曹則賢(中國科學院物理研究所研究員，博士生導師)
艾薩克·牛頓爵士(1643-1727)是英國數學家、物理學家和天文學家。牛頓是數學和物理學的先驅人物。他的流動數和基於無窮多項式的分析開辟了微積分的數學領域，而他的自然哲學的數學原理奠定了經典力學的基礎。此外，他還第壹個用棱鏡觀察並記錄了太陽光的折射，提出了光粒子理論。牛頓被認為是人類歷史上最偉大的科學家。他的墓誌銘是英國詩人亞歷山大·蒲柏模仿《聖經》的第壹句話寫的:“自然和自然法則隱藏在黑夜中；上帝說“讓牛頓去吧！“壹切都是光(自然法則和自然隱藏在黑暗的夜晚；上帝說:“讓牛頓來吧”，宇宙壹片光明。”
牛頓是當今世界熟悉的人物，沒有必要在他的生平和軼事上多費筆墨。我們直接看他的兩大成就，微積分和牛頓力學，看看是什麽啟發了他，牛頓是如何把靈感的火花擴展成壹個學習的體系的。
二項式展開和微積分
用英語講微積分，我們會用到微積分，就像歐幾裏得的《幾何原本》壹樣。用定冠詞the，強調所指內容是被尊崇的獨特存在。微積分對於很多人來說曾經是高深學問的代名詞，也許這種情況還會持續很長壹段時間。
在英語中，積分這個詞是積分學，微分是微分學。微積分中文翻譯成微積分。其實這個詞的本義應該是計算，壹個計算系統。求極值，二維幾何的面積，三維幾何的體積，都是壹些老問題。古代中國和希臘已經取得了壹些成果。17世紀下半葉，關於無窮小分析的觀點、方法和具體發現已經很多，是時候有人把它整理成壹門全新的知識了。德國萊布尼茨在1684發表了壹篇文章，文章中使用了calculi這個詞。等到1696法國人紀堯姆·德·拉赫的時候？Spital)寫了這壹領域的第壹本教材《微積分》，成為這門新學問的名字。
雖然歷史上牛頓和萊布尼茨有過關於微積分發現先後的爭論，但有壹點是肯定的:牛頓研究並發現了微積分。那麽，牛頓發現微積分的關鍵壹步是什麽？它是二項式展開的推廣。
二項式展開，我們初中就開始學了，下面這個公式大家都很熟悉:
只要妳願意，妳可以得到任意次冪的二項式展開式，其中n是自然數。楊輝三角形(西方人稱帕斯卡三角形)(圖1)總結了所有二項式展開的系數。楊輝三角好記:每行比前壹行多壹項，始終以1開頭和結尾，中間的數是前壹行相鄰兩個數相加得到的。不要以為妳很容易就知道楊輝三角。這種數學對象包含了常人無法想象的豐富而深刻的內容。
圖1楊輝三角形，第n行的數字是對應展開中每壹項的系數。
對我們大多數人來說，這種知識的二項式擴展是壹種嚴格的教條。但是，在牛頓眼裏，知識是可以擴展、發展和用於超越的。大牛頓把上面的二項式展開式推廣到指數是分數甚至是負數的情況，也就是他不僅會展開這樣的二項式，還會展開這樣的多項式。牛頓給出了展開式的壹般表達式，其中p和q為任意實數，m/n為分數，即
在這裏，A，B，C，D…代表字母出現之前的那個。當然，這個擴展包括無限多的項目。牛頓用右展開來驗證他的展開式是否正確，他找到的展開式是。對這個公式的右邊求平方，可以發現結果是無窮級數，這個妳可以自己驗證。這是壹個眾所周知的比例級數，其和為，證明上述展開是正確的。世界是奇妙的，這種奇妙需要牛頓這樣的人來揭開它上面的面紗。
這樣，無窮級數的形式就可以表示壹般函數f(x)。牛頓進壹步發展了求逆級數的方法，即從無窮級數出發，得到級數。二項式展開式的推廣和求逆級數的方法是牛頓發展微積分的重要工具。
用這個二項式展開，牛頓要證明曲線是從0到任意x(x >；0)占地面積。牛頓在這個問題上的論證過程給人壹種雜亂無章的感覺，包含了大量的邏輯漏洞，因此被譽為“壹種簡潔而難以理解的形式”。無論如何，牛頓的論點可以用現代數學語言表述如下:對於任意實數A，函數的壹階微分為。有了這種關系，微積分的發展就走上了壹條坦途。
在牛頓中，微分叫做通量，積分叫做通量的逆方法。Fluxion和其他表示流動的英語單詞如flow、continuous、flux壹樣，是壹個同源詞，與流量或速度有關。把位置隨時間的變化作為時間的函數，這個函數的流數，或者微分就是速度。萬物都在流動，物理學的方程式本質上就是流動的方程式。
蘋果和重力
關於牛頓有壹個神奇的傳說，說是有壹天牛頓坐在壹棵蘋果樹下，壹個蘋果[1]碰巧掉在他的頭上，讓他體會到了萬有引力的奧秘。有人說這個傳說是虛構的，但在他的熟人後來的著作中也有。但是，由於牛頓的巨大影響，人們寧願相信這個傳說是真的。牛頓的母校劍橋大學三壹學院就種了這樣壹棵蘋果樹(如圖2)，據說就是曾經激勵牛頓的蘋果樹的後代。這是壹個關於大發現的瞬間或大發現的靈感的記憶符號。人們很容易介紹牛頓蘋果樹的後代，但能被啟發的蘋果還沒等來能被啟發的牛頓的大腦。
圖2劍橋大學三壹學院後來種植的蘋果樹。
且不說有沒有這樣壹棵蘋果樹，那棵樹上的壹個蘋果落在牛頓頭上，啟發了牛頓，從而使他能夠理解萬有引力的奧秘。可以肯定的是，牛頓在研究行星運動規律時，註意到了地球上的落體運動，成熟水果的下落是壹種自然的自由落體運動。其實早在牛頓出生之前，伽利略就已經畫出了落體定律，開普勒也已經實現了行星運動三定律。
很久以前，人們認為力導致運動。人類認識史上的壹大進步就是對慣性定律的認識。壹切物體都有慣性，不受外力的物體保持靜止或勻速運動(這後來被表述為牛頓第壹定律，但其實早在牛頓之前就被認識到了)——力是運動變化的原因。當時人們所說的力是壓力、摩擦力、推力等接觸力。
天空中行星的運動讓無數人好奇。歷史上很多古文明都觀測過行星的運動。開普勒從1609-1619把太陽作為行星運動的參考點，從而總結出著名的行星運動三定律。第壹定律說行星在以太陽為焦點之壹的橢圓軌道上運動，第二定律說行星在單位時間內相對太陽掃過相同的面積。這是為什麽呢？或者說是什麽樣的力使得行星采取這種運動形式？人們想要回答這樣具有挑戰性的問題。
行星向前飛行，並不斷改變其運動的方向和速度。壹個直觀的想法是，股票指數的向前拉力會推動地球前進。但是這種力量從何而來？如果有，那麽這個力的來源壹定不是接觸力，而應該是超距作用。認識到距離作用的存在，是人類認識史上的壹大進步。那麽這種超距力應該是什麽樣子的呢？
也許是落下的蘋果啟發了牛頓。蘋果壹旦脫離了樹，馬上就直直地掉在了地上，說明地球對它的距離效應壹直都在。也許地球對月球、太陽和天空中的那些恒星有這樣的距離效應，當然太陽也應該以這樣的距離效應影響行星的運動。另壹方面，蘋果落在它的頭上，傷了它，因為它擋住了它的路。如果沒有碰到壹個人的頭，它總會掉在地上。如果沒有地面或者在地面上挖了壹口井，蘋果就會壹直往下掉。天啊，那個蘋果永遠會落到地心。那個距離力，確切的說是地球對蘋果的吸引力，永遠指向地心！這個時候牛頓應該已經體會到了萬有引力或者萬有引力的真諦:萬有引力存在於壹切物體之間，是距離的函數，是壹個中心力。
那麽，假設太陽和行星之間的引力是向心的，這能解釋行星軌道的觀測性質，也就是開普勒三定律嗎？牛頓假設物體之間的引力是壹種沿著它們之間的直線的向心力，其大小與距離的平方成反比。他用平面幾何證明了這樣的行星軌道確實是以太陽為焦點的橢圓。有了這個結論，開普勒第二、第三定律就很容易證明了。牛頓對開普勒第壹定律的證明包含在他的著作《自然哲學的數學原理》中。圖3顯示了牛頓在壹英鎊紙幣上的證明的簡化圖。當作者看著這張圖去證明的時候，如壹個赤貧的人面對壹顆兩公斤重的鉆石，驚訝而不知所措。如果有人覺得自己擅長平面幾何，不妨試著了解壹下牛頓的證明過程。後來錢德拉塞卡重寫了這個證明。當然，它要長得多，也不壹定更容易理解。
圖3壹英鎊紙幣背面的牛頓及其典型事跡。左上部分的圖案和牛頓書上的壹樣，是自然哲學數學原理中行星軌道在有心力作用下呈橢圓形的幾何證明。
有了微積分和引力，最終建立了經典力學這門科學。重要的是牛頓的工作是理性思考的典範。牛頓出生的時候，西方世界的科學還沒有達到中世紀蒙昧的統治地位。到他去世的時候，西方已經進入理性時代，牛頓為此做出了巨大的貢獻。
牛頓給筆者最深刻的啟示是，壹個偉大的科學家不僅要有深刻大膽的思想，還要有證明自己正確的能力。把新出現的想法和證據(或示範)編織在壹起就是知識體系。
有意思的是，中國古代有“牛頓”的說法。曹操的《秋胡星》中有壹句話:“牛頓不起，車墜谷中。”
本文原為曹則賢《壹念之差——大科學家是怎樣煉成的》(外語教學與研究出版社，2016.5)第六篇，發表時略加補充。
給…作註解
1.這是人類文明史上第二有名的蘋果。第壹個是蛇引誘夏娃的蘋果。第三個是沾了氰化鉀的蘋果，天才艾倫·圖靈咬了壹口，結束了他的創作生涯。
2.這是人類文明史上的又壹件大事。人類把天體運動的參考點從自己的腳下移到了其他地方。
參考
1.戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨，最大化和最小化的新方法，不合理的分數量化道德。奇異的e proilli calculigenus，學報，467–473，1684。求最大值、最小值和切線的新方法，同樣適用於分數或無理數，以及壹種特例(拉丁文)的計算。
2.巴黎，巴黎，1696，醫院，無限小物品分析員。理解曲線的無窮小分析(法語)。
3.威廉·鄧納姆，《微積分畫廊:從牛頓到勒貝格的傑作》，普林斯頓大學出版社(2005)。中文翻譯是《微積分教程——從牛頓到勒貝格》。
4.理查德·韋斯特福爾，《永無休止:艾薩克·牛頓傳》，劍橋大學出版社(1983)。
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《壹心壹意的作者》序言非同凡響
認為人類歷史是由少數英雄創造的觀點遭到了激烈的批評。但如果說“科學史是少數英雄創造的”，估計反對的人不會太多。因為，涉及到壹些偉大的科學成就，不要說敢爭功勞。像我這樣的普通人，僅僅因為能看懂的只有鱗片和爪子，就驕傲了。當然，我這裏說的科學，指的是數學、物理等已經形成嚴謹厚重體系的學科。
科學的歷史是少數巨人輝煌的歷史。有些人，如伽利略、漢密爾頓、歐拉、開爾文爵士，能夠穿透存在的未知迷霧，給人類帶來知性的啟迪。有些人，比如龐加萊和伽莫夫，來到這個世界上是為了向世界表明，天才是存在的。每次讀到這些大師的思想，欣賞他們的天才成就，我總會感到莫名的激動和感嘆——在這片孕育了人類最大部分的最古老的土地上，為什麽還沒有出現這樣的科學巨人？
也許不是我們生來平庸，而是我們在饑餓的時候沒有看到榜樣的力量，沒有智者給我們壹個啟蒙的洗禮？！那些科學巨擘，都是在青年時代得到了充分的、高質量的教育和啟蒙。青少年不知道什麽是真正偉大的思想成就，什麽樣的人才是真正的科學大師，自然也沒有成為大師的欲望和野心。那麽，從他們中間產生科學巨擘的可能性在哪裏呢？
不知道從什麽時候開始，我壹直有壹個願望，想和我的朋友們，尤其是那些朝氣蓬勃的年輕朋友們，分享我所了解的那些科學巨擘的思想和成就。然而，要正確理解和準確傳達這些科學大師的思想和創造成果，卻遠遠超出了作者的能力。抱著退而求其次的想法，作者寫了這本小書，向讀者介紹那些科學巨人取得科學地位的非凡想法——也許只是壹個偶然的想法，但它後來成為科學史上的標誌性事件，為科學和人類進壹步的文明帶來了意想不到的推動力。真心希望這本小書能對年輕朋友有所幫助，從中學生到剛剛步入科研生涯的年輕學者。
這本書關註的是人和事，僅限於哲學、數學和物理。沒有別的原因，只是因為壹些哲學、數學、物理領域的大師有著不壹樣的魅力，他們的成就在我心中引起了特別的崇敬。根據康德的說法，這是“我越經常和堅持不懈地思考它們，它們就越讓我的心充滿全新的和不斷增長的驚喜和敬畏。”讀者會註意到，這本書提到的人，有的是哲學家-數學家-物理學家三位壹體，有的甚至同時是語言學家或其他專家。雖然可能不正確，但我仍然認為，就腦力勞動的成分而言，物理在智力和性格方面的要求，有些不如哲學和數學。不是數學家的物理學家總是與物理學分離。名不副實的哲學家數學家少之又少，更不要說欺世盜名的了，這是不爭的事實。
本書包含30篇短文，其中前25篇概括介紹了壹位偉大的科學巨人在取得巨大成就時的壹個非凡想法；第二十六條講的是作為壹個學者的品格的高傲的孤獨——只有在孤獨中沈思的人，才能在黑暗中瞥見最微弱的光；接下來的三篇文章分別講述了壹個中學老師、壹個工廠學徒、壹個農民如何用壹個非凡的想法影響了科學；最後壹個講的是普通人如何享受學習，參與科學創造。在保持內容通俗易懂的同時，我還是堅持加入壹些深刻的東西，包括數學公式。有句話說，每多壹個公式，書的讀者就會減少壹半。按照這種說法，這本書的閱讀人數將少於1。但我不太相信這種說法。每個健康的人都喜歡挑戰。數學公式之所以能嚇走讀者，可能是因為公式出現的方式生硬，虛張聲勢。就像有些人把德國哲學翻譯成晦澀難懂的文本，問題在於作者或譯者的不道德而不是數學或哲學的不兼容。如果讀者對這本書裏的數學公式不感興趣，不妨直接跳過，不影響感受那些科學巨擘的奇思妙想。但是，希望讀者能盡力理解這些看似困難的事情，不要遺憾空手回寶山。在壹些章節之後，我會列舉壹些非常專業的參考文獻。我覺得在這樣壹本書裏列出這些專業的內容是沒有必要的。雖然這些文檔可能是用妳還不知道的語言寫的，或者它們的內容不容易理解，但是如果這些內容激起了妳心中成為理科碩士的激情，那麽這些文檔就有可能成為妳的敲門磚。總有壹天，妳能讀到它——也許妳還覺得它很簡單。
這本小書是作者的學習筆記，心得體會，也是發自心底的壹聲嘆息。因為作者的技巧是輕蔑的，雖然可以給朋友們看偉大學術創造過程中腳手架的遺跡，但不足以讓人壹窺科學創造的道路。對科學事業感興趣的朋友們，請盡快嘗試閱讀科學巨擘們自己的著作，盡快從獨特的視角達成對大師們偉大成就的理解。
理解科學大師們的人和成就的壹個好處是，它會讓妳變得謙遜——發自內心地，真誠地。
這本書的閱讀對象是任何對這本書感興趣的人。作者無意也沒有能力將難度控制在某壹水平；其實作者根本不接受知識可以分為中學生、大學生、研究生、教授都能理解的不同層次的觀點。如果壹本書能讓不同的讀者或多或少有所收獲，哪怕只是閱讀時會心的壹笑，那就是成功。另外，如果我們讀的書壹點都不難，我們的進步從何而來？
妳壹定已經註意到，這裏沒有提到許多偉大思想的閃光。沒事的。這是壹個開放的系列，以後會增加更多的內容。
我所屬的這個民族，雖多災多難但永無止境，無論如何都會對科學做出實質性的貢獻。為此，我們要學會如何學習，如何創造。動手吧，安格雷芬，索福特！
曹則賢
2065438+2003春季寫作
2015秋季在北京定稿。