壹、中國古代數學的萌芽在原始公社末期，私有制和物品交換出現後，數和形的概念得到了進壹步的發展。仰韶文化時期出土的陶器上已經刻有代表1234的符號。到原始公社末期，書寫符號已經開始取代打結的筆記。
Xi安半坡出土的陶器，有1 ~ 8個圓點組成的等邊三角形，有100個小方塊分成正方形的圖案。半坡遺址的房屋都是圓形和方形的。為了畫圓和確定直線度，人們還創造了尺子、矩、尺、繩等繪圖和測量工具。據《史記·夏本紀》記載，於霞在治水中使用了這些工具。
商代中期，甲骨文中已經產生了壹套十進制數字和記數法，最大的有三萬；同時，殷人用十天幹、十二地支組成甲子、野醜、丙寅、丁卯等60個名稱來記錄60天的日期。到了周代，以前用陰陽符號組成的八卦來表示八種事物，發展到六十四卦，代表六十四種事物。
公元前1世紀的《並行計算》壹書提到了西周初期用矩量高、深、寬、距的方法，並列舉了壹些例子，如鉤三、股四、弦五、環矩可以是圓。《禮記》中提到，西周的貴族子弟從九歲起就要學習數字和計數方法，還要接受禮樂、射術、控術、寫字、計數等方面的訓練。作為“六藝”之壹的數，已經開始成為壹門專門的課程。
春秋戰國時期，計算已被廣泛使用，並使用了十進制記數法，這對世界數學的發展具有劃時代的意義。這壹時期，計量數學在生產中得到廣泛應用，數學也相應得到提高。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是正名之爭和壹些命題都與數學直接相關。著名專家認為，名詞的抽象概念不同於它們原來的實體。他們提出“矩不可方，則規不可圓”，將“大壹”(無窮大)定義為“最大之外無”，將“小壹”(無窮小)定義為“最小之內無”。他還提出了“壹尺之值，每日取半，取之不盡”等主張。
墨家則認為名來源於物，名可以從不同的側面和深度反映事物。墨家給出了壹些數學定義。如圓、方、平、直、次(切)、端(點)等。
墨家不同意“壹尺”的命題，提出“非半”的命題來反駁:如果壹條線段無限地分成兩半，就會有壹個不能再分的“非半”，這個“非半”就是壹個點。
著名學者的命題論述了有限的長度可以分成壹個無限的序列，而墨家的命題則指出了這種無限劃分的變化和結果。著名學者和墨家關於數學定義和命題的討論，對中國古代數學理論的發展具有重要意義。
二、中國古代數學體系的形成
秦漢時期是封建社會的上升期，經濟和文化都發展迅速。中國古代數學體系形成於這壹時期，其主要標誌是算術成為壹門專門學科，以《九章算術》為代表的數學著作的出現。
《九章算術》是對戰國秦漢封建社會建立和鞏固時期數學發展的總結。就其數學成就而言，堪稱世界著名的數學著作。比如四分法的運算，現在的技巧(西方稱之為三率法)，平方根和平方根(包括二次方程的數值解法)，余缺技巧(西方稱之為二重解法)，面積和體積的各種公式，線性方程組的求解，正負數的加減原理，勾股解法(尤其是勾股定理和求勾股數的方法)等等都是很高的水平。其中方程的求解和正負數的加減在世界數學發展中遙遙領先。就其特點而言，它形成了壹個以計算為中心的獨立體系，與古希臘數學完全不同。
《九章算術》有幾個顯著特點:采用按類別分章節的數學習題集形式；公式都是從計數法發展而來的；主要是算術和代數，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論解釋等。
秦漢時期強調數學的應用。《九章算術》成書於東漢初年，排除了戰國時期著名學者和墨家註重名詞定義和邏輯的討論，側重於與當時生產生活緊密結合的數學問題及其解答。
《九章算術》在隋唐時期流傳到朝鮮和日本，成為當時這些國家的數學教科書。它的壹些成果，如十進制數值體系、現代技能、剩余技能等等，也傳到了印度和阿拉伯，並通過印度和阿拉伯傳到了歐洲，促進了世界數學的發展。
三、中國古代數學的發展
魏晉時期出現的玄學，漢代不受經學束縛，思想活躍。它能辯能勝，能運用邏輯思維，分析道理，這些都有利於從理論上提高數學。這壹時期，吳國趙雙註《周會書》，漢末魏初徐悅註《九章算術》，魏晉之際劉徽註《九章算術》，都出現了《九章重差圖》。趙爽和劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。
趙爽是中國古代最早證明和推導數學定理和公式的數學家之壹。他在《周篇·舒靜》壹書中補充的《畢達哥拉斯方格圖及註釋》和《每日高度圖及註釋》是非常重要的數學文獻。在《勾股方圖及註記》中，他提出了用弦圖證明勾股定理和勾股形狀的五個公式；在《日出圖記》中，他用圖形面積證明了漢代廣泛使用的重量差公式。趙爽的工作具有開創性，對中國古代數學的發展起到了重要作用。
與趙爽同時代的劉繼承和發展了戰國時期名家和墨家的思想，主張對壹些數學術語，特別是重要的數學概念進行嚴格的定義。他認為，數學知識必須被“分析”，才能使數學著作簡潔、緊密並有益於讀者。他的《九章算術註》不僅從總體上對九章算術的方法、公式、定理進行了解釋和推導，而且在討論過程中得到了很大的發展。劉輝創造了割線，利用極限的思想證明了圓的面積公式，首次用理論方法計算出圓周率為157/50和3927/1250。
劉輝用無窮除法證明了直角方錐與直角四面體的體積比始終為2:1，解決了壹般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、錐臺體積時，劉輝提出了完整求解球體體積的正確方法。
東晉以後，中國長期處於戰亂和南北分裂的狀態。祖沖之父子的工作是經濟文化南移後華南數學發展的代表作。他們在劉徽《九章算術註》的基礎上，極大地推進了傳統數學。他們的數學工作主要有:計算3.1415926 ~ 3.1415927之間的圓周率；提出祖杵原則；提出了二次和三次方程的解法。
想必祖沖之是在劉輝割線法的基礎上，計算了正多邊形6144與正多邊形12288內接的圓的面積，從而得出了這個結果。他還用新的方法得到了圓周率的兩個分數值，即22/7的近似比和355/113的密度比。祖沖之的工作讓中國在圓周率的計算上領先西方壹千年左右。
祖沖之子祖宣總結了劉徽的相關工作，提出“勢同，積不異”，即兩個高度相同的立體，若任壹高度的水平截面積相等，則兩個立體的體積相等，這就是著名的祖宣公理。祖宣應用這壹公理解決了劉徽未解的球形體積公式。
楊迪大帝的偉大建設客觀上促進了數學的發展。唐初王曉諭《吉谷舒靜》主要論述土木工程中的土方計算、分工、倉庫、地窖的驗收與計算，反映了這壹時期的數學狀況。王曉桐在不使用數學符號的情況下建立了數的三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為後來天道藝術的建立奠定了基礎。另外，對於傳統的畢達哥拉斯解，王曉彤也用了數字三次方程來求解。
初唐統治者繼承隋制，於656年在國子監設立算術館，設有算術博士和助教，學生30人。太史令李編註的十種算術經典，作為算術館學生的教材，也作為考明算術的依據。李、等編著的《算經十書》在保存數學經典著作和為數學研究提供文獻資料方面具有重要意義。他們對《周篇·Suan經》、《九章算術》和《海島suan經》的註釋，對讀者有所幫助。隋唐時期，由於歷法的需要，天體數學家創造了二次函數插值法，豐富了中國古代數學的內容。
計算和編制是中國古代主要的計算工具。它具有簡單、形象、具體的優點，但也存在編制占用面積大、運算速度加快時處理不當導致錯誤等缺點。所以改革很早就進行了。其中太乙算、二米算、三才算、珠算都是帶珠槽珠算，是技術上的重要改革。特別是“珠算”繼承了計算五升和小數位的優點，克服了計算縱橫數和準備不方便的缺點，其優勢非常明顯。但是那時候乘除算法不能連續進行。算盤珠還沒戴過，不方便攜帶，所以還是沒有廣泛使用。
中唐以後，商業的繁榮和數字計算的增多，迫切要求計算方法的改革。從《新唐書》等文獻留下的書單可以看出，這次算法改革主要是簡化乘除算法。唐朝的算法改革，使乘除法可以連排運算，既適合計算，也適合珠算。
第四，中國古代數學的繁榮
960年，北宋的建立結束了五代十國的割據局面。北宋的農業、手工業和商業空前繁榮，科學技術突飛猛進。火藥、指南針和印刷術三大發明在這種經濟高速增長的形勢下被廣泛應用。1084年，秘書部第壹次印刷出版了《算經十書》，1213年，鮑幹之再版。這些都為數學的發展創造了良好的條件。
在公元11至14世紀的300年間，出現了壹批著名的數學家和數學著作，如賈憲的《黃帝算術精草九章》、的《古根論》、的《九章算書》、的《測海鏡圓》和《易古衍斷》等。
從平方根、平方根到平方根是認識上的四次以上的飛躍，實現這種飛躍的是賈憲。楊輝在《九章算法匯編》中收錄了賈憲的《乘法開平法》和《乘法開方法》。《九章算法詳解》中載有賈憲的《制根源流》、《增乘求賤草》和用增乘開四次方的例子。根據這些記載，可以確定賈憲發現的二項式系數表，並創造了增、乘、開的方法。這兩項成果對整個宋元數學產生了重大影響，其中賈仙三角的提出比西方的帕斯卡三角早了600多年。
是劉壹把增乘開的方法推廣到數字高階方程的求解(包括負系數的情況)。在《楊輝算法》卷“場與Mu的乘、除、比的快速方法”中，介紹了原書中的22個二次方程和1個四次方程，後者是最早的用增、乘、開方法求解高次方程的例子。
秦是解高次方程的高手。他收集了265，438+0道(最高數為65，438+00)用增、乘、開的方法解高次方程的問題。為了適應乘法、乘法、開方法的計算程序，九韶將常數項定義為負數，並將高次方程的解分成各種類型。當方程的根為非整數時，秦繼續求根的小數，或者用約化根變換方程的各次冪的系數之和作為分母，常數作為分子來表示根的非整數部分，這是對《九章算術》和劉徽註中處理無理數方法的發展。在求根的第二位時，秦還提出了以第壹項的系數除以常數項為基礎的第二位試錯法，比西方最早的霍納法早了500多年。
元代天文學家王勛、郭守敬等解決了授時歷法中的三次函數插值問題。秦在《作曲推星》題目中提到了插值方法，朱世傑在《四鑒》中提到了“如象招數”的題目(他們稱之為“呼差”)，朱世傑得到了壹個四次函數的插值公式。
用天元(相當於X)作為未知數的符號，建立高次方程，古代稱之為天元術。這是中國數學史上第壹次引入符號，用符號運算來解決建立高次方程的問題。現存最早的天體藝術作品是葉莉的《測圓海鏡》。
將天球術推廣到二元、三元、四元的高階聯立方程組，是宋元數學家的又壹傑出創造。流傳至今的是朱世傑的《思源遇見》，系統論述了這壹傑出的創作。
朱世傑的高階四元素聯立方程表示法是在天體理論的基礎上發展起來的。他把常數放在中央，四個元素的冪放在四個方向:上、下、左、右，其他的放在四個象限。朱世傑最大的貢獻是提出了四元素消去法。方法是選取壹個元素作為未知量，用其他元素組成的多項式作為這個未知量的系數，然後列出壹個元素的幾個高階方程，再用互乘消元的方法逐步消去未知量。重復這壹步，就可以排除其他的未知數，最後用增乘開的方法就可以得到解。這是線性方法群解法的重要發展，比西方同類方法早400多年。
畢達哥拉斯解在宋元時期有了新的發展。朱世傑在《算術啟蒙》卷下提出了已知的勾股和、弦和、勾股式的求解方法，補充了《九章算術》的不足。葉莉在《測圓海鏡》中對畢達哥拉斯包含進行了細致的研究，得出了九個包含公式，極大地豐富了中國古代幾何的內容。
知道太陽從冬季至日運行到春分時黃道與赤道的夾角和黃道後弧，求解球面直角三角形是壹個問題。傳統的歷法都是用內插法計算的。到了元代，王勛、郭守敬等人用傳統的畢達哥拉斯方法解決了這個問題，沈括則用了會圓、天元的技巧。但他們得到的是壹個近似的公式，結果不夠準確。但是他們的整個計算步驟都是正確的。在數學意義上，這種方法開辟了球面三角學的途徑。
中國古代計算技術改革的高潮也出現在宋元時期。宋、元、明三代的歷史文獻中包含了大量這壹時期的實用算術書目，遠多於唐代。改革的主要內容仍然是乘除法。在算法改革的同時，穿珠算盤可能在北宋就已經出現。但是，如果把現代的珠算看作既是壹種穿心珠算，又是壹套完善的算法和公式的話，應該說是在元代才最終完成的。
宋元數學家都不同程度地反對理學的象數神秘主義。秦雖曾主張數道同源，但他後來認識到，沒有“通神”的數學，只有“管萬物”的數學；在《思源遇見序》中，莫若提出了“以虛像為真，以虛問真”的思想，代表了壹種高度抽象的思維方法；楊輝研究縱橫圖的結構，揭示洛書的本質，強烈批判象數的神秘主義。這些無疑都是推動數學發展的重要因素。
中西數學融合
中國從明朝開始進入封建社會後期，16結束後，西方初等數學陸續傳入中國，使中國的數學研究呈現中西合璧的局面；鴉片戰爭後，現代數學開始傳入中國，中國數學轉入以學習西方數學為主的時期；直到19年底，20世紀初，現代數學的研究才真正開始。
明初至明中葉，商品經濟發展，算盤的普及與這種商業發展相適應。明初魁本杜翔四言雜子和魯班牧婧的出現，說明珠算已經非常普及。前者是兒童讀圖的教材，後者是將算盤作為家庭必需品列入壹般木制家具手冊。
隨著珠算的普及，珠算算法和公式也在逐步完善。比如王文蘇和程大偉增加和改進了碰撞，做了公式；許心璐、程大偉加減公式並廣泛用於除法，從而實現了四則珠算的全部公式；朱載文和程大偉把計算平方根和平方根的方法應用到珠算中，程大偉用珠算解二次和三次數的方程。程大偉的作品在國內外廣為流傳，影響很大。
1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國。1607後，與徐光啟壹起翻譯了《幾何原本》前六卷和《測法義》壹卷，與李之藻壹起編譯了《易蓉筆意》。1629年，徐光啟受禮部委派，監督歷法的修訂。在他的主持下，編纂了《崇禎歷書》(137)。《崇禎歷書》主要介紹了歐洲天文學家第谷的地心說。作為這壹理論的數學基礎，還介紹了希臘幾何、歐洲玉山的壹些三角學以及納皮爾的計算、伽利略的比例規範等計算工具。
在引進的數學中，影響最大的是幾何元素。《幾何原本》是中國第壹部數學翻譯作品。大部分數學術語都是第壹個，很多至今還在使用。徐光啟認為沒有必要去懷疑它，去改變它，認為“天下沒有不學好的人”。滿清入侵中原後，科學再次被打入“冷宮”。不僅書的後半部分遲遲沒有翻譯，就連徐光啟翻譯的前半部分也不再出版。西方傳教士帶來的科技著作成為康熙、雍正或乾隆皇帝的專屬愛好。
其次，三角學應用最廣，介紹西方三角學的著作有《大測量》、《割線圓八線表》、《測量意義》等。大測主要講解三角形八線(正弦、余弦、正切、余切、割線、余切、正矢、余切)的性質、制表方法、用表方法。除了增加了壹些大測中缺失的平面三角形，比較重要的是積和差公式和球面三角形。所有這些都在當時的歷法工作中與翻譯壹起使用。
1646年，波蘭傳教士慕尼格來華，其追隨者為薛鳳佐、方仲桐。牟尼哥去世後，左根據所學編撰了《歷社通論》，以整合中國、法國和法國西部。《雪梨匯通》中的數學內容主要包括比例對數表、比例四線新表和三角算法。前兩本書介紹了英國數學家納皮爾和布裏格斯發明和修改的對數。後書除了崇禎歷書介紹的球面三角形，還包括半角公式、半弧公式、德式比例公式、內斯特比例公式等等。方仲通的《幾度言》解釋了對數理論。對數的引入非常重要，在歷法計算中立即應用。
有很多清代初學的人通過學習中西數學而代代相傳的書。其中影響較大的有王錫禪的《插圖》、的《梅文集》(含13種數學著作***40卷)、的《視覺研究》。梅文鼎是西方數學大師。他對傳統數學中解線性方程組、勾股解、求高次冪的正根的方法進行了整理和研究。年希堯的《視覺》是中國第壹部引入西方視角的作品。
清康熙皇帝重視西學，但只是作為自己的愛好。1712年，康熙任命梅笠為任蒙陽宅匯編人，與陳後瑤、何國宗、明加圖、楊道生等共同編纂天文算法書籍。1721年，《法源歷》完成100卷，於1723年以康熙“丁羽”名義出版。其中數學精華主要由梅高成負責，分為兩部分。第壹部分包括幾何要素和算法要素，都是從法語著作翻譯過來的。第二部分包括算術、代數、平面幾何、平面三角形、立體幾何等初等數學，有素數表、對數表、三角函數表。由於它是初等數學的綜合百科全書，並有康熙《欽定》之稱，對當時的數學研究有壹定影響。
清代數學家對西方數學做了大量的綜合性工作，取得了許多原創性成果。這些成就，如果與傳統數學相比，是進步的，但與當代西方相比，顯然是落後的。
雍正即位後閉關鎖國，導致停止向中國輸入西方科學，在國內實行高壓政策。導致普通學者無法接觸西方數學，不敢問自己學了什麽，於是埋頭研究古籍。乾嘉年間，逐漸形成了以考證為主的乾嘉學派。
隨著宋元時期《算經十書》和數學著作的收集和註釋，出現了壹個學習傳統數學的高潮。其中有、王來、李銳、李等。能突破老規矩，有發明。與宋元代數相比，他們的工作是有進步的。與西方代數相比，時間上晚了壹點，但這些成果是在沒有受到西方近代數學影響的情況下獨立獲得的。
在傳統數學研究達到高潮的同時，阮元、李銳編纂了《天文數學家傳——域人傳》，收集了黃帝時期至嘉慶四年去世的天文學家、數學家270余人(其中數學著作代代相傳的不到50人)，以及明末以來介紹西方天文數學的傳教士41人。這本書全部由“搜集史書，搜集群誌，加以記錄”組成，完全是第壹手原始資料，在學術界影響很大。
1840鴉片戰爭後，西方現代數學開始傳入中國。首先，英國人在上海設立了墨海圖書館，引進西方數學。第二次鴉片戰爭後，曾國藩、李鴻章等官僚集團發起“洋務運動”，也主張引進和學習西方數學，並組織翻譯了壹批近代數學著作。
其中最重要的是李、譯的《代數學》。華和英國人約翰·弗萊爾譯的《代數、微分積的跡和可疑數學》；鄒和編《玄學、代數和數學寫作》；謝鴻泰和潘合譯了《戴神》、《八行為旨》等。
《壹代微分學》是中國第壹部微積分譯著。《代數》是英國數學家德·摩根寫的《符號代數》的譯本。懷疑的數學是概率論的第壹個翻譯。在這些翻譯中，創造了許多數學術語和術語，這些術語和術語沿用至今，但所用的數學符號壹般已被淘汰。戊戌變法後，各地建立了新的法學院，這些著作成為主要的教科書。
我國學者在翻譯西方數學著作的同時，也做了壹些研究，寫了壹些著作，最重要的是李的《尖錐改革的解法》和《數根求法》；夏萬祥《洞方圖鑒》、《音樂誘導技法》、《音樂誘導圖鑒》等。，都是會連接中西學術思想的研究成果。
因為引進的近代數學需要壹個消化吸收的過程，而晚清統治者又非常腐敗，被太平天國運動的沖擊淹沒，又被列強掠奪，無暇顧及數學研究。直到1919的五四運動，中國近代數學的研究才真正開始。