1. 美國初中數學競賽（AMC 8, American Mathematics Contest 8）參加對象為8年級及以下年級學生，該競賽於每年11月的壹個星期二舉行．由25個單項選擇題相成，答對壹題壹分，答錯不扣分，滿分25分；競賽時間40分鐘．重賽的目的是通過這樣壹種對學生有吸引力的考試，增加學生在數學方面的興趣及學習數學的熱情，促進學生學習中學必修最少數學課程之外的數學內容，增強問題解決的能力．通過考試，確定學生個人掌握初中數學大綱中廣泛內容的情況通過參加考試及其後對解答的研究，能使學生感知數學課程中問題解決活動的重要性．考試內容與7、8年級數學大綱相聯系，包括（但不局限在）整數、分數、小數．百分數及比例等算術，以及數論、日常的幾何、周長、面積、體積、概率及統計、邏輯推理等．該考試給參加者提供了應用初中所學概念來處理由易到難並包含廣泛應用的考題的機會．許多考題被設計來挑戰學生並提供給他們多數初中數學教室中所不能得到的解決問題的經驗．獲得高分的學生被邀請參加美國高中數學競賽．
2. 美國高中數學競賽（AMC 10/12, American Mathematics Contest 10/12）參加對象為高中或高中以下年級學生，從2000年開始，壹般每年二月初的星期二舉行，競賽時間75分鐘．競賽題由25個單項選擇題構成．答對壹題6分，答錯0分，未答壹題1.5分；總分150分．競賽的目的是通過這樣壹種對學生有吸引力的考試，鼓勵學生帶著興趣解決數學問題，確定學生在問題解決有面的能力．進壹步而言，其主要目的是通過解決具有刺激***富於挑戰的問題提高學生在數學方面的興趣及能力；另壹個特殊的目的是幫助在數學方面傑出的學生．競賽內容為除去微積分以外的高中數學, 所選問題與解決方案都闡明相應的壹個重要的數學原理．有時有些問題的選擇答案列出了細微但非偶然的混淆及常見的計算錯誤、有些問題還有快捷的“技巧性”的解決方案；這些第壹次出現時似乎是技巧的方法正是解決大量問題的技術；由於獲得這些技能．學生的數學技能及方法將得到極大提高和擴充．由於考題是為從壹般學校的普通學生到重點學校的優秀生階段中的每壹位而設計的，考題的安排由易到難，考生將發現大多數的題都具有挑戰性但在他們力所能及的範圍內．由於考察偽能力及知識面很廣，考生的成績分布很廣，通常在AMC12中獲得100分及以上或在AMC10中獲得120分及以上的考生比例較低，這些學生將被邀請參加美國教學邀請賽，高中低年級學生有機會多次參加AMC10/12，並自豪地發現自己能力的變化．
3. 美國數學邀請賽（AIME，American Invitational Mathematics Examination）始於1983年，在AMC 10/12A的後五星期舉行，考試時間為3小時、競賽題由“15個答案為0壹999中的整數的問題構成．答對壹題得壹分，答錯不扣分；滿分15分．考題有相當的難度，考生壹般不能通過猜測得到正確答案．考試內容為除去徽積分外的中學數學．與美國高中數學競賽及美國數學奧林匹克競賽壹樣，考題都能用不超過微積分外的中學教學方法解決．AIME的目的是，與AMC結合，確定大學之前階段在數學方面傑出的學生，選拔美國數學奧林匹克競賽的參加者．該考試試圖為數學方面有優勢的高中生提供過壹步挑戰並提供認識其才幹的機會．與其他競賽壹樣，該考試提供了壹種進壹步發展數學才幹，提高數學興趣的途徑；而且其實有的價值在於考前的準備及考後對考題的進壹步思考和討論．這是本論文的重點．
4. 美國數學奧林匹克競賽（USA(J)MO, United Sates of America (Junior) Mathematical Olympiad）始於1972年（USAJMO始於2010年），AIME後六星期舉行；考試時間分為兩天***9小時．由6個問答及證明題構成．每題7分，不完全的答案及證明得部分分；考題都能用微積分之前的數學方法解決．USAMO的目的是，發現並挑戰具有傑出才幹（高超的獨創性，豐富的數學知識及優秀的計算專長的統壹）的中學生；發掘這些可能是下壹代數學界的精英的學生的數學才幹．每年大約260-270名基於AMC 12及AIME的高分者被邀請參加USAMO，230-240名基於AMC 10及AIME的高分者被邀請參加USAJMO，只有美國公民或在美國的合法居住者才有資格參加此考試；之前階段的競賽無此要求．
以上各競賽都禁止使用計算器．AMC及AIME歡迎外國學生參加．
5. 數學奧林匹克夏令營（MOSP，Mathematical Olympiad Program）由大約50個有前途的學生（含國際數學奧林匹克競賽美國隊的六名成員）及指導教師組成．USAMO Winner以及非12年級的USAMO Honorable Mention將被邀請，另外還有USAJMO中表現突出的9或10年級學生，以及8-10名女生備戰中國女子數學奧林匹克。夏令營將在壹些重要的數學領域中給學生提供豐富的知識、深人的內容以激發他們保持和提高在數學方面的興趣，為進壹步研究數學做充分準備．這些內容包括組合論證，生成函數，圖論，遞推關系，嵌進和與積，概率，數論，多項式，方程理論，復數，算法證明、函數方程，Ramsey定理，幾何，抽屜原理，包含排除，經典不等式等內容（傳統上，與其他國家相比，這些內容在美國的學校受到較少重視），深入認識理解這些內容才能在國際數學奧林匹克競賽中有合理的表現．夏令營還努力在參加者中營造壹種友好的合作關系，並讓他們感受到合作及自尊的愉快．夏令營保證了美國隊在國際數學奧林匹克競賽中的表現，恰當的反映了美國最優秀的學的能力和創造性．歷時四周的夏令營結束後，由USAMO的前六名組成的美國隊參加國際數學奧林匹克競賽（視情況而定，如2011年美國IMO隊員選拔取決於他們在MOSP及各種競賽中的表現，2012年則是USAMO的前六名）．
6. IMO（International Mathematical Olympiad）國際數學奧林匹克競賽開始於1959年，美國從1974年開始參加該競賽，1997年7月，在第38屆國際數學奧林匹克競賽中，美國隊取得總分202分（並列第四名）的好成績．美國中學數學競賽委員會認同美國隊參加IMO的目的有以下幾點：給美國隊提供壹個與其他國家的數學家及科學家接觸交流的機會．積累MOSP中培訓、教育優秀學生的經驗；通過美國隊參加IMO後，公眾對其的宣傳及重視，以及傑出學生所樹立的榜樣激發鼓勵美國中學生及教師中的優秀人才；以此具有吸引力的競賽為論壇，交流數學及數學教育思想，這些思想對確定美國中學數學的重點是有益的；促進國家之間的團結，數學因其具有世界性，能起到這方面的作用．