極限可分為數列極限和函數極限，定義如下。
首先介紹劉輝的“割線圓”。有壹個半徑為1的圓，在只知道直邊面積計算方法的情況下，要計算它的面積。為此，他先內接壹個面積為A1的正六邊形，然後內接壹個面積為A2的正十二邊形和壹個面積為A3的內接四邊形，從而使邊數翻倍。當N無限增大時，An無限接近壹個圓的面積，他用不等式An+65438計算到3072=6*2的九次方多邊形。A & ltan+2[(an+1)-an](n = 1，2，3)...)得到pi =3927/1250，約為3.1416。
序列限制:
定義:設|Xn|是壹個數列。如果對任何給定的正數ε(不管它有多小)都有壹個常數A，那麽總有壹個正整數N，這樣當n >: N時，不等式
| Xn-a | & lt；ε
兩者都為真，那麽常數a就是數列|Xn|的極限，或者數列|Xn|收斂於a，寫為lim Xn = a或者Xn→a(n→∞)。
序列極限的性質:
1.唯壹性:如果數列極限存在，極限值唯壹；
2.改變級數的有限項，而不改變級數的極限。
幾種常用數列的極限；
常數序列的極限是c。
An=1/n限制為0。
An = x n絕對值x小於1，極限為0。
函數極限的專業定義；
設函數f(x)在點x，在的向心鄰域有壹個定義，如果有壹個常數a，對於任意給定的正數ε(不管它有多小)，總有壹個正數δ，這樣當x滿足不等式0
| f(x)-A | & lt；ε
那麽常數a稱為x → x時的函數f(x)時間極限。
函數極限的通俗定義；
1，設函數y=f(x)定義在(a，+∞)中。如果函數f(x)在x →+∞時無限逼近壹個確定常數a，那麽a稱為函數f(x)在x趨於+∞時的極限。讓它寫成lim f (x) = a，x→+∞。
2.設函數y=f(x)定義在A點附近，當x無限逼近A時(記為x→a)，函數值無限逼近某個常數，則稱A為x無限逼近A時函數f(x)的極限。寫出lim f(x)=A，x → a。
功能的左右極限:
1:如果函數f(x)在x從點x=x0的左側逼近x0時無限逼近常數a(即x < x0)，則稱a是函數f(x)在點x0的左極限，記為x→ x0-LIMF (x) = a .
2.如果x是從點x=x0的右側(即x >；當x0)無限逼近點x0時，函數f(x)無限逼近常數A，即A是函數f(x)在點x0的右極限，記為x→ x0+LIMF (x) = a .
註意:如果壹個函數在x(0)上的左右極限不同，則這個函數在x(0)上沒有極限。
函數極限的性質:
極限算法(或相關公式):
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))= LIMF(x)/LIMG(x)(LIMG(x)不等於0)。
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
只有當上述limf(x) limg(x)都存在時，才能成立。
lim(1+1/x)^x =e
x→∞
無窮和無窮小:
壹個級數(極限)無限趨近於0，是壹個無窮小的級數(極限)。
無窮數列和無窮小數列是互逆的。
兩個重要的限制:
1、lim sin(x)/x =1，x→0
2.lim (1+1/x) x = e，x→∞ (e≈2.7182818...，無理數)。
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舉兩個例子來說明。
1.0.999999 ...= 1?
(下面這段話不是為了證明，只是為了理解——原因:十進制加法的第壹步是對位數進行對齊，也就是要知道要加哪壹位數，運算哪壹位數。以下添加0.33333...用小數點對齊小數點不能保證上述標準，所以不可能加無限小數。既然不會加法，就沒有乘法。)
大家都知道1/3 = 0.333333...，兩邊同時乘以3得到1 = 0.999999...，但看起來很別扭，因為左邊有個“有限”的數，右邊有個“無限”的數。
10×0.999999…… —1×0.999999……=9=9×0.999999
∴0.999999=1
二、什麽是“無理數”？
我們知道，像根號2這樣的數是不可能用兩個整數的比值來表示的，它的每壹位都要經過不斷的計算才能確定，而且無窮無盡。這個無窮無盡的數字極大地違背了人們的思維習慣。
結合上面的壹些困難，人們迫切需要壹種思維方式來定義和研究這個“無窮無盡”的數，這就產生了數列極限的思想。
類似的根源還是在物理學(其實從科學發展的歷程來看，哲學才是真正的發展動力，但物理學起到了無可比擬的推動作用)，比如瞬時速度的問題。我們知道速度可以用位移差與時差的比值來表示，而如果時差趨於零，這個比值就是某壹時刻的瞬時速度，這就提出了壹個問題:求時差與位移差的比值，這個比值趨於無窮小，即0÷0，有意義嗎(這個意義指的是“分析”的意義，因為幾何意義相當直觀，就是這個點的切線斜率)？這也迫使人們對此發展出壹種理性的解釋，極限的觀念呼之欲出。
真正現代意義上的極限定義，壹般認為是當時的中學數學老師維爾斯特拉斯給出的，對我們今天的中學老師有意義。
幾種常用數列的極限
常數序列的極限是c。
An=1/n限制為0。
An = x n絕對值x小於1，極限為0。