索洛增長模型(Solow Growth Model)
索洛經濟增長模型綜述
索洛增長模型是羅伯特·索洛提出的發展經濟學中的著名模型，又稱新古典經濟增長模型和外生經濟增長模型，是新古典經濟學框架內的經濟增長模型。
在世界股市暴跌1987之際，英國皇家瑞典學院科學院宣布，今年的諾貝爾經濟學獎授予麻省理工學院教授羅伯特·M·索洛(Robert M Solow)，他壹直在與裏根政府的經濟政策博弈，主張政府必須有效幹預市場經濟。許多經濟學家認為，紐約股市的大動蕩恰恰印證了索洛的理論，使他的經濟增長理論成為當今世界的研究熱點之壹。然而，他的理論——壹個長期經濟增長模型，顯示了不同因素如何影響經濟增長和發展——早在30年前就在壹篇題為《對經濟增長理論的貢獻》的論文中提出了。[1]
索洛模型變量
外生變量:儲蓄率、人口增長率和技術進步率。
內生變量:投資
索洛模型的數學公式
模型的基本假設[1]
索洛在構建其經濟增長模型時，既吸收了哈羅德-托馬斯經濟增長模型的優點，又摒棄了後者令人費解的假設。
梭羅認為，哈羅德-托馬斯模型只是壹個長期經濟體系中的“刀片平衡”，其中儲蓄率、資本產出率和勞動力增長率是主要參數。如果這些參數稍有偏差，結果要麽會增加失業，要麽會導致長期通脹。用哈羅德的話來說，這種“刀片平衡”是由保證增長率(用Gw表示，取決於家庭和企業的儲蓄和投資習慣)和自然增長率(用Gn表示，取決於技術不變條件下勞動力的增加)的相等來支撐的。
索洛指出，Gw和Gn之間這種脆弱平衡的關鍵在於哈羅德-托馬斯模型的勞動力不能替代資本的假設，勞動力與資本在生產中的比例是固定的。如果放棄這個假設，Gw和Gn之間的“葉片平衡”就會消失。基於這壹思想，索洛建立了壹個沒有固定生產比率假設的長期增長模型。
該模型的假設包括:
1.只生產壹種產品，既可以消費，也可以投資。
2.產出是資本折舊後的壹種凈產出，即模型考慮了資本折舊。
3.規模收益是常數，即生產函數是壹階齊次關系。
4.兩種生產要素(勞動和資本)按其邊際實物生產率支付。
5.價格和工資是可變的。
6.勞動力總是充分就業的。
7.勞動和資本可以互相替代。
8.有技術進步。
在這些條件下，索洛模型表明:在技術系數可變的條件下，人均資本隨著時間的推移有自我調整到均衡狀態的傾向(圖1，k1和k2逐漸趨向於ko)，即當人均資本大於其均衡狀態(k2)時，人均資本會逐漸減少，即資本的增加會比勞動的增加慢得多；反之亦然。索洛集中從人均資本的角度分析了均衡(即穩態)增長路徑。
模型的基本框架[1]
梭羅認為經濟中的總產出僅僅是壹種產品的產出。它的年產量用Y(t)來表示，Y(t)代表社會的實際收入，壹部分被消費掉，剩下的用於儲蓄和投資。儲蓄占總產品的比例是固定的，即儲蓄量為sY(t)。K(t)是股本。這種資本存量的增加就是凈投資，即dk/dt，或者因此，索洛模型的基本方程可以寫成:
(1)
因為產出是由資本和勞動生產的，所以技術能力可以通過生產函數來反映:
Y=F(K，L) (2)並且該函數滿足規模回報率為常數的假設。
將公式(2)代入公式(1)，有:
(3)
其中l代表勞動力。
因為人口增長是壹個外生變量，勞動力以恒定增長率n增加。因此:
(4)
梭羅將N視為哈羅德無技術進步的自然增長率(Gn)，L(t)為T期的可用勞動力供給。(4)公式的右邊表示從0期到T期的勞動力綜合增長率..我們也可以把方程(4)看作勞動力的供給曲線。“它說的是，指數增長的勞動力對就業完全沒有彈性。勞動力供給曲線是壹條垂直線，根據公式(4)隨著勞動力的增長向右移動。因此，調整實際工資率，使所有可用的勞動力都能被雇用，邊際生產率方程決定了這壹實際控制的工資率。”
將等式(4)代入等式(3)，Solow給出以下基本等式:
(5)
他把這個方程作為壹個時間軌跡方程，來確定當所有可利用的勞動力都被充分利用時，必須遵循的資本積累。壹旦知道了資本存量和勞動力的時間軌跡，就可以根據生產函數計算出相應的實際產出的時間軌跡。實際工資率的時間軌跡可以由邊際生產率方程確定，即(6)
索洛對經濟增長的過程總結如下:“在任何時候，可用的勞動力供給由等式(4)給出，可用的資本存量也是壹個已知的數。由於生產要素的實際報酬可以調整，以充分利用勞動力和資本，我們可以使用生產函數方程(2)來計算當前產量。因此，儲蓄傾向告訴我們有多少凈產出將用於儲蓄和投資，這樣我們就知道了當期的凈資本積累，加上積累的存貨，為下壹期提供了可用資本。”
可能的增長類型[1]
上壹節的方程(5)有助於研究資本勞動比(K/L)的行為。因此，索洛引入了壹個新的變量R來表示資本勞動比，即人均資本。因此，或者K=rL。將等式(4)代入該表達式，我們得到:
(7)
用時間對等式(7)求導，以獲得股本變化率的等式:
(8)
將等式(5)代入等式(8)得到:
(9)
等式(9)顯示了在勞動力充分就業並且每個時期的儲蓄是充分就業產出的壹部分的假設下，資本如何保持增長。
規模收益不變的假設意味著生產函數是壹階齊次函數。用於除以等式(9)以獲得:
(10)
從等式(10)兩邊同時減去nr，得到:
最後把資本勞動比寫成r，得到索洛的基本方程:
(11)
其中，R——人均資本存量(K/L)
n-勞動力增長率()
F (r，1)-人均產出函數或人均收入函數SF (r，1)-指人均產出中用於儲蓄或投資的產品數量方程(11)，表明實際用於儲蓄的產品數量[SF (r，1)]。
基於基本方程(11)，Solo用圖形說明了可能的增長類型(見圖-1)。
在圖-1中，橫軸是人均資本R，縱軸是人均產出Y (y = y/L)。過原點的直線是函數nr，另壹條曲線是y=sF(r，1)。
圖—1的可能增長類型。
表示函數sF(r，1)表示資本的邊際生產率遞減。這兩條曲線相交於nr=sF(r，1)，即橫坐標為R’。當時人均資本不變，人均資本增長率等於勞動力增長率且均為n，資本勞動比r '壹旦確定，就保持不變，資本和勞動都按這個比例增加。如果規模報酬不變，實際產出將以相同的相對比率(n)增加，每個勞動力的產出不變。
如果R '與實際R不壹致，資本勞動比會發生什麽變化？如果r & gtr’，那麽nr & gtSF(r，1)，r會減小到接近r’；相反，如果r
圖2生產率曲線。
但圖-1所示的強穩定性並不是絕對的，這取決於生產率曲線sF(r，1)的形狀。在圖2中，生產率曲線sF(r，1)與nr曲線在r1、r2和r3處相交。R1和r3穩定，r2不穩定。“系統不是按照資本勞動比r1均衡，也不是按照r3均衡，這取決於初始可觀測的資本勞動比。在任何情況下，勞動力供給、資本存量和實際產出都會以比率n逐漸增加；但在r1左右，其資本小於r3左右，因此前者的人均產出水平低於後者。那麽，對於O和r2的初始比，對應的均衡增長均衡是r1，而對於任何大於r2的初始比，對應的均衡增長均衡是r3比r2本身是壹個均衡但不穩定的增長率，任何偶然的擾動都會在壹定時期內被誇大。這樣畫出的數字-2使生產在沒有資本的情況下繼續進行。”
索洛對他的長期增長模型總結如下:“當在通常的比例變化和不變回報的新古典主義條件下進行生產時，自然增長率和保證增長率之間就有可能不存在明顯的矛盾。也許不會有...任何“刀片”。該系統可以調整任何給定的勞動力增長率，並最終達到壹種“按比例增長”的穩定狀態，即:
索洛增長模型的基本含義[2]
索洛增長模型的基本含義是:人均資本擁有量的變化率？取決於人均收入儲蓄率sf(k)與按照既定的資本勞動比裝備每個新增人口所需的資本量nk之差。
索洛增長模型sf(k)=？+nk還表示另壹層意思。壹個社會的人均儲蓄率sf(k)有兩個目的:
第壹，對於人均資本擁有量的增加？即給每個人配備更多的資本設備，這叫“資本的深化”；
二是為每個新增人口提供平均資本設備nk，稱為“資本普及”。換句話說，經濟體中的儲蓄全部轉化為投資後，壹部分用於提高人均資本擁有量(資本深化)，另壹部分用於新增人口。