函數和方程
函數思想是指用函數的概念和性質來分析、改造和解決問題。方程的思想是從問題的數量關系入手，用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式或方程和不等式的混合組)，再通過解方程(組)或不等式(組)來解決問題。有時候，函數和方程是相互轉化、相互聯系的，從而解決問題。
笛卡爾的方程思想是:實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙充滿了平等和不平等。我們知道哪裏有方程式，哪裏就有方程式；哪裏有公式，哪裏就有方程式；評估問題通過求解方程來實現...諸如此類；不等式問題也與方程是近親有密切關系。函數和多元方程沒有本質區別。比如函數y = f (x)可以看作是關於x和y的二元方程f (x)-y = 0，可以說函數的學習離不開方程。列方程，解方程，研究方程的特性，都是應用方程思想時重要的考慮因素。
函數描述自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系的數學模型，從而開展研究。體現了“聯系與變化”的辯證唯物主義觀點。函數的思想壹般來說是利用函數的性質構造函數來解決問題，常用的有單調性、奇偶性、周期性、最大最小值、圖像變換等。要求我們掌握壹次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特征。在解題中，善於挖掘問題中隱含的條件，構造分辨函數和巧妙函數的性質，是運用函數思想的關鍵。只有對給定的問題進行深入、充分、全面的觀察、分析和判斷，才能產生此消彼長的關系，構建功能原型。此外，方程問題、不等式問題以及壹些代數問題也可以轉化為與之相關的泛函問題，即用泛函的思想解決非泛函問題。
函數知識涉及知識點多，範圍廣，在概念、應用、理解上都有壹定的要求，所以是高考的重點。我們運用函數思想常見的幾類題型是:遇到變量時，構造函數關系解題；從函數的角度分析不等式、方程、最小值、最大值等問題；在多變量的數學問題中，選擇適當的主變量，揭示它們之間的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系，應用函數性質或不等式等知識求解；算術，幾何級數，通項公式，前n項求和公式都可以看作n的函數，數列的問題也可以用函數法解決。
等效變換
等價變換是將未知解的問題轉化為在現有知識範圍內可以解決的問題的壹種重要的思維方法。通過不斷的轉化，把不熟悉的、不規則的、復雜的問題轉化為熟悉的、規範的、甚至簡單的問題。這些年來，高考中到處都是等價轉換的思想。要不斷培養和訓練我們自覺的轉化意識，這將有助於加強我們解決數學問題的適應性，提高我們的思維能力和技能。變換包括等價變換和非等價變換。等價變換要求變換過程中的因果是充分必要的，以保證變換後的結果仍然是原問題的結果。非等價變換的過程是充分的或必要的，因此需要對結論進行修正(例如不合理的等價有理方程需要進行根檢驗)，這能給人帶來思維的亮點，找到解決問題的突破口。在應用中必須註意等價與不等價的不同要求，在實現等價變換時要保證其等價性和邏輯正確性。
著名數學家、莫斯科大學教授C.A .亞捷卡亞曾在壹次給數學奧林匹克參賽者的題為《什麽是問題求解》的演講中說:“解決壹個問題就是把它變成壹個已經解決的問題”。數學的解題過程就是從未知到已知，從復雜到簡單的轉換過程。
等效變換法的特點是靈活多樣。運用等價變換的思想方法解決數學問題，沒有統壹的模式。可以在數、形與形、數與形之間轉換；可以在宏觀層面上進行等價轉換，比如在分析和解決實際問題的過程中，從普通語言到數學語言的翻譯；它可以在符號系統內實現變換，這就是所謂的同壹性變形。消元法、換元法、數形結合、求值求值域問題都體現了等價變換的思想，我們經常在函數、方程、不等式之間進行等價變換。可以說，等價變換就是把恒等式變形的代數變形擡高，以保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性，我們應該合理地設計轉化的途徑和方法，避免生搬硬套題型。
在數學運算中實施等價變換時，要遵循熟悉、簡化、直觀、規範的原則，即把遇到的問題轉化為熟悉的問題來處理；或者把比較復雜繁瑣的問題變成比較簡單的問題，比如從超越到代數，從無理到有理，從分式到代數表達式等等。或者更難解決、更抽象的問題，轉化為更直觀的問題，以準確把握解題過程，如數形結合；還是從非標到標。根據這些原理，數學運算在轉化過程中可以省時省力，就像順水推舟壹樣，經常滲透等價轉化的思想，可以提高解題的水平和能力。
分類討論
在解決壹些數學問題時，有時會出現很多情況，需要分類逐壹解決，然後再綜合解決方案。這就是分類討論法。分類討論是壹種邏輯方法，是壹種重要的數學思想，是壹種重要的解題策略，體現了化整為零的思想和分類整理的方法。關於分類討論思路的數學問題，具有明顯的邏輯性、綜合性和探索性，能夠訓練人的思維順序和概括性，因此在高考題中占有重要地位。
分類討論的主要原因有以下幾個方面:
①對問題中涉及的數學概念進行分類定義。比如|a|的定義分為a & gt0、a=0、a & lt0三種情況。這種分類討論題可以稱為概念性的。
②問題中涉及的數學定理、公式、運算性質、規律，限定範圍或條件，或分類給出。比如幾何級數的前n項之和的公式，可以分為Q = 1和q≠1兩種情況。這種分類討論題可以稱為自然型。
③用參數解題時，壹定要根據參數取值範圍的不同來討論。比如解不等式ax & gt淩晨2點& gt0，a = 0和a
另外，壹些不確定的量，不確定的圖形的形狀或位置，不確定的結論等。主要通過分類來討論，以確保它們的完整性，並使它們具有確定性。
討論分類時應遵循以下原則:分類對象確定、標準統壹、不遺漏不重復、分類科學、明確優先、不跳過討論。最重要的壹條是“不漏不重”。
在回答分類討論題時，我們的基本方法和步驟是:首先要確定討論對象的範圍和整個討論對象；其次，確定分類標準，正確合理分類，即標準統壹、不漏重、分類互斥(不重復)；然後分類逐級討論，分級得出階段性結果；最後進行總結，得出全面的結論。
數形結合
中學數學的基礎知識分為三類:壹類是純數的知識，如實數、代數表達式、方程(組)、不等式(組)、函數等。壹類是關於純形式的知識，如平面幾何、立體幾何等。壹個是關於數形結合的知識，主要體現在解析幾何中。
數形結合是壹種數學思維方法，包括“以形助數”和“以數助形”兩個方面。其應用大致可分為兩種情況:壹種是借助形狀的生動性和直觀性來闡明數字之間的關系，即以形狀為手段，以數字為目的，如用函數的形象直觀地說明函數的性質；或者借助數字的精確性和嚴謹性來闡明壹個形狀的某些性質，即以數字為手段，以形狀為目的，比如用曲線的方程來精確闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說:“數學是研究現實世界中數量和空間形式之間關系的科學。”數形結合是以數學問題的條件和結論之間的內在聯系為基礎，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀性，從而將數量的精確描述與空間形式的直觀形象巧妙地、和諧地結合起來，充分利用這種結合，找出解決問題的方法，使問題變難為易，化繁為簡，從而得到解決。“數”與“形”是壹對矛盾，宇宙萬物都是“數”與“形”矛盾的統壹。華先生說:數少了，就不那麽直觀，數少了，就很難細致入微。數形結合，各方面都好，壹切都是封閉的。
數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀的形象相結合，關鍵是代數問題與圖形的相互轉化，可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在用數形結合的方法分析和解決問題時，要註意三點:壹是要吃透壹些概念和運算的幾何意義和曲線的代數特征，數學題目中條件和結論的幾何意義和代數意義都要分析；二是合理設置參數，合理使用參數，建立關系，將數由數轉化為形。三是正確確定參數的取值範圍。