圓周率的計算過程
韓薛濤
圓周率是壹個非常著名的數字。自從有文字記載以來，這個數字引起了外行人和學者的興趣。圓周率作為壹個非常重要的常數，最初是用來解決圓的計算問題的。基於此，盡可能準確地得到其近似值是壹個極其迫切的問題。事實也是如此。幾千年來，古今中外的數學家們都為這壹目標傾註了智慧和勞動。回顧歷史，人類認識π的過程反映了數學和計算技術發展的壹個側面。對π的研究在壹定程度上反映了這個地區或時代的數學水平。德國數學史家康托爾說:“歷史上壹個國家計算圓周率的精度，可以作為衡量這個國家當時數學發展水平的指標。”直到19世紀初，求圓周率的值應該說是數學上的頭號難題為了得到圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，其歷史是有趣的。我們可以把這個計算過程分為幾個階段。
實驗時間
通過實驗估算π的值，這是計算π的第壹步。這種對π值的估計基本上是基於觀察或實驗，是基於對壹個圓的周長和直徑的實際測量。在古代世界中，π = 3這個值實際上使用了很長時間。最早的文字記錄是基督教《聖經》中的壹章，在這壹章中圓周率被認為是3。這段描述的事件發生在公元前950年左右。其他國家，如巴比倫尼亞、印度、中國等。，早就用上了3的粗糙，簡單，實用的價值。在我國劉徽之前，“圓直徑壹和星期三”廣為流傳。中國第壹部武學著作《舒靜周篇》中記載了“周三圓直徑為壹”的結論。在我國，木匠有兩個傳世的公式:叫做:“三周直徑為壹，正方形為五，斜七”，意思是直徑為1的圓是周長約為3，邊長為5的正方形，對角線長約為7。這反映了早期人們對π和√2這兩個無理數的粗略估計。東漢時期，政府還明確規定圓周率應以3為計算面積的標準。後來人們稱之為“古率”。
早期的人們也使用其他粗糙的方法。比如在古埃及和古希臘，把谷粒放在壹個圓上，通過比較谷粒的數量和正方形的數量得出數值。或者用平衡重量板把它鋸成壹個圓和壹個正方形，通過稱重來比較數值...因此，可以獲得稍微好壹點的pi值。比如古埃及人用4 (8/9)2 = 3.1605，用了大約四千年。在印度，公元前6世紀，π= √10 = 3.162。中國東西漢之交，新朝王莽命劉欣做壹個量器——呂佳兩湖。劉鑫在制造標準容器的過程中需要用到圓周率的值。為此，他還通過做實驗得到了壹些關於圓周率的非均勻近似。現在根據銘文計算出來的數值分別是3.1547，3.1992，3.1498，3.438+0，比古代的壹周三周率有所提高。人類勘探的結果，在主要估算圓田面積時，對生產影響不大，但不適合制作器皿或其他計算。
幾何方法周期
通過直觀推測或物理測量計算π值的實驗方法相當粗糙。
首先，阿基米德使圓周率的計算有了科學依據。他是第壹個對這個常數進行科學研究的人，他首先提出了壹種方法，可以通過數學過程而不是測量的方式，使π的值精確到任意精度。於是，pi計算的第二階段開始了。
圓的周長大於內接正四邊形，小於外切正四邊形，所以2 √ 2 < π < 4。
當然，這是壹個很糟糕的例子。據說阿基米德用壹個正96邊形來計算他的射程。
阿基米德尋找圓周率更精確近似值的方法體現在他的壹篇論文《圓的確定》中。在這本書中，阿基米德第壹次用上下界來確定π的近似值。他用幾何證明了“圓的周長與圓的直徑之比小於3+(1/7)大於3+(10/71)”，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法理論上可以得到更準確的圓周率值。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密已經得出π = 3.1416，這是自阿基米德以來的巨大進步。
包皮環切。不斷用勾股定理計算正N邊形的邊長。
在中國，數學家劉徽首先得到了更精確的圓周率。公元263年左右，劉徽提出了著名的割線術，得到π = 3.14，通常稱為“徽率”。他指出這是壹個近似值。雖然他提出割圓比阿基米德晚，但它的方法確實比阿基米德的方法更美。環切只是利用內接正多邊形來確定圓周率的上下界，比阿基米德同時利用內接正多邊形和外切正多邊形要簡單得多。另外，也有人認為劉輝在割圓術中提供了精彩的整理方法，以至於他通過簡單加權平均得到了pi = 3927/1250 = 3.1416有四位有效數字。而這個結果，正如劉輝自己指出的，如果這個結果是通過圓切割的計算得到的，需要切割成3072個多邊形。這種整理方法的效果非常好。這種神奇的精加工技術是圈切最精彩的部分，可惜因為人們對它缺乏了解，它被埋沒了很久。
祖沖之的貢獻恐怕妳更熟悉。對此，《隋書法紀》的記載是這樣記載的:“宋末，南徐州搞祖沖之更秘法。以圓直徑壹億為高，周向豐數為三尺、壹尺、四寸、壹分、五毫米、九秒、七秒，以及三尺、壹尺、四寸、五毫米、九毫米、兩秒、六秒，正數介於余數和兩個極限之間。密度:圓直徑113，周長355。關於率，圓直徑七，星期二十二。”
該記載指出，祖沖之對《圓周率》有兩大貢獻。壹是求圓周率。
3.1415926 < π < 3.1415927
其次，得到π的兩個近似分數:近似率為22/7；加密率為355/113。
他計算出的π的8位可靠數字，不僅是當時最精確的圓周率，而且保持了900多年的世界紀錄。以至於有數學史家提議把這個結果命名為“祖先率”。
這個結果是怎麽來的？追根溯源，祖沖之能取得這壹非凡的成就，正是基於對劉徽割線技法的繼承和發展。所以，我們在贊美祖沖之成就的時候，不要忘記，他的成就是因為站在了劉徽這位偉大的數學人的肩膀上而取得的。後人估算過，如果簡單的通過計算內接於圓的多邊形的邊長得到這個結果，那麽就需要計算內接於圓的多邊形才能得到這麽精確的值。祖沖之有沒有用其他巧妙的方法來簡化計算？這個不得而知，因為記錄其研究成果的《篆書》早已失傳。這是中國數學發展史上非常令人遺憾的事情。
中國發行的祖沖之紀念郵票
祖沖之的研究成果享譽世界:“發現宮”科學博物館的墻上介紹著祖沖之獲得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌著祖沖之的大理石雕像，月球上有以祖沖之命名的環形山...
人們通常不太註意祖沖之關於π的第二個貢獻，即他用兩個簡單的分數，尤其是密度來近似π。然而，其實後者在數學上更重要。
密度和π之間的近似度不錯，但形式簡潔美觀，只用了1，3，5這幾個數字。數學史家梁宗舉教授考證，在所有分母小於16604的分數中，沒有比密度更接近π的分數。在國外，西方人得到這個結果是在祖沖之死後壹千多年。
可見，提出保密率並不容易。人們自然想知道他是怎麽得到這個結果的。他是怎麽把圓周率從壹個用小數表示的近似值變成壹個近似分數的？這個問題壹直為數學史家所關註。因文獻失傳，祖沖之解不詳。後人對此進行了各種各樣的推測。
我們先來看看國外歷史上的作品，希望能提供壹些資料。
1573年，德國人奧托得出了這個結果。他用了阿基米德的結果22/7和托勒密的結果377/120，類似於加法過程的“合成”:(377-22)/(120-7)= 355/113。
1585年，荷蘭人安圖奧尼用阿基米德的方法得到:333/106 < π < 377/120，並把它們作為π的母逼近，分子和分母分別平均，用加法過程得到結果:3 ((15+65438)。
雖然兩人都得到了祖沖之秘息，但使用方法都是耦合，沒什麽道理可言。
在日本國內，17世紀-何的重要著作《圍合的算法》第四卷，創立了化零術，其實質是用加法過程求近似分數。他以3和4為母近似值，連續加六次得到祖沖之的近似率，加壹百壹十二次得到秘密率。學生們改進了這種愚蠢的分步方法，提出了從相鄰的虧和盈的近似值相加的方法(其實就是我們前面說的加法過程)。從3和4開始，第六次加法到近似率，第七次加法是25/8，最接近的22/7加法是47/15，以此類推，只要加23次。
在《中國算術史》(1931)中，錢宗炎先生提出祖沖之采用“日本調整法”或加權加法過程，由何承天首創。他構思了祖沖之秘率的過程:以157/50的徽率和22/7的近似率為母近似，計算出加法權重x=9，所以(157+22×9)/(50+7×9)= 355/1658。錢先生道:“承天之後，用其技造秘率，也有趣。”
另壹種猜測是使用連分數法。
因為求兩個自然數的最大公約數的多相減法技術自從《九章算術》出版以來壹直很流行，用這個工具求近似分數應該是很自然的。於是有人建議祖沖之在找到剩余的二進制數後，或許可以使用這個工具，把3.14159265表示成壹個連分式，得到它的漸近分數:3，22/7，333/106，355/113655。
最後取精度高但分子分母小的355/113作為圓周率的近似值。至於上面圓周率的漸近分數的具體解法，這裏就省略了。妳不妨用我們前面介紹的方法自己去問。英國的李約瑟博士持這種觀點。他在《中國科學技術史》第19章幾何編中談到祖沖之的秘率時說:“秘率的分數是壹個連分式漸近數，所以是壹個非凡的成就。”
讓我們回顧壹下國外取得的成就。
1150年，印度數學家巴什加羅第二次計算出π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞的天文學家、數學家卡西寫出了《圓的理論》，計算了3× 228 = 805，306，368條邊內接外切的正多邊形的周長，並求出了π值。他的結果是:
π=3.14159265358979325
有十七個準確的數字。這是外國第壹次打破祖沖之的記錄。
16世紀法國數學家吠陀用阿基米德法計算π近似值，用6×216正多邊形計算π值，精確到小數點後9位。他仍然采用阿基米德的方法，但大衛有壹個比阿基米德更先進的工具:十進制位置系統。17世紀初，德國人魯道夫幾乎用了壹生的時間研究這個問題。他還將新的十進制與早期的阿基米德方法結合起來，但他並不是從壹個正六邊形開始，把它的邊數增加壹倍。他從壹個正方形開始，壹直推導出壹個有262條邊的正多邊形，大約4610000000000000000000000000000！這樣就算出了35位小數。為了紀念他的非凡成就，德國人把圓周率稱為“魯道夫號”。但是用幾何方法求其值需要大量的計算。這樣計算下去，窮數學家的生活也不會有太大改善。到了魯道夫，可以說是登峰造極，經典方法引導數學家走遠了。要前進，必須在方法上有所突破。
數學分析出現在17世紀，這個利器解決了初等數學中很多無奈的問題。π的計算歷史也進入了壹個新的階段。
分析周期
這壹時期，人們開始擺脫復雜的多邊形周長計算，用無窮級數或無窮連積來計算π。
1593，大衛給了
這個不尋常的公式是π最早的解析表達式。即使在今天，我們仍然對這個公式的美麗感到驚訝。說明π值只需用數字2就可以通過壹系列的加、乘、除、開平方計算出來。
然後各種各樣的表情出現了。如沃利斯1650所述:
1706年，麥金建立了壹個重要的公式，現在以他的名字命名:
利用分析中的級數展開，他計算到小數點後100位數。
這種方法比可憐的魯道夫花了大半輩子挖掘出來的35位十進制方法簡單多了。顯然，級數方法宣告了古典方法的過時。從此，圓周率的計算就像壹場馬拉松比賽，記錄了壹個又壹個:
在1844中，閆蕓蕓使用了公式:
數到200。
19世紀以後，類似的公式不斷湧現，π位數也迅速增加。1873年，謝可利用麥金的壹系列方法和級數公式計算π到小數點後707位。他花了20年時間才獲得這個前所未有的記錄。他死後，人們將這壹凝聚了他畢生心血的價值刻在他的墓碑上，以頌揚他頑強的意誌和毅力。於是他在自己的墓碑上留下了壹生努力的結晶:π小數點後707位。這個驚人的結果成為了接下來74年的標準。接下來的半個世紀，人們對他的計算深信不疑，或者說即使懷疑也沒有辦法去檢驗它是否正確。以至於在1937年巴黎世博會發現廳的院子裏，他算出的π值還醒目地鐫刻著。
若幹年後，數學家弗格森對他的計算結果產生了懷疑。他的懷疑是基於以下猜想:在π的值中，雖然沒有規律可循，但每個數出現的幾率應該是相同的。當他統計棚屋的結果時，他發現數字顯得太不均衡了。所以懷疑是錯誤的。他用當時能找到的最先進的計算工具，從5月1944到5月1945，算了整整壹年。1946，弗格森發現第528位錯了(應該是4，但錯了應該是5)。謝思科價值100多已經全部壹筆勾銷，徹底壹筆勾銷了可憐的謝思科和他浪費的十五年時光。
對此，曾有人嘲笑他說:數學史除了記載阿基米德、費馬等人的著作，還會擠出壹兩行文字來描述1873年前謝可計算π到小數點後707位的事實。這樣他可能會覺得自己的人生沒有虛度。如果是這樣，他的目的就達到了。
對於這些在地球各個角落不懈努力的人，人們感到不可理解可能是正常的。然而，對於這壹點的嘲諷太過殘酷。人的能力是不壹樣的，不能要求每個人都像費馬和高斯壹樣。但不能成為偉大的數學家，並不意味著我們不能為這個社會做出自己有限的貢獻。每個人都有自己的長處。作為壹個精力充沛的計算器，謝思科願意把大半輩子的時間都無償地投入到這項工作中，最終為世界的知識寶庫添上壹磚壹瓦。難道我們不應該被他的不懈努力所感染，從中得到壹些啟發和教育嗎？
1948 65438+10月弗格森和朗奇發表了有808個正確小數的π。這是人工計算π的最高記錄。
計算機時代
1946年，世界上第壹臺計算機ENIAC制造成功，標誌著人類歷史上計算機時代的開始。計算機的出現導致了計算領域的壹場根本性革命。1949年，ENIAC根據Machin公式計算到2035 (2037)位小數，包括準備和排序時間在內，只用了70個小時。隨著計算機的快速發展，它們的記錄經常被打破。
ENIAC:壹個時代的開始
1973年，有人將圓周率計算到小數點後100位，並將結果印成200頁厚的書，這是世界上最無聊的書。1989突破1億大關，1995 6月突破64億。9月30日，1999，Abstracts報道，東京大學教授金田康正(Yasumasa Kanada)得到了20665438+5843百萬的十進制數值。如果把這些數字印在A4大小的復印紙上，每頁印20000個數字，那麽這些紙堆起來會有500-600米。來自最新報道:金田康正(Yasumasa Kanada)用超級計算機計算出圓周率小數點後12411億位的位數，改寫了自己兩年前創下的紀錄。據悉，金田教授與日立公司的員工合作，使用了目前計算能力排名世界第26位的超級計算機，並使用了新的計算方法。計算這些新數字花了400多個小時，比他在1999年9月計算的2611個小數位多了6倍。圓周率小數點後第壹萬億位是兩位，第壹萬億位是五位。如果每秒讀壹個數字，大概需要4萬年才能讀完。
不過，現在破紀錄也不會特別意外，不管先進多少位。其實把π的值算的太準實際意義不大。現代科技用的十幾個π值就夠了。如果用魯道夫小數點後35位的π值來計算可以環繞太陽系的圓的周長，誤差不到質子直徑的百萬分之壹。我們還可以引用美國天文學家西蒙·紐康的話來說明這種計算的實用價值:
“小數點後十位足以讓地球的周長精確到壹英寸以內，小數點後三十位可以讓整個可見宇宙的周長精確到壹個連最強大的顯微鏡都分辨不出的量。”
那麽為什麽數學家會像登山運動員壹樣，努力向上攀登，不斷尋求而不是停止對π的探索呢？為什麽它的十進制數值如此吸引人？
大概有人類的好奇心和超前他人的心態，但也有很多其他原因。
奔騰與圓周率的奇妙關系...
1，現在可以用來測試或考察超級計算機的性能，尤其是運算速度和計算過程的穩定性。這對計算機本身的改進至關重要。就在幾年前，英特爾推出奔騰的時候，發現它有點小問題，是通過運行π計算發現的。這也是超高精度π計算在今天仍然具有重要意義的原因之壹。
2.計算的方法和思路可以引出新的概念和思路。雖然計算機的運算速度超出了任何人的想象，但數學家仍然需要編寫程序來指導計算機正確運行。其實確切的說，當我們把π的計算歷史劃分為壹個電子計算機時期，這並不意味著計算方法的改進，而只是計算工具的壹次大的飛躍。因此，如何改進計算技術，研究更好的計算公式，使公式收斂更快，很快達到更大的精度，仍然是數學家面臨的重要課題。在這方面，本世紀印度的天才數學家Ramanuyan取得了壹些不錯的成果。他發現了很多可以快速準確計算π近似的公式。他的見解開啟了更有效計算π近似的思路。現在計算機計算π值的公式就是他得出的。至於這位傳奇數學家的故事，我們不想在這本小書裏介紹。但是，我希望大家能明白，π的故事講的是人類的勝利，而不是機器的勝利。
3.關於π的計算的另壹個問題是:我們可以無限地繼續計算嗎？答案是:不會！根據Judarovsky的估計，我們最多能數出1077。雖然我們離這個極限還很遠，但畢竟是壹個邊界。為了不受這個限制的束縛，需要在計算理論上有新的突破。上面說的計算，不管用什麽公式，都要從頭計算。壹旦前面某個數字出錯，後面的值就完全沒有意義了。還記得令人遺憾的沙克斯嗎？他是歷史上最慘痛的教訓。
4.所以，有人想，有沒有可能從頭開始，而是從中間開始？這個基本思想就是找到並行算法公式。1996，終於找到了圓周率的並行算法公式，但它是16的公式，所以很容易得到1000億比特的值，但它只有16。是否存在10的並行計算公式，仍然是未來數學的壹大難題。
5.作為壹個無窮序列，數學家們感興趣的是將π擴展到數億比特，這樣可以提供足夠的數據來驗證人們提出的壹些理論問題，發現許多迷人的性質。比如π的十進制，有10個數，哪些是稀疏的，哪些是密集的？在π的數字展開中，有些數字會比其他數字出現得更頻繁嗎？也許它們不是完全隨機的？這個想法並不無聊。只有頭腦敏銳的人才會問這種看似簡單的問題，很多人習慣了卻不屑於問。
6.數學家弗格森最早有這個猜想:在π的數值公式中，每個數出現的概率是相同的。正是他的猜想，為發現和糾正考克斯計算π值的錯誤做出了巨大貢獻。但是，猜想不等於現實。弗格森想測試壹下，但他無能為力。後人也想驗證，但也苦於已知π值位數太少。即使位數太少，人們也有理由懷疑猜測的正確性。例如，數字0很少出現在開頭。前50位只有1個零，最早出現在32位。但這種現象隨著數據的增加很快改變了:100位內有8個零；200位以內有19個零；.....10萬位數內有999440個零；.....60億位數內有599，963，005個零，差不多占65，438+0/65，438+00。
其他數字呢？結果顯示每壹個差不多都是1/10，有的多有的少。雖然有壹些偏差，但都在1/10000以內。
7.人們還是想知道:π的數字擴張真的沒有壹定的模式嗎？我們希望通過研究十進制展開式中數字的統計分布，找到任何可能的模型——如果有這樣的模型，目前為止還沒有找到。同時我們也想知道:π的展開是否包含無限的風格變化？或者說，會不會出現任何形式的數字排列？著名數學家希爾伯特曾在他未發表的筆記本中提出如下問題:π的十個級數中有10個9相連嗎？從現在算出來的60億數字來看，已經出現了:六個連續的9連在壹起。希爾伯特問題的答案似乎是肯定的。似乎任何數字的排列都應該出現，只是什麽時候。但它需要更多的π位數來提供切實的證據。
8.在這方面，有以下統計結果:60億數字中出現了8個8；九個七；10 6;從小數位710150和3204765開始，連續有七個3；14142135這八個數字從小數點52638開始連續出現，正好是前八位；從小數點後第2747956位開始，出現了有趣的序列876543210，可惜前面少了壹個9。還有壹個比較有意思的系列123456789。
如果繼續數下去，似乎可能會出現各種類型的數值列組合。
變化:π的其他計算方法
在1777出版的《概率算術實驗》壹書中，布豐提出用實驗方法計算π。這個實驗方法的操作很簡單:找壹根粗細均勻、長度為D的細針，在壹張白紙上畫壹組間隔為L的平行線(為方便起見，常取l = d/2)，然後將小針壹次又壹次地隨意扔在白紙上。如此反復多次，統計出針與任意平行線相交的次數，就可以得到π的近似值。因為布馮自己證明了針與任意平行線相交的概率為p = 2l/π d .利用這個公式，可以用概率的方法求出圓周率的近似值。在壹次實驗中，他選擇l = d/2，然後把針放2212次，其中針穿過平行線704次，這樣圓周率的近似值為2212/704 = 3.142。當實驗次數相當多時，可以得到更精確的π值。
在1850中，壹個叫Wolff的人在投了5000多次後得到了壹個近似值3.1596。目前聲稱用這種方法得到最好結果的是意大利人拉斯利尼。在1901，他重復實驗，做了3408次註射。π的近似值是3.1415929，精確到讓很多人懷疑他實驗的真實性。比如美國猶他州奧格登國立韋伯大學的L Badger就對此提出了強烈質疑。
但是，布豐實驗的重要性並不在於得到比其他方法更精確的π值。布馮針問題的重要性在於，它是第壹個用幾何形式表達概率問題的例子。這種計算π的方法不僅因其新穎、奇妙而令人驚嘆，而且開創了用隨機數處理確定性數學問題的先河，是用偶然性方法解決確定性計算的先行者。
在用概率方法計算π值時，還需要提到的是，R Chatter在1904中發現，兩個隨機書寫的數互質的概率是6/π 2。1995年4月，英國《自然》雜誌發表了壹篇文章，介紹了英國伯明翰阿斯頓大學計算機科學與應用數學系的羅伯特·馬修斯如何利用夜空中亮星的分布來計算圓周率。馬修斯從100顆最亮的恒星中隨機選取壹對又壹對，分析計算它們位置之間的角距離。他查了654.38+0萬對因子，以此為基礎，π的值約為3.654.38+02772。該值與真實值的相對誤差小於5%。
無限神秘:紀梵希男士香水π。廣告詞是:探索圓周率，探索宇宙。
π是通過幾何、微積分、概率等廣泛渠道發現的，充分顯示了數學方法的奇異之美。π竟然會和這種看似不相關的實驗交流，真的很讓人驚訝。