戰國時期的屈原(公元前340年-公元前278年)、莊周(公元前369年-公元前286年)等人的著作都反映了古人的如下觀點:天地是從壹種“混沌”的蒙昧狀態中誕生的。到了西周末年(公元前八世紀)，有了“土、金、木、水、火雜有百物”的說法，把金、木、水、火、土五行(其中以土為主)作為萬物的本源。《管子》視水為萬物之源，包括生物界。
戰國中期，宋朔和殷聞進壹步提出了新的觀點。他們指出:“萬物皆精，攀比為生。名生五谷，上為星，流於天地之間，名為鬼神，藏於胸中，名為聖人”(《管子內功》)。這是在後世得到充分發展的元氣論的早期論述。
春秋戰國時期也產生了天地不斷運動發展的觀點。《管子·廢》指出:“天地不能留，故移，變舊從新起”。這壹觀點與樸素唯物主義的原始生命力理論有機結合，再加上古代天地起源於混沌的思想，是中國古代天演論思想的精髓。
春秋戰國時期的石角(約公元前370年-約公元前310年)說:“天從左起，地從右起”(《死魂靈》)，引入了地球運動的概念，隱含了壹個關於運動相對性的重要概念，成為後世發展的重要起點。
到西漢末年，隨著運動相對性原理的闡明，地震動理論有了很大的發展。對運動相對論概念最精彩的論述是尚舒威考淩瑤，他用壹個具體的形象來比喻:“人坐在壹只大船上，門是關著的，船是沒有知覺的。”
早在戰國時期，關於宇宙時空無限的樸素觀點就已經得到了社會上很多人的認可。石角曾說:“宇宙上下四面八方，過去就是現在。”。也就是說，“於”指的是東、南、西、北、上、下六個方向，“周”包括過去、現在和未來的時間。而與《詩教》同時出現的墨家經典的觀點則更進了壹步。它認為“空間”包括所有不同的地方，“宇宙”包括所有不同的時間。這樣，宇宙就包含了所有不同的空間和時間，包括對無限時空的最初認識。天文學中國古代的天文記錄連續不斷，資料豐富，其中壹些在現代天文學研究中發揮了重要作用。
公元前2世紀，中國就有了太陽黑子的記錄，歐洲的伽利略(1564-1642)用望遠鏡看到太陽黑子1610多年。中國從公元前43年到公元1638年有106個太陽黑子記錄，周期為10.6±0.43年。同時存在62年和250年的長周期，與現代天文學的觀測結果壹致。
中國古代有大量的彗星記錄，首次記錄了平均周期為76年的哈雷彗星的出現。從春秋戰國到清末，中國31部典籍中都記載了哈雷彗星的出現。
在中國古代，我們不僅觀察彗星的形狀和位置，而且對彗星的成因也有見解。成書於公元644-646年的《晉誌》載:“昏迷無光，太陽有光，故指晚東，晨西。日本南北，指太陽，其芒失意，或長或短。”在歐洲，直到公元1532年才有類似的認識。
公元前687年，中國首次記錄到天琴座流星雨。中國古代大約有180次流星雨的記錄。其中，天琴座流星雨記錄了約九次，英仙座流星雨記錄了約十二次，獅子座流星雨記錄了七次。這些記錄也將是研究流星群軌道演化的重要信息。
流星體落到地面變成隕石或鐵的事實在中國也有記載。《史記》中有“星星落到地上，也是石頭”的解釋。11世紀北宋時，沈括發現隕石中的主要成分是鐵。在歐洲，直到1803之後，人們才意識到隕石是流星體落到地面後的殘留物。
從商代到公元1700年，中國記錄了約90顆新星和超新星。中國古代的十二顆超新星記錄中，有八九顆對應射電源。這是中國古代觀測恒星的偉大成就，也是對現代天文問題探索的傑出貢獻。
星表是幾顆恒星的測量坐標(通常還有其他特征)的匯編。它是天文學中非常重要的工具。在中國古代，星表是經過多次測量和編制的。最早的是戰國時期。它的觀察者是石申，魏人。他的活動可以追溯到公元前4世紀。石星表的赤道坐標有兩種表達方式。無論哪種方式，其本質都與現代天文學廣泛使用的赤道坐標系相壹致。然而，在歐洲，赤道坐標系的廣泛使用始於16世紀。古希臘最早的星表是由希臘天文學家伊巴古(約公元前190-125)在公元前二世紀編制的。在伊巴谷之前，另外兩位希臘天文學家也測量了壹些恒星的位置，但也是在公元前三世紀。都比石申工作的晚。
中國古代繪制星圖有著悠久的傳統。不算那些示意性的星圖或者僅僅是畫出單個恒星群的圖形，作為記錄恒星位置的科學星圖，可以追溯到公元前壹世紀。
子午線，地球的經度線。測量子午線的長度可以確定地球的大小。子午線長度是地理學、大地測量學和天文學的重要基礎數據。
早在公元前三世紀和公元前壹世紀，古希臘的天文學家就已經兩次測定了子午線長度。然而，它們並沒有全部被實際測量。比如在距離上，都是基於商隊或者商船的估算。
中國的天文學家是第壹個用科學方法實際測量子午線長度的人。由著名天文學家和尚壹行於唐玄宗十二年(公元724年)發起。測量結果轉化為現代計量單位，子午線壹度長129.22公裏。根據現代測量，它曾經有111.2公裏長。壹行數據的誤差為13.9%。
雖然壹行數據誤差略大，但這是世界上第壹次測得的子午線長度。開創了中國通過實測認識地球的道路；徹底打破了日影壹寸之遙的謬論；它將地理緯度測量和距離測量結合起來，不僅為制作新歷法創造了條件，也為後來的天文大地測量奠定了基礎。
春秋末期(公元前五世紀)，中國開始使用古代的季歷，其實際年份為365.25，是當時世界上使用的最精確的數值。希臘的伽利略歷法相當於中國古代的四分之壹歷法，但比我國晚了100年左右。南宋楊仲甫在《統壹歷》中首次使用了365.2425的精確年表值，制定於宋寧宗慶元五年(公元1199)。歐洲著名的歷法“公歷”也使用這個數值，但比“統壹歷”晚了400年左右。明末《星雲錄》測得年齡為365.242190天，僅比現代理論計算的年齡小27天，精度超過了當時歐洲天文學的水平。
《易經·鳳卦》中有記載“月圓則食”，公認月食是有規律的，只有月圓時才會發生。
戰國時的石申知道日食與月亮有關，意識到日食壹定發生在新月或黃昏。西漢末年，劉向在《五經依桐》中說:“食日者，必被月遮。”可見，最遲在西漢時期，日食的成因就已經明白了。東漢張衡在《陵縣》中對月食的原因解釋得比較清楚，認為月光來自太陽，大地遮住了太陽光，導致了月食。數學在中國古代，數學以計算為主，取得了輝煌的成就。其中，十進制記數法、計算和珠算對數學的發展起了重要作用，它們的優勢在世界數學史上也是值得稱道的。
自從有文字記載以來，中國的記數法壹直沿用十進制，具有明顯的價值體系意義。其實只要把“千”、“百”、“十”、“有”這些詞取消了，就和價值體系記數法基本壹樣了。
規劃完成於春秋戰國時期。這個計劃壹出現，就嚴格遵循十進制記數法。如果數字多於九，它將進入壹個地方。同壹個數放在百位就百位，放在萬位就萬位。除了使用的數字不同於通常使用的印度-阿拉伯數字之外，這種記法基本上與當前的記法相同。
負數出現後，計算籌碼分為紅色和黑色，紅色籌碼代表正數，黑色籌碼代表負數。計算還可以表示各種代數表達式，進行各種代數運算，方法類似於現在的分離系數法。中國古代在數字計算和代數方面的輝煌成就，都與計算密切相關。比如祖沖之的圓周率精確到小數點後第六位，就需要計算壹個正的12288邊的多邊形的邊長，將壹個九位數平方22次(加減乘除的步驟除外)。如果沒有小數計算方法，那就困難多了。
在文化相對發達的古希臘，由於重視幾何，輕視計算，計數方法非常落後。所有的希臘字母都用來表示從壹到壹萬的數字，當字母不夠時，就在字母旁邊加上符號“'”。公元3世紀前印度使用的記數法是希臘和羅馬，兩者都不是價值體系。十進制記數法實際上出現在公元6世紀末..可見，中國古代的十進制記數和計算在世界數學史上應該占有重要地位。
《周髀算經》成書於西漢末年(公元前壹世紀)。就數學內容而言，書中用勾股定理記錄了天文計算，還有更復雜的分數計算。當然也不能說這兩種算法直到公元前壹世紀才被人們掌握。只能說明《周並行計算書》是已知資料中比較早的記錄。
公元壹世紀中國撰寫的數學專著《九章算術》繼承了先秦數學的發展，標誌著中國古代數學體系的形成，其對中國古代數學未來發展的影響如同古希臘(約公元前330-275年)歐幾裏得的《幾何原本》對西方數學的影響壹樣深遠。在中國，直接作為數學教育的教材使用了壹千年。它在代數方面有很多世界第壹的成就。《九章算術》是世界上最早的對分數運算的系統描述，余缺算法是壹個驚人的創造。“方程”壹章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減算法。其他數學成果還有:比例問題、雙解、某些面積和體積的計算、線性方程組的求解、平方根、平方根、壹般二次方程的求解等。
從數學成就來看，首先要提到的是，該書記載了當時世界上最先進的四分法運算和比例算法。書中還記載了用勾股定理解決各種面積和體積問題以及各種測量問題的算法。《九章算術》最重要的成就在代數。書中記載了平方根和平方根的方法，並在此基礎上有了求解壹般壹元二次方程的數值解法(第壹項系數不為負)。還有壹整章是關於解聯立方程的，本質上和現在中學的方法是壹樣的。這比歐洲同類算法早了1500多年。同章，在世界數學史上首次記載了負數的概念和正負數的加減算法。
但《九章算術》也有其不容忽視的缺點:沒有任何數學概念的定義，沒有給出推導和證明。公元三世紀的劉徽(約225-295)對《九章算術》作了註釋，極大地彌補了這壹缺陷。
劉徽定義了壹些數學概念，全面論證了《九章算術》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題。他在數學理論方面取得了巨大成就。
劉輝對數學概念的定義是抽象而嚴謹的。他揭示了概念的本質，基本滿足了現代邏輯和數學對概念定義的要求。他在使用這個概念時保持了自己的身份。
劉輝發展了互補進出原理，成功證明了許多可化為面積和體積的勾股和平方根問題的公式和算法的正確性。
無窮小除法和極限思想在數學證明中的成功應用是劉輝最突出的貢獻。
《九章算術》提出了圓面積S = L/2 r的公式(S為圓面積，L為圓周長，R為半徑)。劉輝通過將其圓化為內接正多邊形求出面積，從而證明S = L/2 r，劉輝指出，這個公式中的周長是“最自然數”，即π。在這個公式的基礎上，他算出了π的兩個近似值157/20和3927/1250，在中國首次建立了求圓周率的科學方法，為中國在國際上長期領先研究圓周率奠定了基礎。
劉輝對體積的評論觸及了現代體積理論的核心，指出四面體體積的求解是多面體體積理論的關鍵，但不是有限除法和棋譜檢驗就能解決的。為了解決這個問題，他提出了壹個重要的原則，“邪能解堵，壹個是馬洋，壹個是龜洞。”楊媽第二，烏龜第壹，來之不易。“這叫劉輝原則。從現代數學大師高斯和希爾伯特討論這個問題到現在已經將近100年了。
劉徽的註釋從多方面表達了“祖宣之理”的命題，從而證明了《九章算術》中球體體積公式的錯誤。他設計了漠河方蓋，指出球的體積與漠河方蓋的體積之比為π∶4，只要計算出後者的體積，就可以計算出球的體積。他雖然查不出方蓋的體積，但還是誠懇地說“他會說話”，表現出壹個大學者的雅量。這個問題最後被祖沖之父子解決了。
《九章算術》和劉徽註以其卓越的數學成就和獨特的數學體系而著稱。它不僅對東方數學，而且對整個世界數學的發展都產生了深遠的影響，在科學史上占有極其重要的地位。它的出現標誌著中國從公元前1世紀開始取代古希臘成為世界數學的中心，為中國數學領先世界1500多年奠定了基礎。在計算機出現和發展的今天，它的算法和編程思想仍然激勵著數學家。
劉徽筆記中有許多有價值的成果。若根未窮盡，建議繼續求根，求其“差數”，用小數逼近無理根，開創小數先例；他還認識到不定方程有無窮多個解，等等。劉慧竹形成了壹套數學體系，他把數學看成是壹棵大樹，樹枝分開，但樹幹壹樣。他認為數學是“規則”與“度量”的統壹，即空間形式與量的關系。基於這些深刻的認識，除了少數錯誤，他的證明思路清晰，論據充分，條理清晰，推理嚴謹；而且多采用演繹推理，沒有循環論證。這是壹個嚴格的數學證明。有了劉輝的證明。《九章算術》的公式解法是建立在真實可靠的基礎上的。
劉輝的計算方法只用到了圓內接多邊形的面積，不需要外切形狀的面積。這在程序上比古希臘數學家阿基米德(公元前287-公元前212)計算圓內接外切的正多邊形要簡單得多，可以事半功倍。同時，為了解決圓周率的問題，劉徽初步的極限概念和直曲線變換的思想，在1500年前的古代也是很有價值的。
繼劉徽之後，南北朝傑出的數學家祖沖之把圓周率計算到了更精確的程度，取得了極其輝煌的成就。根據隋書對該定律的記載，祖沖之確定圓周率的近似值為3.1415926，圓周率的近似值為3.1415927，真值在這兩個近似值之間，即3.1415926
同時，祖沖之還確定了圓周率的兩個分數形式的近似值:近似比=22/7，密度比=355/113。
祖沖之的圓周率是3.1415926的短近似值和3.1415927的剩余近似值，精確到小數點後七位，這在當時的世界上是非常先進的，直到壹千年後，15世紀的阿拉伯數學家阿爾·卡西(？-1436)和16世紀法國數學家吠陀(1540-1603)打破了祖沖之的記錄。
祖沖之提出的秘率，壹千年後才被德國奧托(約1550-1605)和荷蘭安托尼(1527-1607)奪回。
《島嶼計算書》是劉徽寫的。這本書講的都是用基準測量兩次，三次，最復雜的是四次，解決測量的各種數學問題。這些測量數學是中國古代非常先進的地圖學的數學基礎。
中國古代數學經過從漢到唐壹千多年的發展，已經形成了壹個比較完整的體系。在此基礎上，宋元時期(10世紀至14世紀)又有新的發展。宋元數學發展之快，數學著作之多，成就之高，可以說是中國古代數學史上最輝煌的壹頁。
特別是13世紀下半葉，在短短幾十年間，先後出現了秦(1202-1261)、(1192-1279)、楊輝、朱世傑四位著名數學家。所謂宋元舒舒，是指這四位大師流傳至今的數學著作，包括:秦著《舒舒九章》(公元1247)；葉莉的《圓海鏡》(公元1248)和《壹古衍端》(公元1259)；楊輝九章算法(AD 1261)、日常算法(AD 1262)、楊輝算法(AD 1274-1275)；朱世傑的算術啟蒙(公元1299)和思遠遇見(公元1303)。
《舒舒九章》主要講述了兩個重要成果:高次方程的數值解法和壹次同余解法。書中有些問題要求解十次方程，有些問題的答案多達180個。《圓海鏡》和《壹古衍端》講述了宋元數學的另壹項成就:天術(用代數方法定方程組)；還講述了直角三角形和內切圓引起的線段之間的關系，這是中國古代數學中特有的幾何。楊輝的作品講述了宋元數學的另壹個重要方面:實用數學和各種簡單算法。這是隨著社會經濟發展而興起的新方向，為算盤的出現創造了條件。朱世傑的《算術啟蒙》是當時啟蒙的教材，由淺入深，循序漸進，直到當時的數學更加高深。《思源遇見》記載了宋元數學的另外兩項成就:二次技巧(解高階方程問題)和高階等差數列與高階微分法。
與西方同類成果相比，宋元時期的這些成果有:高階方程的數值解法比霍納(1786-1837)法早了500多年，四元數法比貝佐(1730-1783)法早了400多年，高階差分法比牛頓(65438+
宋元典籍記載的輝煌成就再次證明，直到明朝中葉，中國在科技的許多方面都遙遙領先。
宋元以後，明清時期的算術書也很多。比如明代有壹本著名的算術書《算術大壹統》。這是壹本關於算盤的通俗讀物。
清朝初年，蒙古族科學家明嘎圖(？—1765)在《割線密度法》壹書中，完整地證明了正弦和反正弦的冪級數展開式、л的無窮級數表達式等9個公式，為用解析方法研究三角函數和圓周率開辟了新的途徑。
項名達(1789—1850)是清代嘉慶、道光年間的數學家，他在《象數相同》壹書中總結推廣了三角函數展開的研究成果。同時，他還得到了橢圓周長公式。項名達計算橢圓周期的程序完全符合橢圓積分定律。
由此可見，中國古代傳統割線技術已經超出了計算圓弧的範圍，發展到了橢圓的情況，從而進壹步把對直曲線關系轉換的認識提高到了壹個新的水平。
從明加圖和項名達的成就也可以看出，這壹時期的中國數學家已經有了壹些微積分思想的萌芽。為了真實地證明圓面積公式，劉徽創造了著名的割圓術。
劉輝從圓內接的六邊形切圓，得到圓內接的多邊形依次為:6×2，6×22，…。然後，劉輝把擬合圓的正多邊形分成以圓心為頂點，各邊長為底邊的無限個等腰小三角形，最後求這些小三角形的面積之和。因為圓的半徑乘以每邊的長度是每個小三角形面積的兩倍，所以這些小三角形的面積之和(即圓的半徑乘以圓的周長)是圓面積的兩倍，證明了圓的半徑(R)乘以圓的周長(2πR)除以2的圓面積公式。劉徽原理《九章算術》給出了洋馬(直角四棱錐)的體積公式和中華鱉(呈勾股形狀的四邊四面體)的體積公式。
為了證明這兩個體積公式，劉輝首先提出了壹個重要的原理:將壹個切塊(壹個長方體沿兩對邊斜切，得到兩個切塊)分解為壹匹公馬和壹只甲魚。“雄馬占兩處，甲魚占壹處，不易”，即雄馬與甲魚的體積比為2: 65438。
在求解了長方體、切塊、馬洋、龜巢的體積公式後，劉輝將其他多面體分成有限個長方體、切塊、馬洋、龜巢，求它們的體積之和，從而求解這些多面體的體積問題。這種認為多面體體積論是建立在楊媽和中華鱉身上，也就是建立在無窮小除法上的想法，和現代數學的體積論驚人的壹致。三世紀時，劉徽開始思考困擾19世紀高斯、希爾伯特等數學家的問題:不借助無窮小除法，是不可能求解四面體體積的。劉輝的貢獻得到了1985法國布爾巴基學派舉辦的希爾伯特第三次學術研討會的贊揚，實至名歸。祖墳原理與球體的體積唐代李等人在評論《九章算術》時引用的祖宣開圓法提出了壹個重要原理:如果兩個高度相同的立體的截面積總是相等的，那麽它們的體積就壹定相等。現在稱之為“成祖原理”，西方稱之為卡瓦列裏原理(公元1635)。
更壹般地說，如果兩個高度相同的立體的橫截面積不變，那麽它們的體積也壹定不變。這個原理是中國古代解決體積問題的又壹個重要理論，實際上是無窮小除法的另壹種形式。
劉徽用球的兩個外切圓柱正交，其公部稱為“牟和方蓋”。他指出球的體積與外切牟和方蓋的體積之比為π∶4。很明顯，只要計算出正方形蓋子的體積，球的體積就求解出來了。劉輝功虧壹簣，沒能搞清楚方蓋的體積。
兩百年後，祖宣對球的外切立方體進行了深入的研究，用兩個正交的圓柱體把方蓋的其余部分切開。他考慮將剩余部分的八分之壹在正方體內部、正方形蓋子外部切成三塊，稱為外三棋。他利用勾股定理等知識，發現外三棋每壹層的截面積之和等於壹匹長、寬、高與球半徑相等的倒置公馬的等高截面積。根據祖原理，外三棋子的體積等於倒公馬的體積，即65438+球半徑的立方的0/3，所以八分之壹方蓋的體積是球半徑的平方的2/3，整個方蓋的體積是球直徑的立方的2/3，所以球的體積是:π乘以方蓋的體積再除以4。祖軒成功完成了劉輝未竟的事業。李用尖錐求積繼劉徽、祖沖之之後，無窮小的除法思想在中國壹千多年沒有新的進展。直到清代中葉，明加圖在研究三角函數的冪級數展開時，才提出了“解析到無窮”的思想。項名達和戴旭(1805-1860)提出的橢圓尋找周期的計算方法，符合橢圓積分法的原理，重新涉及了這壹領域。李(1811-1882)清道光二十五年(公元1845年)出版的關於三角函數、對數函數、對數原點的三本書。其中，錐求積技巧提出了幾個與定積分公式等價的命題。李用尖錐求積法解決了許多問題。
李的圓錐求積是在他接觸西方微積分之前發明的，這說明中國數學家完全有能力獨立打開微積分的大門。
高次方程的數值解法與天體術在中國古代，解方程被稱為平方術。到了宋代，平方根法發展為高階方程的數值解法，創造了乘法和乘法，創造了排列方程的方法——天元法和求解高階方程的方法——四元法，遠遠領先於當時世界的先進水平。
四元法利用四元數消元法解題，將四元數由壹元變為三元，再由壹元變為二元，再由壹元變為壹元，從而得到壹個只含壹元的天元開法，再利用乘法開方法求正根。這和今天解方程的方法基本壹致。在歐洲，直到18世紀，法國數學家貝佐(公元1775)才系統地描述了高次方程的消元問題。
中國古代數學家不止壹次攀上了當時世界數學發展的高峰，在當時方程的研究上取得了無與倫比的成就，為世界數學史和文明史做出了巨大貢獻。這是中華民族的驕傲。當然，任何事物都可以壹分為二。中國古代對方程的研究往往局限於解決實際問題，基礎理論尤其是方程的性質不被重視。因此，也有不可忽視的缺點。比如，雖然負數的發現和應用在中國是最早的，但解方程壹直局限於求正根，負根從來沒有考慮過；方程的根的個數和次數的關系以及根和系數的關系從來沒有討論過。即使是《易谷園》中相鄰的兩個問題的答案也不過是同壹個二次方程的兩個根，但劉壹和楊輝都沒有指出這壹點。四元法不能應用於四元以上的方程；等壹下。在現代數論中，中國的余數定理“物不知數”的問題是壹次同余問題，最早出現在公元四世紀的《孫子兵法》數學經典中。《孫子算經》中壹個同余問題的求解，就有了現代數論中著名的余數定理的雛形。
秦是壹位偉大的數學家，他在公元1247年收集了前人方法的成果，寫成了《九章》。這部中世紀的數學傑作是在多方面創造的。其中“求解壹個同余組的大求導”和求解高次方程數值解的“正負平方抽取”更是國際上意義重大的成果。
秦在《舒舒九章》中清晰系統地描述了解壹次同余組的壹般計算步驟。秦的“大拓求術”正是現代數論中的余數定理。
從孫子計算中的“不知數多少”到秦的“推而廣之”，中國古代數學家對壹個同余式的研究，不僅在中國數學史上，而且在世界數學史上都占有光輝的地位。在歐洲，與秦同時代的意大利數學家裴博納希(1170—1250)在《算法》壹書中給出了兩個壹次同余問題，但沒有通用算法，整體水平沒有超過《孫子兵法》中的水平。直到18、19世紀，大數學家歐拉(1707-1783)和高斯(1777-1855)在1801中也做了同樣的比較。中國古代數學家在壹個同余理論的研究上有明顯的獨創性和繼承性。“推而廣之求壹技之長”在世界數學史上的崇高地位毋庸置疑。正因為如此，在西方數學史著作中，求解壹個同余組的剩余定理被理所當然地稱為“中國剩余定理”。