3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798 2148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622 9489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133 9360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652 1384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105654 38+0185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247376543 8+09070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778 9609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960 8640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244 5945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766965 438+047303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876616543 8+01959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138 9124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493936543 8+09255060400927701671139009848824012858361603563707660104710181942955596198946767837449448 2553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935165 438+025338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028665438 +082974555706749838505494588586926995690927210797509302955321165344987202755960236480665499119881834797753566369807 4265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501465438 +044197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556 2099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680 0642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237 1378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009946576407895126946839835259570982582262052 2489407726719478268482601476990902640136394437455305068203496252451749399651431429809190659250937221696 4615157098583874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459539594310499 7252468084598727364469584865383673622262609912460805124388439045124413654976278079771569143599770012961 6089441694868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267467678895252138522549954666727823986456596116 3548862305774564980355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931456691368672287489405606 5438+00150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978189312978482168299894872265880485 756401427047755513237964145152374623436454285844479526586782105114135473573952311342765438+ 0661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420073105785390621983874478084784896833 214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399520665438+ 041966342875444064374512371819217999839101591956181467514269123974894090765438+ 0864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996 6150142150306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464 9651453905796268561005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759 5156771577004203378699360072305587631763594218731251471205329281918261861258673265438 +057919841484882916447060957527069572209175671167229109816909152801735067127485832228 7183520935396572512108357915136988209144421006751033467110314126711 1369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283 3163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199 4309924488957571282890592323326097299712084433573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437446 5438+07029132765618093773444030707469211201913020330380197621101100449293215654 38+0608424448596376698389522868478312355265821314495768572624334418930396864262434107732269780280731891544654 38+0101044682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691 8620564769312570586356620185581007293606598764861179104533488503461136576867532494416680396265797 8771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053 8994561314071127000407854733269939081454664645880797270826683063432858785698305235808933065757406795457163775254202 1149557615814002501262285941302164715509792592309907965473761255176567513575178 2966645477917450112996148903046399471329621073404375189573596145890193897131165 438+07904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033265438+ 0571853061422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501146 5406284336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172165 438+086082041900042296617119637792133757511495950156604963186294726547364252308177036756543 8+05906735023507283540567040386743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377441842636543 8+02986080998886874132604721569516239658645730216315981931951673538129741677294786724229246 543668009806769282382806899640048243540370141631496589794092432378969070697794223625082216889573837986230015937764765438+ 0651228935786015881617557829735233446042815126272037343146531977774160319906655418763 9792933441952154134189948544473456738316249934191318148092777710386387734317720754565 4532207770921201905166096280490926360197598828161332316663652861932668633606273567630354477628035045077 7235547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449753824372058353654 38+0147711992606381334677687969597030983391307710987040859133746414428227726346594704745878477872065438 +092771528073176790770715721344473060570073349243693113835049316312840425121925651798 0694113528013147013047816437885185290928545201165839341965621349143415956 2586586557055269049652098580338507224264829397285847831630577775606888764462482468579260395352773480304802900587607582510474709164396 1362676044925627420420832085661190625454337213153595845068772460290161876679524061634252257719542 9162991930645537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111369410 9119393251910760208252026187985318877058429725916778131496990090192116971 7372784768472686084900337702424291651300500516832336435038951702989392233451722013812806965011784 408745196012122859937162313017114448464090389064495444006198690754851602632750529834965438+ 0874078668088183385102283345085048608250393021332197155184306354550076682829493041377655279397517546654 38+0395398468339363830474611996653858153842056853386218672523340283087112328278921250771262946322956398 9898935821167456270102183564622013496715188190973038119800497340723961036854066436543 8+09395097901906996395524530054505806855019567302292191393391856803449039820595510022635353619204199474 5538593810234395544959778377902374216172711172364343543947822181852862408514006660443325888569867 0543154706965747458550332323342107301545940516553790686627333799585115625784322988273723198987571465438 +059578111963583300594087306812160287649628674460477464915995054973742562690104903778198683593814 6574126804925648798556145372347867330390468838343634655379498641927056387293174872332083760112302991136 7938627089438799362016295154133714248928307220126901475466847653576164773794675200490757155527819 6536213239264061601363581559074220202031872776052772190055614842555187925303435139844253223465438 +057623361064250639049750086562710953591946589751413103482276930624743536325691607815478181 1528436679570611086153315044521274739245449454236828860613408414863776700961207151249 1404302725386076482363414334623518975766452164137679690314950191085759844239198629164265438 +093994907236234646844117394032659184044378051333894525742399508296591228508555821572503107125701 2668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029960783 8690929160302884002691041407928862150784245167090870006992821206604183718065355672525325675328612 9104248776182582976515795984703562226293486003415872298053498965022629174878820273420922224533985626476691490556284 2503912757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429099456815065265305371829412703369365438 +037851786090407086671149655834343476933857817113864558736781230145876871266034891390956200 9939361031029161615288138437909904231747336394804575931493140529763475748119356709654 38+0101377517210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937517034436619 9104033751117354719185504644902636551281622882446257591633303910722538374218214 0883508657391771509682887478265699599574490661758344137522397096834080053559849175417381883999446974867626556 5438+06582765848358845314277568790029095170283529716344562129640435231176006651012412006597558565 438+027617858382920419748442360800719304576189323492292796501987518721272675079812554709589045563579265 438+022103334669749923563025494780249011419521238281530911407907386025152274299581807247654 38+0625916685451333123948049470791191532673430282441860414263639548000448002670496248201792896476 69758318327131425170296923489676, 232609275, 2396969696
圓周率是數學中重要的常數之壹。它是指代表圓的周長與直徑之比的數學常數,用希臘字母π表示。π也等於圓的面積與半徑的平方之比,近似值約為3.14159265359,是精確計算圓的周長、圓的面積、球體的體積等幾何形狀的關鍵值。它是第壹個被人類認可的特殊常數。中國古代很早就有“壹周三次”的記載。當時認為圓周率是常數。從1737開始,歐拉表示圓周率後成為通用符號。
圓周率公式:
周率()壹般定義為圓的周長(c)與直徑(d)之比,或者直接定義為單位圓的半周長。根據相似圖的性質,對於任何圓,的值都是相同的,從而定義了壹個常數。
公式
註:定義為單位圓周長的壹半是有意義的,因為從現代數學的角度來看,直徑為d,半徑為r的圓的周長c由以下積分給出:
公式
也就是
公式
在上式中,定積分的代換方法可以得到:
公式
其中是單位圓周的周長(c的表達式中r=1)。如果定義,它與眾所周知的周長公式是壹致的。
公式
而半徑為r的圓的面積s由以下積分給出:
公式
階,可從定積分的代換方法中獲得:
公式
公式
其中是單位圓的面積(S的表達式中r=1)。使用部件集成,
公式
公式
所以,
公式
因此,我們得到關系式:
公式
這樣,也就得出眾所周知的圓面積公式。第二種方法是以圓的半徑為邊長做壹個正方形,然後將圓的面積與正方形的面積之比設為,即圓的面積與半徑的平方之比。
圓周率計算簡史
1.1?實驗時間
壹塊古巴比倫石碑(約公元前1900年至公元前1600年)明確記載了圓周率= 25/8 = 3.125。同時期的古埃及文物Rhind數學紙莎草紙也顯示圓周率等於分數16/9的平方,約為3.1605。埃及人似乎更早就知道圓周率。英國作家約翰·泰勒(1781–1864)在他的代表作《大金字塔》中寫道:它為什麽被建造,是誰建造的?)指出公元前2500年左右建造的胡夫金字塔與圓周率有關。例如,金字塔的周長與高度之比等於圓周率的兩倍,圓周率正好等於圓的周長與半徑之比。寫於公元前800年至600年的古印度宗教巨著《薩塔巴塔婆羅門》,顯示圓周率等於339/108的分數,約為3.139。[1]
1.2?幾何方法周期
古希臘作為壹個古老的幾何王國,對圓周率做出了巨大的貢獻。古希臘偉大的數學家阿基米德(公元前287–212)在人類歷史上開創了圓周率近似值的理論計算。阿基米德從單位圓出發,首先用內接正六邊形發現圓周率的下界為3,然後借助勾股定理發現圓周率的上界小於4。接著,他將內接正六邊形和外切正六邊形的邊數分別增加壹倍,分別變為內接正六邊形12和外切正六邊形12,然後借助勾股定理改進了圓周率的上下界。他逐漸將內接正多邊形和外接正多邊形的邊數增加壹倍,直到內接正96多邊形和外接正96多邊形。最後他發現圓周率的上下界分別是223/71和22/7,取它們的平均值3.141851作為圓周率的近似值。阿基米德使用了叠代算法和雙邊數值逼近的概念,堪稱計算數學的鼻祖。
中國古籍《周並行算經》(約公元前2世紀)中有記載“道壹而周三”,意為取之。漢代張衡斷定(約3.162)。這個數值雖然不準確,但是簡單易懂。
公元263年,中國數學家劉徽用“割線法”計算圓周率。他先從圓上接壹個正六邊形,壹步步分割,直到圓接壹個正六邊形192。他說:“如果妳小心地切,妳會損失很少。再切就切不下去了,那就合圍了,也沒什麽損失。”,包含了求極限的思想。劉輝給出了壹個近似值pi =3.141024。劉徽得到圓周率= 3.14後,用金軍械庫中漢、王莽時代制造的銅制制式賈梁虎的直徑和體積來核對這個數值,發現3.14的數值還是偏小的。然後繼續把圓切割成1536多邊形,求出3072多邊形的面積,得到壹個滿意的pi。
公元480年左右,南北朝數學家祖沖之進壹步得到了精確到小數點後七位的結果,給出了3.1415926的不足近似值和3.1415927的過度近似值,還得到了兩個近似分數值,即密度比和收縮比。密度是分數的壹個很好的近似值,只有得到它,我們才能得到稍微精確壹點的近似值。[2](參見丟番圖近似)
在接下來的800年裏,祖沖之計算的π值是最準確的。其中《秘率》直到西方1573年才被德國人聖華倫泰·奧索獲得,並於1625年發表在荷蘭工程師安圖奧尼的著作中,在歐洲被稱為梅蒂斯& apos;第10號.
大約在公元530年,印度數學家阿雅巴塔計算出圓周率約為。Brahmagupta用另壹種方法推導出圓周率等於10的算術平方根。
15世紀初,阿拉伯數學家卡西得到了圓周率的精確十進制數值17,打破了祖沖之保持了近千年的記錄。德國數學家魯道夫·範·科伊倫在1596中把π值計算到小數點後20位,然後畢生致力於此,在1610中計算到小數點後35位,以他的名字命名為魯道夫數。
1.3?分析周期
這壹時期,人們開始用無窮級數或無窮連續積來求π,擺脫割線的復雜計算。π值的各種表達式如無窮乘積、無窮連分數、無窮級數等相繼出現,使得π值的計算精度迅速提高。
第壹個快速算法是由英國數學家約翰·麥金提出的。在1706中,麥金計算的π值超過了100的小數標記,他使用了下面的公式:[3]。
Arctan x可以通過泰勒級數計算。壹種類似的方法叫做“麥金公式”。
1789年,斯洛文尼亞數學家尤裏·維加(Jurij Vega)得到了π小數點後的前140位,其中只有137位是正確的。這個世界紀錄保持了五十年。他用的是梅琴在1706提出的數公式。
到1948年,英國的D. F. Ferguson和美國的Ronchi * *都發表了π的808位十進制數值,成為人工計算圓周率的最高記錄。
1.4?計算機時代
電子計算機的出現使π值的計算有了突飛猛進的發展。1949,世界上第壹臺美國制造的計算機——ENIAC(電子
圓周率
數字積分器和計算機)在阿伯丁試驗場開放。次年,裏特·維斯納、馮·紐曼和梅佐波利斯用這臺計算機計算了π的2037位小數。這臺計算機只花了70個小時就完成了這項工作。扣除插打卡的時間,相當於平均兩分鐘算出個位數。5年後,IBM NORC(海軍武器研究計算機)僅用了13分鐘就計算出了π的3089位小數。隨著科技的不斷進步,計算機的運算速度越來越快。到了六七十年代,隨著美國、英國、法國的計算機科學家之間不斷的計算機競賽,π的數值越來越精確。1973年,讓·吉尤(Jean Guilloud)和馬丁·布耶(Martin Bouyer)用計算機CDC 7600發現了π的第百萬位小數。
1976出現新的突破。薩拉明發表了壹個新的公式,這是壹個二次收斂的算法,也就是說,每次計算之後,都會乘以有效數。高斯之前也發現過類似的公式,但是非常復雜,在沒有計算機的年代不可行。這種算法稱為Brent-Salamin(或Salamin-Brent)算法,也稱為Gauss-Legendre算法。
1989年,美國哥倫比亞大學的研究人員用Cray-2和IBM-3090/VF巨型電子計算機計算π值小數點後4.8億位,然後繼續計算到小數點後101億位。10月7日——法國工程師法布裏斯·貝拉計算出圓周率精確到小數點後2.7萬億位。2010年8月30日——日本計算機天才近藤茂(Mau Kondo)利用家用計算機和雲計算將圓周率計算到小數點後5萬億位。
2011,10,日本長野縣飯田市的職員用家用電腦將圓周率算到小數點後10萬億位,創下了2010年8月由自己創造的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂(Mau Kondo)用自己組裝的電腦,從5438年6月+10月開始計算,用時約1年,創下新紀錄。
現在,能計算多少位小數已經成為衡量壹臺計算機的運算速度、內存容量和整體能力的重要指標。