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圓周率是數學中重要的常數之壹。它是指代表圓的周長與直徑之比的數學常數，用希臘字母π表示。π也等於圓的面積與半徑的平方之比，近似值約為3.14159265359，是精確計算圓的周長、圓的面積、球體的體積等幾何形狀的關鍵值。它是第壹個被人類認可的特殊常數。中國古代很早就有“壹周三次”的記載。當時認為圓周率是常數。從1737開始，歐拉表示圓周率後成為通用符號。
圓周率公式:
周率()壹般定義為圓的周長(c)與直徑(d)之比，或者直接定義為單位圓的半周長。根據相似圖的性質，對於任何圓，的值都是相同的，從而定義了壹個常數。
公式
註:定義為單位圓周長的壹半是有意義的，因為從現代數學的角度來看，直徑為d，半徑為r的圓的周長c由以下積分給出:
公式
也就是
公式
在上式中，定積分的代換方法可以得到:
公式
其中是單位圓周的周長(c的表達式中r=1)。如果定義，它與眾所周知的周長公式是壹致的。
公式
而半徑為r的圓的面積s由以下積分給出:
公式
階，可從定積分的代換方法中獲得:
公式
公式
其中是單位圓的面積(S的表達式中r=1)。使用部件集成，
公式
公式
所以，
公式
因此，我們得到關系式:
公式
這樣，也就得出眾所周知的圓面積公式。第二種方法是以圓的半徑為邊長做壹個正方形，然後將圓的面積與正方形的面積之比設為，即圓的面積與半徑的平方之比。
圓周率計算簡史
1.1?實驗時間
壹塊古巴比倫石碑(約公元前1900年至公元前1600年)明確記載了圓周率= 25/8 = 3.125。同時期的古埃及文物Rhind數學紙莎草紙也顯示圓周率等於分數16/9的平方，約為3.1605。埃及人似乎更早就知道圓周率。英國作家約翰·泰勒(1781–1864)在他的代表作《大金字塔》中寫道:它為什麽被建造，是誰建造的？)指出公元前2500年左右建造的胡夫金字塔與圓周率有關。例如，金字塔的周長與高度之比等於圓周率的兩倍，圓周率正好等於圓的周長與半徑之比。寫於公元前800年至600年的古印度宗教巨著《薩塔巴塔婆羅門》，顯示圓周率等於339/108的分數，約為3.139。[1]
1.2?幾何方法周期
古希臘作為壹個古老的幾何王國，對圓周率做出了巨大的貢獻。古希臘偉大的數學家阿基米德(公元前287–212)在人類歷史上開創了圓周率近似值的理論計算。阿基米德從單位圓出發，首先用內接正六邊形發現圓周率的下界為3，然後借助勾股定理發現圓周率的上界小於4。接著，他將內接正六邊形和外切正六邊形的邊數分別增加壹倍，分別變為內接正六邊形12和外切正六邊形12，然後借助勾股定理改進了圓周率的上下界。他逐漸將內接正多邊形和外接正多邊形的邊數增加壹倍，直到內接正96多邊形和外接正96多邊形。最後他發現圓周率的上下界分別是223/71和22/7，取它們的平均值3.141851作為圓周率的近似值。阿基米德使用了叠代算法和雙邊數值逼近的概念，堪稱計算數學的鼻祖。
中國古籍《周並行算經》(約公元前2世紀)中有記載“道壹而周三”，意為取之。漢代張衡斷定(約3.162)。這個數值雖然不準確，但是簡單易懂。
公元263年，中國數學家劉徽用“割線法”計算圓周率。他先從圓上接壹個正六邊形，壹步步分割，直到圓接壹個正六邊形192。他說:“如果妳小心地切，妳會損失很少。再切就切不下去了，那就合圍了，也沒什麽損失。”，包含了求極限的思想。劉輝給出了壹個近似值pi =3.141024。劉徽得到圓周率= 3.14後，用金軍械庫中漢、王莽時代制造的銅制制式賈梁虎的直徑和體積來核對這個數值，發現3.14的數值還是偏小的。然後繼續把圓切割成1536多邊形，求出3072多邊形的面積，得到壹個滿意的pi。
公元480年左右，南北朝數學家祖沖之進壹步得到了精確到小數點後七位的結果，給出了3.1415926的不足近似值和3.1415927的過度近似值，還得到了兩個近似分數值，即密度比和收縮比。密度是分數的壹個很好的近似值，只有得到它，我們才能得到稍微精確壹點的近似值。[2](參見丟番圖近似)
在接下來的800年裏，祖沖之計算的π值是最準確的。其中《秘率》直到西方1573年才被德國人聖華倫泰·奧索獲得，並於1625年發表在荷蘭工程師安圖奧尼的著作中，在歐洲被稱為梅蒂斯& apos；第10號.
大約在公元530年，印度數學家阿雅巴塔計算出圓周率約為。Brahmagupta用另壹種方法推導出圓周率等於10的算術平方根。
15世紀初，阿拉伯數學家卡西得到了圓周率的精確十進制數值17，打破了祖沖之保持了近千年的記錄。德國數學家魯道夫·範·科伊倫在1596中把π值計算到小數點後20位，然後畢生致力於此，在1610中計算到小數點後35位，以他的名字命名為魯道夫數。
1.3?分析周期
這壹時期，人們開始用無窮級數或無窮連續積來求π，擺脫割線的復雜計算。π值的各種表達式如無窮乘積、無窮連分數、無窮級數等相繼出現，使得π值的計算精度迅速提高。
第壹個快速算法是由英國數學家約翰·麥金提出的。在1706中，麥金計算的π值超過了100的小數標記，他使用了下面的公式:[3]。
Arctan x可以通過泰勒級數計算。壹種類似的方法叫做“麥金公式”。
1789年，斯洛文尼亞數學家尤裏·維加(Jurij Vega)得到了π小數點後的前140位，其中只有137位是正確的。這個世界紀錄保持了五十年。他用的是梅琴在1706提出的數公式。
到1948年，英國的D. F. Ferguson和美國的Ronchi * *都發表了π的808位十進制數值，成為人工計算圓周率的最高記錄。
1.4?計算機時代
電子計算機的出現使π值的計算有了突飛猛進的發展。1949，世界上第壹臺美國制造的計算機——ENIAC(電子
圓周率
數字積分器和計算機)在阿伯丁試驗場開放。次年，裏特·維斯納、馮·紐曼和梅佐波利斯用這臺計算機計算了π的2037位小數。這臺計算機只花了70個小時就完成了這項工作。扣除插打卡的時間，相當於平均兩分鐘算出個位數。5年後，IBM NORC(海軍武器研究計算機)僅用了13分鐘就計算出了π的3089位小數。隨著科技的不斷進步，計算機的運算速度越來越快。到了六七十年代，隨著美國、英國、法國的計算機科學家之間不斷的計算機競賽，π的數值越來越精確。1973年，讓·吉尤(Jean Guilloud)和馬丁·布耶(Martin Bouyer)用計算機CDC 7600發現了π的第百萬位小數。
1976出現新的突破。薩拉明發表了壹個新的公式，這是壹個二次收斂的算法，也就是說，每次計算之後，都會乘以有效數。高斯之前也發現過類似的公式，但是非常復雜，在沒有計算機的年代不可行。這種算法稱為Brent-Salamin(或Salamin-Brent)算法，也稱為Gauss-Legendre算法。
1989年，美國哥倫比亞大學的研究人員用Cray-2和IBM-3090/VF巨型電子計算機計算π值小數點後4.8億位，然後繼續計算到小數點後101億位。10月7日——法國工程師法布裏斯·貝拉計算出圓周率精確到小數點後2.7萬億位。2010年8月30日——日本計算機天才近藤茂(Mau Kondo)利用家用計算機和雲計算將圓周率計算到小數點後5萬億位。
2011，10，日本長野縣飯田市的職員用家用電腦將圓周率算到小數點後10萬億位，創下了2010年8月由自己創造的5萬億位吉尼斯世界紀錄。56歲的近藤茂(Mau Kondo)用自己組裝的電腦，從5438年6月+10月開始計算，用時約1年，創下新紀錄。
現在，能計算多少位小數已經成為衡量壹臺計算機的運算速度、內存容量和整體能力的重要指標。