高等數學課程內容體系改革的思路與實踐
評《高等數學》(第二版)
李忠
《高等數學》(第二版)的前身是1998出版的《高等數學簡明教程》(全三冊)。1996年秋至1998年春，我們在北京大學物理系、無線電電子系、技術物理系高等數學教學過程中，在課程內容體系上進行了壹些嘗試，出版了《高等數學簡明教程》(全三冊)，並獲得了2002年全國高校優秀教材壹等獎。2004年，該書進行了第壹次全面修訂。作為“十五”國家規劃教材，內容由三冊調整為兩冊，並更名為《高等數學》。
這本書的主要讀者是高校物理專業的學生。高等數學(或者簡單的說，微積分)對於這些專業的意義不言而喻。然而，這門課程對壹些學生來說往往很難，甚至令人望而生畏。這本書的主要指導思想是調整壹些傳統的教學方法，讓微積分的教學回歸原始，平實自然，有趣有用。
在這次修訂中，我們刪除了壹些定理的證明，包括閉區間上連續函數的有界性定理、介值定理、最大值和最小值定理、隱函數存在定理等。這種刪除並不意味著教學基本要求的改變，恰恰相反。這些定理的證明出現在原書中，或以附錄的形式出現，或明確表示超出了教學大綱的要求，不需要在課堂上講授。盡管如此，把它們寫在書中可能會誤導老師或學生，模糊教學的基本要求，增加老師和學生不必要的心理負擔。最好是簡單地刪除它們。所以，這是為了讓這本書更清晰地體現教學的基本要求。
這套教材在內容處理上也有以下幾點，供同行討論:
1.與傳統教材相比，該教材在教學內容的順序上做了壹些調整。
目前國內大部分高等數學教材都是先微積分後微積分。這樣做的好處是數學理論體系清晰，缺點是積分的概念出來的太晚，讓初學者有與微分和積分概念脫節的感覺。此外，由於積分概念的出現較晚，數學與其他課程，如力學、普通物理等課程嚴重脫節。
在這本教材中，我們先把微積分的基本概念和計算放在壹起，講完微積分的基本定理和積分的計算後，再開始講微分中值定理和泰勒公式。這種調整的主要目的是讓初學者盡早理解和掌握微積分的基本思想，掌握其最核心、最有用、最生動的部分。同時，這壹調整也緩解了與其他課程的矛盾。所以我們認為這種調整可能是解決大學壹年級物理專業與其他基礎課脫節的途徑之壹。
微積分就其最初的核心思想和形式而言，簡單自然，容易被理解和接受。隨著歷史的發展，邏輯基礎的強化，各種研究的深入，它變成了壹個“龐然大物”，讓初學者望而生畏。現在，重要的東西如何選擇，如何在短時間內展現給學生，不能說是壹個問題，值得我們思考和探索。
第二，極限概念的處理。
極限的概念和實數理論的處理壹直是微積分教學改革中爭論的焦點之壹。我們認為，極限的嚴格定義，即“ε-δ”和“ε-N”，是要認真講的，因為要處理壹些復雜的極限過程，特別是涉及到函數級數的壹致收斂時。物理專業的學生可能要學很多更高級的數學，不可能掌握極限的嚴格定義。
但我們不同意壹開始就花大力氣反復訓練“ε-δ”，從而形成壹種“大頭極限論”。我們希望隨著課程的深入，讓學生在反復使用中逐漸熟悉和掌握。在目前的教材中，用ε-δ證明特定函數極限的習題並不多，更不用說難度很大的極限習題了，因為做太多這樣的習題意義不大。極限的概念在這套教材中是嚴謹的，同時保留了其簡單、直觀、自然的品格。
與極限概念密切相關的是關於實數域完備性的幾個定理。我們采取了分散的方法。在書的開始，有限單調有界序列作為實數完備性的數學描述被介紹。有了它，在很多關於極限的討論中就足夠了。第壹章只描述了閉區間上連續函數的性質，沒有證明，證明也只是作為附錄，供有興趣的讀者閱讀。在討論級數之前，再次涉及實數域的完備性，然後引入柯西收斂原理，以適應級數討論的需要。這種去中心化的方法不僅分散了困難，也使初學者更容易看到這些基本定理在所涉及問題中的意義。
第三，本書堅持傳統教材中的基本內容和基本訓練，但拓寬了內容範圍。
在內容的選擇上，我們采取了非常謹慎的態度。近年來，高等數學課程內容現代化改革的呼聲很高。但是，作為壹門基礎數學課程，簡單地把現代化作為其改革的主要目標似乎是不合適的。數學中概念的壹致性使得它不可能像電子設備壹樣“更新”和“推陳出新”，而對於壹個理工科學生來說，掌握微積分的基本概念、理論和訓練似乎仍然是必不可少的。當然，計算機的廣泛使用和數學軟件功能的日益完善，正在促使我們思考簡化或減少高等數學課堂上的壹些計算內容。但是就目前的情況來看，我們還是很難下決心取消壹些內容。為了慎重起見，在這次改革實驗中，我們保留了傳統教材中的基本內容和基本訓練。
我們認為，目前更新高等數學課的內容並不重要，重要的是避免繁瑣教學的傾向，不要在壹些小問題上做文章。這樣做不僅扭曲了數學，也讓學生苦不堪言。
國際著名數學家庫朗曾經尖銳地批評數學教育。他指出:“自2000年以來，掌握壹定的數學知識被視為每個受過教育的人必須具備的智力。數學在教育中的特殊地位在今天面臨著嚴重的危機。不幸的是，數學教育工作者應該為此負責。數學教學逐漸變成簡單微積分的無意義練習，可以發展形式微積分的能力，但對真正理解數學和提高獨立思考的能力沒有幫助……”
庫蘭特是對的。數學教育需要改革，我們任重道遠。
(作者是北京大學數學研究所教授。)
《高等數學》(第2版)，李忠、周劍英主編，北京大學出版社，定價58.00元(上下)。
起點低，時代感強
評《數學建模簡明教程》
臟話
20世紀90年代以來，“數學模型”壹詞逐漸在中學數學教育中流行起來。這是壹件值得慶祝的大事。事實上，將“數學模型”引入數學教學，不僅僅是增加了壹點教學內容，還涉及到數學觀念的改變，從整體上推動了數學教育的進步。
多年來，我國數學教育有忽視“數學模型”教學的傾向。數學等同於“邏輯推理”和“解決難題”，突出了數學的理性思維，卻痛斥數學的應用和數學模型的建立是“實用主義”和“短視行為”，結果必然是壹邊倒的。如果讓這種錯誤的數學觀繼續下去，數學就會與現實失去聯系。
幸運的是，這種忽視應用的數學概念正在迅速改變。在數學教育中，數學建模已經成為國家數學課程標準的組成部分。數學建模競賽和數學應用競賽吸引了大批青少年關註數學的應用。
華東師範大學數學系袁振東教授，為促進中學數學建模教學的發展，結合多年的教學和科研經驗，編著了《數學建模簡明教程》壹書。這本書起點低，坡度小，但涵蓋了數學建模的主要內容，尤其註重數學建模思想的闡述和計算機的應用，時代感很強。期望通過這些努力，幫助學生學會如何從現實中抽象出數學問題，如何收集整體數據，如何正確運用所學的數學知識和方法進行再創造和創新，利用計算機獲得符合問題要求的數學模型。
《數學建模簡明教程》，袁振東等主編。，華東師範大學出版社，2002年2月，定價:18.00元。
內容簡潔經典
評《數學分析簡明教程》
郭
《數學分析簡明教程》從實數連續統的描述入手，建立嚴格的極限概念，從而建立微積分的運算體系和理論，講述壹些基本的應用。從離散操作系統到連續操作系統的過渡提供了壹套連續操作系統及其數學理論，因此是全新的。
書中的內容都是以實數系為基礎，對四則運算封閉，本身連續，所以成為數學分析活動的舞臺。在學習這本書的過程中，還要註意物理力學背景模型(實物)、幾何形象直觀(形象)、抽象微積分推理(數量)的結合，融為壹體，這樣才能在頭腦中形成典型例題，巧妙準確地進行計算。這本書也是學習數學、自然科學和現代科技的最基礎的課程。
這本書簡潔經典，有壹些經典習題，有壹些難題，還有壹些考研題目。對於數學專業的學生來說，這是壹本好書。
然而，該書也有壹些因疏忽而造成的錯誤。比如第二冊15頁的case 4 ~ 5，應該是un+1，但在書中卻是uu+1。
總的來說，這本書寫得不錯，值得數學愛好者學習。
《數學分析簡明教程》(上下)，鄧東臯、尹曉玲著，高等教育出版社，6月1999，定價27.40元，13096。