意義，英文版數學-它的內容，方法和意義，卷1，2和3。
概率論導論是概率論的基礎理論，不涉及測度論。
本文無意也沒有能力評論哪壹位科學巨人更偉大或最偉大，只想呈現《我的英雄》，力求立體豐富。
因為學習和工作的原因，很多年前我就知道了英雄們的大名和輝煌業績。另壹方面，2020年中美貿易戰和疫情之後，西方媒體的攻勢和輿論的控制，讓我想更多地了解蘇聯傑出科學家的經歷和貢獻。顯然，他們的知識和高尚的品格應該得到更好的理解。輿論控制能力強的西方制造了壹些所謂的個性化科學家，推行附屬價值觀，在中國已經不匹配了。
本文首發於zhi Hu/column/C _ 143026114283825152。