學號：14020150008
嵌牛導讀：傳統的奈奎斯特采樣定律隨著數字信號處理技術的發展，其缺陷以及應用上的不便日漸凸顯，壓縮感知技術應運而生。本文依據《數字信號處理》課程所學，對奈奎斯特采樣定理進行了原理以及上的概述，同時在本文的後半部分，對壓縮感知這壹新式的信號處理技術進行了簡單介紹。在本文的末尾，依據奈奎斯特采樣定理與壓縮感知原理上的異同進行了優缺點的分析，同時對壓縮感知的發展進行了展望。
嵌牛鼻子：數字信號處理；奈奎斯特采樣定理；壓縮感知；稀疏矩陣
嵌牛提問：什麽是壓縮感知？與傳統的奈奎斯特采樣定理相比，壓縮感知有什麽樣的特點和優勢？
嵌牛正文：
奈奎斯特采樣定理部分
壹、概述
在數字信號處理領域中，采樣定理是連續時間信號（通常稱為“模擬信號”）和離散時間信號（通常稱為“數字信號”）之間的基本橋梁。該定理說明采樣頻率與信號頻譜之間的關系，是連續信號離散化的基本依據。 它為采樣率建立了壹個足夠的條件，該采樣率允許離散采樣序列從有限帶寬的連續時間信號中捕獲所有信息
二、基本原理 :
在進行模擬/數字信號的轉換過程中，當采樣頻率fs.max大於信號中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>=2fmax)，采樣之後的數字信號完整地保留了原始信號中的信息，壹般實際應用中保證采樣頻率為信號最高頻率的5～10倍；采樣定理又稱奈奎斯特定理。
要使實信號采樣後能夠不失真還原，采樣頻率必須大於信號最高頻率的兩倍。
當用采樣頻率F對壹個信號進行采樣時,信號中F/2以上的頻率不是消失了,而是對稱的映象到了F/2以下的頻帶中,並且和F/2以下的原有頻率成分疊加起來,這個現象叫做“混疊”(aliasing).
消除混疊的方法有兩種:
1.提高采樣頻率F,即縮小采樣時間間隔.然而實際的信號處理系統不可能達到很大的采樣頻率,處理不了很多的數據.另外,許多信號本身可能含有全頻帶的頻率成分,不可能將采樣頻率提高到無窮大.所以,通過采樣頻率避免混疊是有限制的.
2.采用抗混疊濾波器.在采用頻率F壹定的前提下,通過低通濾波器濾掉高於F/2的頻率成分,通過低通濾波器的信號則可避免出現頻率混疊.
公式：C = B * log2 N ( bps )
三、應用
采樣定理通常針對單個變量的函數進行公式化。因此，定理可直接適用於時間相關的信號，並且通常在該上下文中公式化。然而，采樣定理可以以直接的方式擴展到任意多個變量的函數。
灰度圖像通常表示為代表位於行和列采樣位置的交叉處的像素（圖像元素）的相對強度的實數的二維陣列（或矩陣）。因此，圖像需要兩個獨立變量或索引，以指定每個像素唯壹壹個用於行，壹個用於列。
彩色圖像通常由三個單獨的灰度圖像的組合構成，壹個代表三原色（紅色，綠色和藍色）或簡稱RGB中的每壹個。對於顏色使用3向量的其他顏色空間包括HSV，CIELAB，XYZ等。諸如青色，品紅色，黃色和黑色（CMYK）的壹些顏色空間可以通過四維表示顏色。所有這些都被處理為二維采樣域上的向量值函數。
類似於壹維離散時間信號，如果采樣分辨率或像素密度不足，圖像也可能遭受混疊。例如，具有高頻率（換句話說，條紋之間的距離小）的條紋襯衫的數碼照片可以在襯衫被照相機的圖像傳感器采樣時導致襯衫的混淆。對於這種情況，在空間域中采樣的“解決方案”將是更靠近襯衫，使用更高分辨率的傳感器，或者在用傳感器采集圖像之前對圖像進行光學處理
壓縮感知部分
壹、概述
壓縮感知（Compressed sensing），也被稱為壓縮采樣（Compressivesampling）或稀疏采樣（Sparse sampling），是壹種尋找欠定線性系統的稀疏解的技術。壓縮感知被應用於電子工程尤其是信號處理中，用於獲取和重構稀疏或可壓縮的信號。這個方法利用訊號稀疏的特性，相較於奈奎斯特理論，得以從較少的測量值還原出原來整個欲得知的訊號。MRI就是壹個可能使用此方法的應用。這壹方法至少已經存在了四十年，由於David Donoho、Emmanuel Candès和陶哲軒的工作，最近這個領域有了長足的發展。近幾年，為了因應即將來臨的第五代移動通信系統，壓縮感知技術也被大量應用在無線通訊系統之中，獲得了大量的關註以及研究。
二、基本原理
為了更好的說明壓縮感知的基本原理，在這裏引入奈奎斯特采樣進行比較說明。
如圖2.1所示， 圖b、d為三個余弦函數信號疊加構成的信號，在頻譜圖（圖a）中只有個峰值。 如果對其進行8倍於全采樣的等間距亞采樣（圖b下方的紅點），則頻域信號周期延拓後，就會發生混疊（圖c），無法從結果中復原出原信號。
而如果采用隨機亞采樣（圖2.2b上方的紅點），那麽這時候頻域就不再是以固定周期進行延拓了，而是會產生大量不相關的幹擾值。如圖2.2c，最大的幾個峰值還依稀可見，只是壹定程度上被幹擾值覆蓋。這些幹擾值看上去非常像隨機噪聲，但實際上是由於三個原始信號的非零值發生能量泄露導致的（不同顏色的幹擾值表示它們分別是由於對應顏色的原始信號的非零值泄露導致的）。得到如圖2.2d的頻譜圖後，再采用匹配追蹤的算法，就可以對信號進行恢復。以上就是壓縮感知理論的核心思想——以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進行隨機亞采樣，由於頻譜是均勻泄露的，而不是整體延拓的，因此可以通過特別的追蹤方法將原信號恢復。
三、應用
1、全息成像
全息成像是壹種記錄被攝物體反射（或透射）光波中全部信息（振幅、相位）的照相技術，而物體反射或者投射的光線可以通過記錄膠片完全重建，通過不同方位和角度觀察照片，可以看到被拍攝的物體的不同的角度，因此記錄得到的想可以使人產生立體視覺。然而全息圖記錄的立體信息非常龐大，在滿足傳統的香農采樣定理進行采樣時很難達到的帶寬及存儲和傳輸這些信息成為限制全息術發展的難題。
壓縮感知技術為傳統的信息采樣傳輸帶來了革命性的突破，為信號的計算和傳輸節省了很大資源。利用壓縮感知可以去掉大量沒有實際意義的信息采樣，通過遠低於傳統采樣樣本點就可以重構出原始信號，解決了全息術在數據存儲和傳輸方面的限制。
2、核磁***振成像
核磁***振成像作為壹種極其重要的醫學成像技術，具有對病竈診斷精確、對人體安全性高等優點，但是較長的數據采集時間成為其廣泛應用的瓶頸。因此，在保證成像質量的前提下，探索壹種新的快速成像方法迫在眉睫。壓縮感知作為壹種全新的信號采樣理論，針對稀疏信號或可壓縮信號，可以在采樣數量遠少於傳統采樣方式的情況下精確地恢復出原始信號，這就為核磁***振圖像的快速獲取提供了壹種新的思路。
四、奈奎斯特和壓縮感知的對比
從采樣的角度來看，壓縮感知和基於奈奎斯特采樣定理的傳統信號采集是兩種不同形式的信號采集方式。（壓縮感知打破了傳統信號處理中對於奈奎斯特采樣要求的限制）
1.采樣率：在壓縮感知理論下，信號的采樣率不再取決於信號的帶寬，而是取決於信息在信號中的結構與內容（稀疏性）。關於采樣率的計算方式，壓縮感知是從少量離散測量數據恢復離散數字信號，其計算方式為采樣率=測量值的大小/恢復信號的大小；而傳統信號采集是從離散采樣數據中恢復模擬信號。
2.信號采集方式：傳統采樣理論是通過均勻采樣獲取數據；壓縮感知則通過計算信號與壹個觀測函數之間的內積來獲得觀測數據。
3.恢復信號形式：傳統采樣定理關註的對象是無限長的連續信號；壓縮感知是有限維觀測向量空間的向量即離散信號。
4.恢復信號方式：傳統采樣恢復是在奈奎斯特采樣定理的基礎上，通過采樣數據的sinc函數線性內插獲得，而壓縮感知采用的是利用信號的稀疏性，從線性觀測數據中通過求解壹個非線性的優化問題來恢復信號的方法。
5.壓縮感知的核心思想：壓縮和采樣合並進行，並且測量值遠小於傳統采樣方法的數據量，突破香農采樣定理的瓶頸，使高分辨率的信號采集成為可能。
總結
奈奎斯特采樣定理壹直是信號處理領域的金科玉律，但其性能仍沒法滿足諸如全息成像、核磁***振等產生龐大數據的技術的信息恢復。然而在數字信號處理領域進入二十壹世紀以後，壓縮感知技術帶來了顛覆性的改變，以比奈奎斯特采樣頻率要求的采樣密度更稀疏的密度對信號進行隨機亞采樣，通過特別的追蹤方法將原信號恢復，使得用於恢復信號的數據量遠少於傳統采樣所需要的數據量。壓縮感知理論的誕生已經對計算科學、信號處理、電子信息等領域產生重大的影響，其理論具有廣闊的應用前景，但仍然不夠完善，希望在今後的研究中能彌補壓縮感知現有的不足，展現其強大的生命力，為更多難題提供新的解決方法。