在中國，把直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方的特性稱為勾股定理或畢達哥拉斯定理，也叫勾股定理或畢達哥拉斯定理。
定理:
如果直角三角形的兩個直角是A，B，斜邊是C，那麽A？+b？=c？；也就是說，直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方。
如果三角形的三條邊A、B、C滿足A ^ 2+B ^ 2 = C ^ 2，比如壹條直角邊為3，壹條直角邊為4，斜邊為3*3+4*4=X*X，X=5。那麽這個三角形就是直角三角形。(稱為勾股定理的逆定理)
來源:
畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹是壹個基本的幾何定理，傳統上認為是古希臘的畢達哥拉斯證明的。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，把壹百頭牛斬首以示慶祝，所以也叫“百牛定理”。在中國，《周快舒靜》記載了勾股定理的壹個特例，據傳是商代的商高發現的，所以也叫商高定理。三國時期的趙爽在《周髀算經》中對勾股定理做了詳細的註釋作為證明。法國和比利時叫驢橋定理，埃及叫埃及三角。在中國古代，直角三角形的較短的直角邊叫鉤，較長的直角邊叫弦，斜邊叫弦。
關於勾股定理的書籍
數學原理人民教育出版社
探索勾股定理同濟大學出版社
北京大學出版社:遊銀培教數學。
畢達哥拉斯模型新世紀出版社
書九章算術
《尤銀培揭示勾股定理》江西教育出版社
[編輯此段]最早的勾股定理
根據許多泥板記載，巴比倫人是世界上最早發現畢達哥拉斯定理的人。這只是壹個例子。比如公元前1700年，壹塊泥板上的第九題(編號BM85196)大意是“有壹根長5米的木梁(AB)垂直靠在墻上，上端(A)向下滑動壹米到D..下端(C)離墻根(B)有多遠？”他們用勾股定理解決了這個問題，如圖所示。
設AB = CD = L = 5m，BC=a，AD = H = 1m，BD = L-H = 5-1m = 4m。
∴a =√[l-(l-h)]= √[ 5-(5-1)]= 3m，∴三角形BDC是壹個有3、4、5條邊的扭曲三角形。
[編輯此段]周快舒靜簡介
綠色-朱訪問地圖
《周快Kuai經》是計算十書之壹。成書於公元前二世紀，原名《周解》，是中國最古老的天文著作，主要闡述了當時的遮天理論和四季歷方法。初唐時，它被規定為國子監的教材之壹，故改名為《周快》。《周易·suan經》在數學上的主要成就是引入了勾股定理及其在測量中的應用。原書並沒有證明勾股定理，但證明是由人趙爽在《周傳·勾股方註》中給出的。《周易·suan經》采用了相當復雜的分數算法和開平方法。對於勾股定理是這樣說的:“數法以壹個正方形為基礎，正方形以壹個矩為基礎，距離以9981為基礎，所以矩是折疊的，直角三角形的關系是兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方，(a*a)+(b*b)=(c*c)”
三角形是直角三角形，以鉤A為邊的正方形是朱芳，以鏈B為邊的正方形是方清。用盈余來彌補不足，把朱芳和方清合並成壹個方莉。根據它的面積關系，有a+b = C，因為朱芳和方清都在形而上學的壹邊，那部分不會動。
以鉤子為邊的正方形是朱芳，以繩子為邊的正方形是方清。以勝補不足，只要把圖中朱芳的I(a2)移動到I '，方清的II移動到II '，III移動到III '，妳就拼出壹個正方形(c2)了。以弦為邊長。由此可以證明a2+b2=c2。
[編輯此段]加菲爾德證明勾股定理的故事
1876壹個周末的傍晚，在華盛頓特區的郊外，壹個中年人正在散步，享受著傍晚的美景。他當時是俄亥俄州* * *和黨員加菲爾德。走著走著，他突然發現附近的壹個小石凳上，兩個孩子正全神貫註地談論著什麽，大聲爭吵著，小聲討論著。在好奇心的驅使下，加菲貓循著聲音來到兩個孩子身邊，想弄清楚兩個孩子在幹什麽。只見壹個小男孩俯下身，用樹枝在地上畫了壹個直角三角形。所以加菲爾德問他們在做什麽。小男孩頭也不擡地說:“請問先生，如果壹個直角三角形的兩個直角分別是3和4，那麽斜邊的長度是多少？”加菲貓回答:“是五。”小男孩又問:“如果兩個直角分別是5°和7°，那麽這個直角三角形的斜邊的長度是多少？”加菲爾德不假思索地回答:“斜邊的平方壹定等於5的平方加上7的平方。”小男孩說:“先生，妳能告訴我實話嗎？”加菲貓壹時語塞，無法解釋，很不開心。加菲爾德停止散步，立即回家討論小男孩給他的問題。經過反復思考和計算，他終於想通了道理，並給出了簡明的證明方法。
如下所示:
解法:在網格中，兩條直角邊的小正方形的面積之和等於兩條斜邊的正方形的面積。
勾股定理的內容:直角三角形的兩個直角A和B的平方和等於斜邊C的平方，
a^2+b^2=c^2
說明:中國古代學者把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“弦”，斜邊稱為“弦”，所以他們把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形各邊之間的關系。
比如壹個直角三角形的兩個直角分別為3和4，那麽斜邊C 2 = A 2+B 2 = 9+16 = 25，即c=5。
那麽斜邊就是5。
勾股定理的三種證明方法(下)
證明方法1(梅文鼎證明)
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為A和B，斜邊為c，做成如圖所示的多邊形，使D、E、F在壹條直線上。作為AC穿過C的延長線在p點與DF相交.
∫D，e，f在壹條直線上，rtδGEF≌rtδEBD，
∴ ∠EGF = ∠BED，
∫∠EGF+∠GEF = 90，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90，
∴ ∠BEG =180？―90?= 90?。
AB = BE = EG = GA = c，
Abeg是邊長為c的正方形。
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90？。
∫rtδABC≌rtδEBD，
∴ ∠ABC = ∠EBD。
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90？。
也就是∠CBD= 90？。
∵ ∠BDE = 90又來了？，∠BCP = 90？,
BC = BD = a。
BDPC是壹個邊長為100的正方形.
類似地，HPFG是壹個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為s，則
,
∴ .
證明方法二(向明達證明)
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊為a和b(b >；A)，斜邊長為C .然後做壹個邊長為C的正方形，把它們做成如圖所示的多邊形，使E，A，C在壹條直線上。
通過點q作為QP BC，在點p與AC相交
過b點為BM⊥PQ，垂足為m；再多壹點。
f是FN⊥PQ，豎腳是n
∫∠BCA = 90？，公元前QP
∴ ∠MPC = 90？,
* bm⊥pq，
∴ ∠BMP = 90？,
∴ BCPM是壹個矩形，即∠MBC = 90？。
∠∠QBM+∠MBA =∠QBA = 90？,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90？,
∴ ∠QBM = ∠ABC，
∵ ∠BMP = 90又來了？，∠BCA = 90？，BQ = BA = c，
∴rtδbmq≌rtδBCA。
同樣，rt δ qnf ≌ rt δ AEF也可以證明。
證明方法3(趙浩傑證明)
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊為a和b(b >；a)，斜邊是c .然後做壹個邊長為c的正方形，把它們放在壹起成如圖所示的多邊形。
分別以CF和AE為邊長制作正方形FCJI和AEIG，
∫EF = DF-DE = b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴ g，I和j在同壹直線上，
CJ = CF = a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90？,
∴rtδcjb rtδCFD，
同樣，rt δ abg ≌ rt δ ade，
∴rtδcjb≌rtδCFD≌rtδabg≌rtδade
∴∠ABG = ∠BCJ，
∠∠BCJ+∠CBJ = 90？,
∴∠ABG +∠CBJ= 90？,
∫∠ABC = 90？,
∴ g，b，I和j在同壹直線上，
證明4(歐幾裏德證明)
做邊長為A、B、C的三個正方形，擺成如圖所示的形狀，使H、C、B連成壹條直線。
BF，CD。超過c作為CL⊥DE，
AB相交於點m，DE相交於點。
長度
AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴δfab≌δgad，
∫δFAB的面積等於，
GAD的面積等於直角ADLM。
壹半的面積，
矩形ADLM =的∴面積。
同理，矩形MLEB的面積=。
ADEB廣場的面積
=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積
也就是∴。
【編輯此段】勾股定理的別名
勾股定理是幾何學中壹顆耀眼的明珠，被稱為“幾何學的基石”，在高等數學等學科中也有廣泛的應用。正因為如此，世界上的幾個古文明都被發現並被廣泛研究，所以有很多名字。
中國是發現和研究勾股定理最早的國家。中國古代數學家把直角三角形叫做勾股，直角邊短的叫勾，直角邊長的叫股，斜邊叫弦，所以勾股定理也叫勾股弦定理。公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答說“茍廣三、顧、吳”，意思是“茍三、顧四、”呈直角三角形。所以勾股定理在中國也被稱為“上高”。
在法國和比利時，勾股定理也被稱為“驢橋定理”。其他國家稱勾股定理為“平方定理”。
陳子死後壹百二十年，希臘著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱之為畢達哥拉斯定理。為了慶祝這個定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了壹百頭牛作為祭祀神靈的獎勵，所以這個定理也被稱為“百牛定理”。
[編輯本段]證明
這個定理的證明方法有很多種，證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。埃利薩·斯科特·盧米斯的畢達哥拉斯命題總是提到367種證明方式。
有些人會試圖用三角恒等式(如正弦和余弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但由於所有基本的三角恒等式都是基於勾股定理的，所以不能作為勾股定理的證明(見循環論證)。
利用相似三角形的證明方法
利用相似三角形的證明
勾股定理的證明方法有很多種，都是基於相似三角形兩個邊的長度之比。
設ABC為直角三角形，直角在角C處(見附圖)。從C點畫出三角形的高度，稱這個高度與AB H的交點，這個新的三角形ACH與原三角形ABC相似，因為兩個三角形都有壹個直角(這是由於“高度”的定義)，兩個三角形都有相同的角A，所以我們可以知道第三個角相等。同樣，三角形CBH和三角形ABC是相似的。這些相似的關系導出以下比率關系:
因為BC = A，AC = B，AB = C。
所以a/c = HB/a，b/c = ah/b。
可以寫成a*a=c*HB，b*b=C*AH。
結合這兩個方程，我們得到a* a+b * b = c * HB+c * ah = c *(h b+ah)= c * c。
換句話說:A * A+B * B = C * C。
[*]-是壹個乘法符號。
歐幾裏德證明
《幾何原本》中的證明
在歐幾裏得的《幾何原本》中，畢達哥拉斯定理被證明如下。設△ABC為直角三角形，其中A為直角。從A點到對面畫壹條直線，使它垂直於對面的正方形。這條線把對面的正方形壹分為二，它的面積等於另外兩個正方形。
在形式證明中，我們需要如下四個輔助定理:
如果兩個三角形有兩組對應的邊，並且兩組邊之間的角度相等，那麽這兩個三角形全等。(SAS定理)三角形的面積是任何底邊和高相同的平行四邊形面積的壹半。任何正方形的面積都等於它兩邊的乘積。任何正方形的面積都等於其兩邊的乘積(根據輔助定理3)。證明的概念是:把上面兩個正方形變換成兩個面積相等的平行四邊形，然後旋轉變換成下面兩個面積相等的矩形。
這被證明如下:
設△ABC為直角三角形，其直角為CAB。它的邊是BC，AB，CA，依次畫成四個方塊CBDE，巴夫，ACIH。畫出BD和CE與a點相交的平行線，這條線將分別在K和L點與BC和DE成直角相交。分別連接CF和AD，形成兩個三角形BCF和BDA。∠CAB和∠BAG是直角，所以C，A，G都是線性對應，B，A，H也可以用同樣的方法證明。∠CBD和∠FBA是直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為AB和BD分別等於FB和BC，△ABD必然等於△FBC。因為A與K和L線性對應，所以BDLK的平方必須是△ABD的兩倍。因為C、A和G共線，所以BAGF的平方必須是△FBC面積的兩倍。所以四邊形BDLK壹定有相同的面積BAGF = AB？。同樣，四邊形的面積也必須相等ACIH = AC？。把這兩個結果加起來，AB？+ AC？= BD×BK+KL×KC既然BD=KL，BD×BK+KL×KC = BD(BK+KC) = BD×BC既然CBDE是正方形，AB？+ AC？= C？。這個證明是在歐幾裏得的《幾何原本》第1.47節提出的。