設置分形統計模型:
分形混沌與礦產預測
其中r表示特征尺度，c > 0稱為比例常數，d > 0稱為分維，N(r)表示大於等於r的尺度數(當分維d前面的符號為負時，記為N(≥r))或小於等於r的尺度數(當分維d前面的符號為正時，記為N(≤r))。
為了便於研究，方程(3.3.1)可以分解成以下兩個方程:
分形混沌與礦產預測
許多地質現象都具有尺度不變性的特征，如巖石碎塊、斷層、地震、火山爆發、礦藏和油井。這些現象的頻率和大小之間的分布是尺度不變的。分形分布的特點要求數大於等於壹定的尺度，與物體的大小存在冪函數關系，即(3.3.1)的關系。比如R可以代表黃金等級，N(。r也可以表示壹個圓的半徑，N(≤r)表示落入半徑為r的圓內的礦體數量.
分形分布的特點要求物體的數量大於壹定的尺度，與物體的大小存在冪函數關系。在地質現象的統計分布中，冪函數分形分布(即冪函數分布、帕累托分布和契波夫分布)不是唯壹的，還有對數分布等其他類型。但冪函數分形分布是唯壹沒有特征尺度的分布。這樣，這些分布可以應用於那些具有尺度不變性的地質現象。
模型的建立，其實就是分形(相似)模型的建立。利用相似原理，建立模型單元，對預測單元進行分形處理和預測。
為了求分維d，將觀測數據(N(r1)，N(r2)，…，N(rn))和(r1，r2，…，rn)畫在雙對數坐標紙上。如果散亂點大致分布在壹條直線上，利用直線的斜率就可以求出分形維數d。N(rn))和(r1，r2，…，rn)代入公式(3.3.1)，然後取兩邊的對數，(3.3.1)轉化為線性回歸模型:
分形混沌與礦產預測
最小二乘法對斜率d的估計就是分形維數。目前幾乎都是用這種方法(傳統方法)求分維D，雖然這種方法求D簡單，但結果可能不正確(Bethea等，1985)，參數C和D要用非線性回歸模型估計。
其實方程(3.3.1)是壹個非線性回歸模型，其中c和d是未知參數，用非線性回歸模型的最小二乘法直接得到的方程(3.3.1)中參數d的估計量也是壹個分形維數。這種新方法得到的分形維數d優於傳統方法(即3.3.655)
新方法具有以下優點:
(1)用傳統的方法求分形維數d，要同時對原始數據(N(r1)，N(r2)，…，N(rn))和(r1，r2，…，rn)進行變換，但在大多數情況下，原始數據特別(。
(2)利用新方法可以得到分形維數估計量的近似偏差和方差，也可以得到近似預測偏差和方差。用傳統方法無法得到上述結果(用新方法得到的(3.3.2)式中d的偏差和方差與(3.3.1)式中d的偏差和方差有根本的不同)。
(3)在擬合分形模型時，新方法得到的參數估計量優於傳統方法，即殘差平方和更小(殘差平方和是衡量擬合優度的壹個定量指標)，參數估計量更穩定。
3.3.2分形統計模型的模擬研究
我們在計算機上生成了1000個區間為[0，1]的均勻分布、標準正態分布和對數正態分布的隨機數，並將每個分布的隨機數分成10組(即每組有1000個隨機數，* *有30組)，用於分形統計模型的模擬研究。
將每組1000個隨機數從小到大排列，將隨機數分布的總區間分成k個子區間，統計隨機數進入第I個子區間的頻率NFi(i=1，2，…，k)，其中r為正整數。
這樣就得到數據(N(r1)，N(r2)，…，N(rn))和(r1，r2，…，rn)。將這些數據代入分形統計模型(3.3.1”)，利用最小二乘法可以得到分形維數。
具體計算結果見表3-1、表3-2和表3-3。
表3-1均勻分布D的分維估計量
表3-2正態分布D的分維估計
表3-3對數正態分布的分形維數估計
在表3-1、表3-2和表3-3中:①對於均勻分布的隨機數，k=150，n=26，ri=2i(i=1，2，..., 26);②對於正態分布的隨機數，k=80，n=21，ri=2i+10(i=1，2，…，21)；③對數正態隨機數，取k=100，n=21，ri=2i(i=1，2，…，21)；④對於不同分布的隨機數據，k和r的取值範圍不同，主要是根據數據(N(r1)，N(r2)，…，N(rn))和(r1，r2，…，rn)。在這個範圍內，有無標度區和統計要求。⑤隨機抽取1000個樣本，滿足統計推斷的要求。
從表3-1、表3-2和表3-3中的數據可以推導出以下結果:
(壹)新方法得到的分維估計比傳統方法得到的分維估計更趨於穩定，因為標準差是對數據離散程度的定量描述，標準差越小，數據越集中在平均值附近。
(b)分形維數D值可以表示隨機數或樣本之間的結構。根據分形統計模型(3.3.1”)，可以看出，D值越小，隨機數或樣本之間的差異越小，即均勻性越好。反之，D值越大，隨機數或樣本的差異越大。也就是均勻性差。均勻分布(均勻性好)(平均值0.1287)的隨機數分維小於正態分布(均勻性中等)(平均值0.6853)和對數正態分布(均勻性差)(平均值0.9762)。上述結論與實際情況相符。
3.3.3應用示例
西藏羅布莎鉻鐵礦床成礦預測。
西藏羅布莎鉻鐵礦床是目前中國已知最大的鉻鐵礦床，已探明鉻鐵礦儲量近500萬噸，占中國已探明儲量的三分之壹以上。因此，對西藏羅布莎鉻鐵礦床進行成礦預測具有重要意義。
羅布莎蛇綠巖位於著名的雅魯藏布江蛇綠巖帶的東部，岡底斯火山-巖漿弧的南側。巖體呈弧形向北突出分布於晚三疊世含少量結晶灰巖和細碧斑巖的復理石建造與晚白堊世海相火山巖、放射蟲矽質巖和新近紀山間磨拉石建造之間。巖體平面形狀似透鏡體，部分被斷層錯列。主體東西向延伸，長約30km。
通過對該礦床的研究，認為地表礦體、礦群和礦床儲量的空間分布具有良好的分形結構特征，即自相似性，分形統計模型(3 . 3 . 1′)可作為第四系覆蓋下勘查區礦體、礦群及其資源量的預測模型。
1.地質條件
研究表明，雖然羅布莎礦段和向嘎山礦段礦體的出露標高和位置略有不同，巖石和礦石的化學成分和物理性質也有所不同，但它們都處於同壹地幔橄欖巖中，屬於同壹成巖成礦作用的產物。原構造含礦雜巖帶統壹，構造分析表明全區礦體處於同壹構造含礦雜巖帶中。因此，將模型區域擴展到整個兩個礦段在地質上是可行的。
2.數學條件
羅布莎鉻鐵礦床自相似系統的參數表現出自相似性。觀測數據(N(r1)，N(r2)，…，N(rn))和(r1，r2，…，rn)繪制在雙對數坐標系中(即lgn (r)-lgr)。即存在無標度區。自相似性是事物在壹定尺度範圍內(無標度區)不隨觀察尺度而變化的性質，無標度區55cm部分得到的結論可以外推至整個無標度區。模型區地表礦體、礦組及其儲量的空間分布具有良好的分形結構，即自相似性。因此，在沈積物的自相似系統中，可以外推無標度區的上限。
3.模型區和預測區的相似性和類比性
預測的礦體和礦組為第四系覆蓋區下基巖表面的礦體和礦組，預測的資源量與模型區的C+D儲量相對應。第四紀研究表明，預測區第四系為殘坡積和少量冰磧，因此認為模型區和預測區地表風化剝蝕條件和礦體保存條件相似，模型可以外推。
4.數據源和參數估計
(1)地表礦體
模型區內有***152地表礦體分布在1: 1000地形地質圖上標註的構造含礦雜巖帶內(見圖3-1和圖3-2)，每個礦體視為壹個以其中心為代表的點(圖3-3和圖3)，計算每次落圓的礦體數，記為N(r)(表3-4)。在LGR-LGN (r)坐標中放點，用最小二乘法擬合直線，得到直線的方程如下:
分形混沌與礦產預測
以D(0)=0.7841，C(0)=100.9348=8.6060為初始叠代值，用新的方法得到了分形統計模型(3 . 3 . 1’)中的最小二乘估計量(分維)、量和殘差平方和。9.4039)= 114.6947 < Q0(0.7841，8.6060) = 125.3347。最大固有曲率γ n = 0.03418 < 0.220 = 60。0.05))(見附錄A)。此時分形統計模型(3 . 3 . 1’)的內在非線性強度很弱，可以忽略。因此，分形統計模型(3 . 3 . 1’)可以作為地表礦體預測的數學模型。即:
分形混沌與礦產預測
表3-4地表礦體數據
(2)表面礦物群
在1∶10000地形地質圖上，模型區含礦雜巖帶內有14個礦組。每壹個礦群可以看作是壹個以其中心為代表的點。中心和半徑的定義與地表礦體相似，R值仍與地表礦體相同。圓心固定，用不同的半徑R畫圓，計算每次落入圓內的礦石。
分形混沌與礦產預測
以D(0)=0.8982，c(0)= 10-0.3130 = 0.4864為初始叠代值，用新的方法得到了分形統計模型(3 . 3 . 1’)中的最小二乘估計量(分形維數)、量和量。0.4864)=1.38，最大固有曲率γn = 0.04715 < 0.2205 = 1/(2f 1/2(2，6，0.05))(見附錄A)。這時，分形統計模型(。
分形混沌與礦產預測
表3-5地表礦物組數據
圖3-1羅布莎地區構造示意圖
圖3-2羅布莎-張嘎構造剖面圖
(三)存款準備金
在1∶10000的地形地質圖上，研究了模型區構造含礦雜巖帶內C+D級鉻鐵礦儲量4211418t的分布數據。中心和半徑的定義與地表礦體相似，中心是固定的，因此計算出在不同的R半徑處落入球內(實際是因為儲量分布投影在1: 10000的地形地質圖上)，C+D級礦石儲量記為N(r)(表3-6)，用最小二乘法在LGR-LGN (r)坐標上擬合壹條直線得到線性方程:
分形混沌與礦產預測
以D(0)=0.7048，C(0)= 105.5101 = 323668.176為初始叠代值，用新的方法得到分形統計模型(3 . 3 . 1’)中的最小二乘。367166.9)= 0.3350161×1012 < Q0(0.7048，323668.176)= 0.3551732×1012最大固有曲率γn = 0.00此時，分形統計模型(3 . 3 . 1’)的固有非線性強度很弱，可以忽略，因此分形統計模型可以忽略。
即:
分形混沌與礦產預測
表3-6地表礦石儲量數據
圖3-3為水平投影面上的礦洞投影點示意圖。
5.預測結果和參數意義的解釋
以礦群中最大的礦體為中心，r = 5，10，15，…，50，55 cm(在1 ∶ 10000的地形地質圖上)，將R代入上式(3.3.3)，(3.3)。總資源量減去r=55cm處的已知資源量，即為象山礦段第四系下的預測資源量。結果為:43個“地表”礦體，4個“地表”礦組(四舍五入)，資源量(鉻鐵礦):1071815.342t。總鉑族元素平均品位為0.497g/t，總資源量為532.692kg，預測結果與常規方法計算結果吻合較好(見圖3-5、圖3-6、圖3-7)。
密度定義為ρ=N(r)/(πr2)=(C/π)rD-2。
當D=2.0時，密度ρ=C/π，說明密度均勻；
當d > 2.0時，密度ρ隨r的增大而增大；
當d < 2.0時，密度ρ隨r的增大而減小；
當r=1.0時，C =ρρ= N(1)。
0.6654(礦床儲量分維)< 0.7568(地表礦體分維)< 0.9298(地表礦群分維)< 2說明隨著R的增加，礦床儲量、地表礦體和地表礦群密度逐漸降低。
因此，分維D定量表達了礦體分布的密度變化趨勢，C代表了礦體分布的初始值，對礦產資源勘查、預測和評價具有重要的指導意義。
圖3-4礦體中心在東西垂直投影面上的投影點示意圖
圖3-5礦體原始數據曲線擬合圖
圖3-6地表礦物組原始數據曲線擬合
圖3-7儲量原始數據曲線擬合