世界近代三大數學難題之壹。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯.格思裏來到壹家科研單位搞地圖著色工作時，發現了壹種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有***同邊界的國家著上不同的顏色。”這個結論能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和在大學讀書的弟弟格裏斯決心試壹試。兄弟二人為證明這壹問題而使用的稿紙已經堆了壹大疊，可是研究工作沒有進展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數學家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，於是寫信向自己的好友、著名數學家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信後，對四色問題進行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關註的問題。世界上許多壹流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認為四色猜想從此也就解決了。
11年後，即1890年，數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。後來，越來越多的數學家雖然對此絞盡腦汁，但壹無所獲。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是壹個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數學大師們的努力，為後世的數學家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎上引進了壹些新技巧，美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終於完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。它不僅解決了壹個歷時100多年的難題，而且有可能成為數學史上壹系列新思維的起點。不過也有不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們還在尋找壹種簡捷明快的書面證明方法。
哥德巴赫猜想（三大數學難題之二）
世界近代三大數學難題之壹。哥德巴赫是德國壹位中學教師，也是壹位著名的數學家，生於1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數（只能被和它本身整除的數）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:
(a) 任何壹個>=6之偶數，都可以表示成兩個奇質數之和。
(b) 任何壹個>=9之奇數，都可以表示成三個奇質數之和。
這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈壹指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的註意。從費馬提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對33×108以內且大過6之偶數壹壹進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗格的數學證明尚待數學家的努力。
從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的註意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上壹顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數學家布爵用壹種古老的篩選法證明，得出了壹個結論：每壹個比大的偶數都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從（9十9）開始，逐步減少每個數裏所含質數因子的個數，直到最後使每個數裏都是壹個質數為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。
目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶數都是壹個質數與壹個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。” 通常都簡稱這個結果為大偶數可表示為 “1 + 2 ”的形式。
在陳景潤之前，關於偶數可表示為 s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和(簡稱“s + t ”問題)之進展情況如下:
1920年，挪威的布朗(Brun)證明了 “9 + 9 ”。
1924年，德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7 + 7 ”。
1932年，英國的埃斯特曼(Estermann)證明了 “6 + 6 ”。
1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後證明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366。
1938年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了“5 + 5 ”。
1940年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了 “4 + 4 ”。
1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1 + c ”，其中c是壹很大的自然 數。
1956年，中國的王元證明了 “3 + 4 ”。
1957年，中國的王元先後證明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。
1962年，中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩(BapoaH)證明了 “1 + 5 ”， 中國的王元證明了“1 + 4 ”。
1965年，蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)證明了“1 + 3 ”。
1966年，中國的陳景潤證明了 “1 + 2 ”。
最終會由誰攻克 “1 + 1 ”這個難題呢？現在還沒法預測。
費爾馬大定理及其證明（三大數學難題之壹）
近代數學如參天大樹，已是分支眾多，枝繁葉茂。在這棵蒼勁的大樹上懸掛著不勝其數的數學難題。其中最耀眼奪目的是四色地圖問題、費爾馬大定理和哥德巴赫猜想。它們被稱為近代三大數學難題。
300多年以來，費爾馬大定理使世界上許多著名數學家殫精竭慮，有的甚至耗盡了畢生精力。費爾馬大定理神秘的面紗終於在1995年揭開，被43歲的英國數學家維爾斯壹舉證明。這被認為是“20世紀最重大的數學成就”。
費爾馬大定理的由來
故事涉及到兩位相隔1400年的數學家，壹位是古希臘的丟番圖，壹位是法國的費爾馬。丟番圖活動於公元250年前後。
1637年，30來歲的費爾馬在讀丟番圖的名著《算術》的法文譯本時，他在書中關於不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整數解這頁的空白處用拉丁文寫道：“任何壹個數的立方，不能分成兩個數的立方之和；任何壹個數的四次方，不能分成兩個數的四次方之和，壹般來說，不可能將壹個高於二次的冪分成兩個同次的冪之和。我已發現了這個斷語的美妙證法，可惜這裏的空白地方太小，寫不下。”
費爾馬去世後，人們在整理他的遺物時發現了這段寫在書眉上的話。1670年，他的兒子發表了費爾馬的這壹部分頁端筆記，大家才知道這壹問題。後來，人們就把這壹論斷稱為費爾馬大定理。用數學語言來表達就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程，當n大於2時沒有正整數解。
費爾馬是壹位業余數學愛好者，被譽為“業余數學家之王”。1601年，他出生在法國南部圖盧茲附近壹位皮革商人的家庭。童年時期是在家裏受的教育。長大以後，父親送他在大學學法律，畢業後當了壹名律師。從1648年起，擔任圖盧茲市議會議員。
他酷愛數學，把自己所有的業余時間都用於研究數學和物理。由於他思維敏捷，記憶力強，又具備研究數學所必須的頑強精神，所以，獲得了豐碩的成果，使他躋身於17世紀大數學家之列。
艱難的探索
起初，數學家想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個“美妙證法”，但是誰也沒有成功。著名數學家歐拉用無限下推法證明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整數解。
因為任何壹個大於2的整數，如果不是4的倍數，就壹定是某壹奇素數或它的倍數。因此，只要能證明n＝4以及n是任壹奇素數時，方程都沒有正整數解，費爾馬大定理就完全證明了。n＝4的情形已經證明過，所以，問題就集中在證明n等於奇素數的情形了。
在歐拉證明了 n＝ 3， n＝ 4以後， 1823年和 1826年勒讓德和狄利克雷各自獨立證明了 n＝ 5的情形， 1839年拉梅證明了 n＝ 7的情形。就這樣，壹個壹個奇素數證下去的長征便開始了。
其中，德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數的方法，引入了自己發明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費爾馬大定理只可能在n等於某些叫非正則素數的值時，才有可能不正確，所以只需對這些數進行研究。這樣的數，在100以內，只有37、59、67三個。他還具體證明了當 n＝ 37、59、67時，方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整數解的。這就把費爾馬大定理壹下推進到n在100以內都是成立的。庫默爾“成批地”證明了定理的成立，人們視之為壹次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。
這壹“長征”式的證法，雖然不斷地刷新著記錄，如 1992年更進到n＝1000000，但這不等於定理被證明。看來，需要另辟蹊徑。
10萬馬克獎給誰
從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費爾馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結果。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，將他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費爾馬大定理的解答獎金。
哥庭根科學會宣布，獎金在100年內有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。
10萬馬克在當時是壹筆很大的財富，而費爾馬大定理又是小學生都能聽懂題意的問題。於是，不僅專搞數學這壹行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和壹般市民，都在鉆研這個問題。在很短時間內，各種刊物公布的證明就有上千個之多。
當時，德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜誌，自願對這方面的論文進行鑒定，到 1911年初為止，***審查了111個“證明”，全都是錯的。後來實在受不了沈重的審稿負擔，於是它宣布停止這壹審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶湧澎湃，雖然兩次世界大戰後德國的貨幣多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成後來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵著很多人繼續從事這壹工作。
姍姍來遲的證明
經過前人的努力，證明費爾馬大定理取得了許多成果，但離定理的證明，無疑還有遙遠的距離。怎麽辦？來必須要用壹種新的方法，有的數學家用起了傳統的辦法——轉化問題。
人們把丟番圖方程的解與代數曲線上的某種點聯系起來，成為壹種代數幾何學的轉化，而費爾馬問題不過是丟番圖方程的壹個特例。在黎曼的工作基礎上，1922年，英國數學家莫德爾提出壹個重要的猜想。：“設F（x，y）是兩個變數x、y的有理系數多項式，那麽當曲線F（x，y）= 0的虧格（壹種與曲線有關的量）大於1時，方程F（x，y）＝0至多只有有限組有理數”。1983年，德國29歲的數學家法爾廷斯運用蘇聯沙法拉維奇在代數幾何上的壹系列結果證明了莫德爾猜想。這是費爾馬大定理證明中的又壹次重大突破。法爾廷斯獲得了1986年的菲爾茲獎。
維爾斯仍采用代數幾何的方法去攀登，他把別人的成果奇妙地聯系起來，並且吸取了走過這條道路的攻克者的經驗教訓，註意到壹條嶄新迂回的路徑：如果谷山——誌村猜想成立，那麽費爾馬大定理壹定成立。這是1988年德國數學家費雷在研究日本數學家谷山——誌村於1955年關於橢圓函數的壹個猜想時發現的。
維爾斯出生於英國牛津壹個神學家庭，從小對費爾馬大定理十分好奇、感興趣，這條美妙的定理導致他進入了數學的殿堂。大學畢業以後，他開始了幼年的幻想，決心去圓童年的夢。他極其秘密地進行費爾馬大定理的研究，守口如瓶，不透半點風聲。
窮七年的鍥而不舍，直到1993年6月23日。這天，英國劍橋大學牛頓數學研究所的大廳裏正在進行例行的學術報告會。報告人維爾斯將他的研究成果作了長達兩個半小時的發言。10點30分，在他結束報告時，他平靜地宣布：“因此，我證明了費爾馬大定理”。這句話像壹聲驚雷，把許多只要作例行鼓掌的手定在了空中，大廳時鴉雀無聲。半分鐘後，雷鳴般的掌聲似乎要掀翻大廳的屋頂。英國學者顧不得他們優雅的紳士風度，忘情地歡騰著。
消息很快轟動了全世界。各種大眾傳媒紛紛報道，並稱之為“世紀性的成就”。人們認為，維爾斯最終證明了費爾馬大定理，被列入1993年世界科技十大成就之壹。
可不久，傳媒又迅速地報出了壹個“爆炸性”新聞：維爾斯的長達200頁的論文送交審查時，卻被發現證明有漏洞。
維爾斯在挫折面前沒有止步，他用壹年多時間修改論文，補正漏洞。這時他已是“為伊消得人憔悴”，但他“衣帶漸寬終不悔”。1994年9月，他重新寫出壹篇108頁的論文，寄往美國。論文順利通過審查，美國的《數學年刊》雜誌於1995年5月發表了他的這壹篇論文。維爾斯因此獲得了1995～1996年度的沃爾夫數學獎。
經過 300多年的不斷奮戰，數學家們世代的努力，圍繞費爾馬大定理作出了許多重大的發現，並促進了壹些數學分支的發展，尤其是代數數論的進展。現代代數數論中的核心概念“理想數”，正是為了解決費爾馬大定理而提出的。難怪大數學家希爾伯特稱贊費爾馬大定理是“壹只會下金蛋的母雞”。