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數學手稿信息:現代數學教育
現代數學時期是指從65438年到20世紀20年代。在這個時期，數學主要研究最壹般的數量關系和空間形式。數和量只是它的非常特例，通常的壹維、二維、三維空間的幾何圖像也只是特例。抽象代數、拓撲學和泛函分析是整個現代數學科學的主要部分。它們是大學數學專業的課程，非數學專業的學生也應該對它們有所了解。變量數學時期的許多新學科蓬勃發展，其內容和方法不斷豐富、拓展和深化。
18和19世紀之交，數學達到了豐富密集的局面。似乎數學的寶藏已經耗盡，沒有太大的發展空間。然而，這只是暴風雨前的寧靜。19的20世紀20年代，數學革命的浪潮終於來臨，數學開始了壹系列本質的變化。從此，數學進入了壹個新的時期——現代數學時期。
19世紀上半葉，數學出現了兩個革命性的發現——非歐幾何和非交換代數。
大約在1826年，人們發現了非歐幾裏得幾何，它不同於通常的歐幾裏得幾何但也是正確的。這是由Robachevsky和Rier首先提出的。非歐幾何的出現改變了人們認為歐幾何只是理所當然存在的看法。其革命性的思想不僅為新幾何鋪平了道路，也是20世紀相對論產生的前奏和準備。
後來證明，非歐幾何引起的思想解放對現代數學和科學具有重要意義，因為人類終於開始突破感官的局限，深入到更深層的自然。從這個意義上說，為非歐幾何的建立和發展貢獻了壹生的羅巴切夫斯基不愧為近代科學的先驅。
1854年，黎曼普及了空間的概念，創造了更廣闊的幾何領域——黎曼幾何。非歐幾何的發現也促進了公理方法的深入討論，研究了可以作為依據的概念和原理，分析了公理的完備性、相容性和獨立性。從65438年到0899年，希爾伯特為此做出了巨大貢獻。
1843年，哈密爾頓發現了壹個代數——四元數代數，其中乘法交換律不成立。非交換代數的出現改變了人們的看法，即擁有壹個不同於普通算術代數的代數是不可想象的。其革命性的思想打開了現代代數的大門。
另壹方面，由於對壹元方程根的求解條件的探索，引入了群的概念。65438+20世紀20-30年代。阿貝爾和伽羅瓦開創了現代代數的研究。近世代數是相對於古典代數而言的，古典代數的內容以討論方程的解為中心。群論之後，各種代數系統(環、域、格、布爾代數、線性空間等。)都成立了。這時代數的研究對象擴展到向量、矩陣等等，逐漸轉向代數系統結構本身的研究。
上述兩個事件及其發展被稱為幾何和代數的解放。
19世紀，發生了第三個影響深遠的數學事件:分析的算術化。在1874中，Wilstrass提出了壹個引人註目的例子，要求人們對分析基礎有更深刻的理解。他提出了壹個著名的觀點，叫做“分析的算術”。實數系本身壹開始應該是嚴格的，然後所有分析的概念都要從這個數系中推導出來。他和他的後繼者們基本上實現了這壹思想，以至於今天所有的分析都可以從壹個顯示實數系特征的公設集合中進行邏輯推導。
現代數學家的研究遠遠超出了實數系是分析基礎的假設。歐幾裏得幾何也可以通過它的解析解釋而置於實數系中；如果歐幾裏得幾何是相容的，那麽幾何的大多數分支都是相容的。實數系(或某部分)可以用來求解群代數的許多分支；它可以使許多代數相容性依賴於實數系統的相容性。事實上，可以說，如果實數系統是兼容的，所有現存的數學也是兼容的。
19世紀後期，由於戴德金德、康托爾和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在壹個更簡單、更基本的自然數系統上。也就是說，他們證明了實數系統(許多種類的數學都是從這個系統中推導出來的)可以從建立自然數系統的公設集中推導出來。20世紀初，證明了自然數可以用集合論的概念來定義。所以各種數學都可以在集合論的基礎上講。
拓撲學最開始是幾何學的壹個分支，但直到20世紀的第二個1/4世紀才開始普及。拓撲學可以粗略地定義為連續性的數學研究。科學家認識到，任何壹組事物，無論是點的集合、數字的集合、代數實體的集合、函數的集合還是非數學對象的集合，都可以在某種意義上形成拓撲空間。拓撲學的概念和理論已經成功地應用於電磁學和物理學的研究。