自古以來，大多數人都把數學看作是壹種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理形成的理論知識的系統總和。既反映了人們對“現實世界中恩格斯的空間形式和數量關系”的理解，也反映了人們對“可能的數量關系和形式”的理解。數學不僅可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動創造。
從人類社會的發展歷史來看，人們對數學本質特征的認識是不斷變化和深化的。“數學的根本在於常識，最顯著的例子就是非負整數。”歐幾裏得的算術來源於常識中的非負整數，直到19世紀中葉，對數字的科學探索還停留在常識中。“再如幾何中的相似性，“在個體發展中，幾何甚至先於算術”，其“最早的標誌之壹就是對相似性的認識。“相似知識發現得這麽早”，就像出生壹樣。“因此，在19世紀之前，人們普遍認為數學是壹門自然科學，是壹門實證科學，因為當時數學與現實的聯系非常緊密。隨著數學研究的深入，數學是演繹科學的觀點在19世紀中期以後逐漸占據主導地位，這是在布爾巴基學派的研究中發展起來的。他們認為數學是壹門研究結構的科學，所有的數學都是以代數結構為基礎的。與這種觀點相對應的是，從古希臘的柏拉圖開始，很多人認為數學是研究模式的學問。數學家懷特海(A. N. Whiiehead，186-1947)在《數學與善》中說，“數學的本質特征是在從模式化的個體中抽象出來的過程中研究模式。1931年，哥德爾不完全性定理(k，G0de1，1978)的證明宣告了公理邏輯演繹體系中的不足，於是人們想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾依曼認為數學既有演繹科學又有經驗科學。
對於上述關於數學本質特征的觀點，要從歷史的角度去分析。事實上，對數本質特征的理解是隨著數學的發展而發展的。因為數學來源於分配商品、計算時間、測量土地和體積的實踐，此時的數學對象(作為抽象思維的產物)非常接近客觀實際，人們很容易找到數學概念的現實原型，所以人們自然認為數學是壹門經驗科學；隨著數學研究的深入，出現了非歐幾何、抽象代數、集合論，特別是現代數學正在向抽象、多元、高維方向發展。人們的註意力都集中在這些抽象的對象上，數學與現實的距離越來越遠，數學證明(作為壹種演繹推理)在數學研究中占有重要地位。因此，數學作為人類思維的自由創造而出現，是壹門研究數量與抽象結構之間關系的科學。這些認識不僅反映了人們對數學認識的深化，也是人們從不同方面對數學認識的結果。正如有人所說，“恩格斯認為數學是對現實世界中數量關系和空間形式的研究，這與布爾巴基的結構觀並不矛盾。前者反映的是數學的起源，後者反映的是現代數學的水平，是由壹系列抽象結構搭建起來的建築。“數學是研究方式的知識的說法，是從數學的抽象過程和層次的角度對數學本質特征的解釋。此外，從思想根源來看，人們把數學看作是演繹科學和研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性和準確性的先天信念，是對自身理性能力、根源和力量的自信的集中表現。因此，人們認為，這種發展數學理論的方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也就是說，如果公理為真，那麽從公理推導出的結論也壹定為真。應用這些看似清晰、正確、完美的邏輯，數學家得出的結論顯然是毋庸置疑、無可辯駁的。
實際上，上述對數學本質特征的認識是從數學的起源、存在方式、抽象層次等方面進行的，主要是從數學研究的成果方面進行的。顯然，結果(作為壹個理論推導體系)並不能反映數學的全貌。構成數學整體的另壹個很重要的方面是數學研究的過程，而從整體上看，數學是壹個動態的過程，是壹個“思維的實驗過程”，是壹個數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹系統是這壹過程的自然結果。在數學研究的過程中，數學對象豐富、生動、多變的壹面得以充分展現。保利亞(G. Poliva，1888-1985)認為，“數學具有兩面性，它是歐幾裏得的嚴格科學，但它也是別的東西。歐幾裏德方法提出的數學看似是壹門系統的演繹科學，但創造過程中的數學看似是壹門實驗的歸納科學。”弗裏登塔爾說，“數學是壹種非常特殊的活動，這種觀點”不同於數學是印在書本上、刻在頭腦裏的東西。“他認為，數學家或數學教科書喜歡把數學表述為“壹種組織良好的狀態”，即“數學的形式”是數學家通過自己的組織(活動)形成的；但是對於大多數人來說，他們把數學當成了工具。他們離不開數學，因為他們需要應用數學。即對於大眾來說，需要通過數學來學習數學的內容，從而學習相應的(應用數學)活動。這大概就是弗裏登塔爾所說的“數學是在內容和形式的相互作用中發現和組織的活動”。Efraim Fischbein說，“數學家的理想是獲得嚴謹的、連貫的、符合邏輯的知識實體。這壹事實並不排除數學必須被視為壹種創造過程:數學本質上是人類的活動，數學是人類發明的。“數學活動由三種基本成分的相互作用組成:形式、算法和直覺。庫朗和庫蘭尼·羅賓斯也說過，“數學是人類意誌的表達，反映了積極的意誌、深思熟慮的推理和精致完美的願望。其基本要素是邏輯與直覺、分析與建構、共性與個性。雖然不同的傳統可能強調不同的方面，但只有這些對立力量的相互作用和對它們的整合的鬥爭才構成了數學科學的生命、效用和高價值。"
除此之外，還有壹些對數學更寬泛的理解。比如有人認為“數學是壹種文化體系”“數學是壹種語言”，數學活動是社會性的。它是人類文明發展歷史進程中人類認識、適應和改造自然、完善自我和社會的高度智慧結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵影響。有人認為數學是壹門藝術，“相比於作為壹門學科的數學，我幾乎更願意將其視為壹門藝術，因為數學家在理性世界的指導下(雖然不受控制)所進行的執著的創造活動，與藝術家，比如畫家的創作活動是相似的。這是真實的而不是想象的。數學家嚴格的演繹推理在這裏可以比作特殊的註意力技巧。就像壹個人沒有壹定的技巧不能成為畫家壹樣，沒有壹定水平的精確推理能力也不能成為數學家。這些素質是最基本的。連同其他更微妙的品質，它們構成了壹個優秀的藝術家或壹個優秀的數學家的品質，在這兩種情況下最重要的是想象力。”“數學是推理的音樂”，“音樂是形象的數學”。這是從數學研究的過程和數學家應該具備的素質來討論數學的本質。有人把數學看作是壹種對待事物的基本態度和方法，壹種精神和觀念，即數學精神，數學觀念和態度。在《社會中的數學》壹文中，莫根斯·尼斯認為，數學是壹門學科，“在認識論意義上，它是壹門科學，它的目標是建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體組成的，那麽數學就扮演了純科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立於外界。另壹方面，如果所考慮的領域存在於數學之外，數學在使用科學方面發揮作用。數學這兩個方面的區別不是數學內容本身的問題，而是人們關註的焦點不同。無論是純理論還是應用，數學作為壹門科學有助於產生知識和洞察力。數學也是壹個工具、產品和過程的系統，它幫助我們做出與掌握數學以外的實際領域相關的決策和行動。數學是壹個審美的領域，可以給很多沈迷其中的人提供美感、快感和刺激。數學作為壹門學科，它的傳播和發展需要新壹代的人來掌握。數學學習不會同時自動進行，需要人教。因此，數學也是我們社會教育體系中的壹門教學學科。"
從上面可以看出，人是從數學內部(以及從數學內容、表達、研究過程等角度)來說的。討論了數學與社會、數學與其他學科、數學與人類發展的關系。它們都從壹個側面反映了數學的本質特征，為我們全面認識數學的本質提供了壹個視角。
基於對數學本質特征的上述認識，人們也從不同方面探討了數學的具體特征。普遍的看法是，數學具有抽象性、精確性和廣泛應用性的特點，其中抽象性是最本質的特征。壹個，百分之二十。亞歷山大·洛夫說，“即使是膚淺的數學知識，也能很容易地感知到數學的這些特點:第壹，它是抽象的；二是準確，或者更好，他說是邏輯的嚴密性和結論的確定性；最後，是其應用的極端廣泛性。”王子坤說，“數學的特點是:內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴密性和結論的確定性。”這個觀點主要是基於數學的內容。此外，從數學研究的過程以及數學與其他學科的關系來看，數學也是生動的、現實的、準經驗的。“可證偽性”的特征。對數學特點的認識也具有時代特征。比如數學的嚴謹性，在數學的每個歷史發展時期都有不同的標準。從歐幾裏得幾何到羅·巴爾切夫斯基幾何再到希爾伯特公理系統，對於嚴密性的評價標準大相徑庭。尤其是在哥德爾提出並證明了“不完全性定理……”之後，人們發現，即使是公理化這種曾經備受推崇的嚴謹科學方法，也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性表現在數學發展史上，具有相對性。關於數學的似是而非，保利亞在他的《數學與猜想》中指出，“數學被視為壹門論證科學。然而，這只是其中的壹個方面。定型數學的最終形式似乎是純粹的演示材料，只有證明。然而，創造數學的過程和創造任何其他知識的過程是壹樣的。在證明壹個數學定理之前，妳要猜測這個定理的內容。在妳做壹個詳細的證明之前，妳得猜測壹下證明的思路。妳得綜合觀察到的結果，然後打個比方。妳必須壹遍又壹遍地做。數學家創造性工作的結果是論證，即證明；但是這個證明是通過合理的推理和猜想發現的。只要數學的學習過程能稍微反映出數學的發明過程，那麽猜想和合理推理就應該占據適當的位置。“正是從這個角度出發，我們說數學的確定性是相對的、有條件的，對數學來說是生動的、現實的、準經驗的。對“可證偽性”特征的強調，實際上突出了數學研究中的觀察、實驗和分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
自從人類學會數數以來，他們就壹直在和自然數打交道。後來由於實踐的需要，數的概念進壹步擴大。自然數被稱為正整數，而它們的相反數被稱為負整數，介於正負整數之間的中性數被稱為0。它們加起來是壹個整數。
對於整數，可以進行四則運算:加、減、乘、除，稱為四則運算。其中加減乘除可以在整數範圍內無障礙進行。也就是說，任意兩個或兩個以上的整數相加、相減、相乘，它們的和、差、積仍然是壹個整數。但是，整數之間的除法可能無法在整數範圍內暢通無阻地進行。
在整數運算的應用和研究中，人們逐漸熟悉了整數的特性。比如整數可以分為兩類——奇數和偶數(通常稱為奇數和偶數)等等。利用整數的壹些基本性質，可以進壹步探索許多有趣而復雜的數學規律。正是這些特點的魅力，古往今來吸引著眾多數學家不斷研究和探索。