嵌牛導讀：什麽是 ARIMA模型
嵌牛鼻子： ARIMA
嵌牛提問： ARIMA模型可以具體應用到什麽地方？
嵌牛正文：
壹、研究目的
傳統的經濟計量方法是以經濟理論為基礎來描述變量關系的模型。但經濟理論通常不足以對變量之間的動態聯系提供壹個嚴密的說明，而且內生變量既可以出現在方程的左端又可以出現在方程的右端使得估計和推斷變得更加復雜。為了解決這些問題而出現了壹種用非結構方法來建立各個變量之間關系的模型，如向量自回歸模型（vector autoregression,VAR）和向量誤差修正模型（vector error correction model,VEC）。
在經典的回歸模型中，主要是 通過回歸分析來建立不同變量之間的函數關系（因果關系），以考察事物之間的聯系 。本案例要討論如何 利用時間序列 數據本身建立模型，以研究事物發展自身的規律 ，並據此對事物未來的發展做出預測。研究時間序列數據的意義：在現實中，往往需要研究某個事物其隨時間發展變化的規律。這就需要通過研究該事物過去發展的歷史記錄，以得到其自身發展的規律。在現實中很多問題，如利率波動、收益率變化、反映股市行情的各種指數等通常都可以表達為時間序列數據，通過研究這些數據，發現這些經濟變量的變化規律（對於某些變量來說，影響其發展變化的因素太多，或者是主要影響變量的數據難以收集，以至於難以建立回歸模型來發現其變化發展規律，此時，時間序列分析模型就顯現其優勢——因為這類模型不需要建立因果關系模型，僅需要其變量本身的數據就可以建模），這樣的壹種建模方式就屬於時間序列分析的研究範疇。而時間序列分析中，ARIMA模型是最典型最常用的壹種模型。
二、ARIMA模型的原理
1、ARIMA的含義。 ARIMA包含3個部分，即AR、I、MA。AR——表示auto ?regression，即自回歸模型；I——表示integration，即單整階數，時間序列模型必須是平穩性序列才能建立計量模型，ARIMA模型作為時間序列模型也不例外，因此首先要對時間序列進行單位根檢驗，如果是非平穩序列，就要通過差分來轉化為平穩序列，經過幾次差分轉化為平穩序列，就稱為幾階單整；MA——表示moving average，即移動平均模型。可見，ARIMA模型實際上是AR模型和MA模型的組合。
ARIMA模型與ARMA模型的區別：ARMA模型是針對平穩時間序列建立的模型。ARIMA模型是針對非平穩時間序列建模。換句話說，非平穩時間序列要建立ARMA模型，首先需要經過差分轉化為平穩時間序列，然後建立ARMA模型。
2、ARIMA模型的原理。 正如前面介紹，ARIMA模型實際上是AR模型和MA模型的組合。
AR模型的形式如下：
其中：參數為常數，是階自回歸模型的系數；為自回歸模型滯後階數；是均值為0，方差為的白噪聲序列。模型記做——表示階自回歸模型。
MA模型的形式如下：
其中：參數為常數；參數是階移動平均模型的系數；為移動平均模型滯後階數；是均值為0，方差為的白噪聲序列。模型記做——表示階移動平均模型。
ARIMA模型的形式如下：
模型記做。為自回歸模型滯後階數，為時間序列單整階數，為階移動平均模型滯後階數。當時，，此時ARIMA模型退化為MA模型；當時，，ARIMA模型退化為AR模型。
3、建立ARIMA模型需要解決的3個問題。 由以上分析可知，建立壹個ARIMA模型需要解決以下3個問題：
（1）將非平穩序列轉化為平穩序列。
（2）確定模型的形式。即模型屬於AR、MA、ARMA中的哪壹種。這主要是通過 模型識別 來解決的。
（3）確定變量的滯後階數。即和的數字。這也是通過 模型識別 完成的。
4、ARIMA模型的識別
ARIMA模型識別的工具為自相關系數（AC）和偏自相關系數（PAC）。
自相關系數： 時間序列滯後k階的自相關系數由下式估計：
其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關系數。稱為時間序列的自相關系數，自相關系數可以部分的刻畫壹個隨機過程的形式。它表明序列的鄰近數據之間存在多大程度的相關性。
偏自相關系數： 偏自相關系數是在給定的條件下，之間的條件相關性。其相關程度用偏自相關系數度量。在k階滯後下估計偏自相關系數的計算公式為：
其中是在k階滯後時的自相關系數估計值。稱為偏相關是因為它度量了k期間距的相關而不考慮k-1期的相關。如果這種自相關的形式可由滯後小於k階的自相關表示，那麽偏相關在k期滯後下的值趨於0。
識別：
AR(p) 模型 的自相關系數是隨著k的增加而呈現指數衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決於AR(p)模型滯後項的系數；AR(p)模型的偏自相關系數是p階截尾的。因此可以通過識別AR(p)模型的偏自相關系數的個數來確定AR(p)模型的階數p。
MA(q) 模型 的自相關系數在q步以後是截尾的。MA(q)模型的偏自相關系數壹定呈現出拖尾的衰減形式。
ARMA(p,q) 模型 是AR(p)模型和MA(q)模型的組合模型，因此ARMA(p,q)的自相關系數是AR(p)自相關系數和MA(q)的自相關系數的混合物。當p=0時，它具有截尾性質；當q=0時，它具有拖尾性質；當p,q都不為0，它具有拖尾性質。
通常，ARMA(p,q)過程的偏自相關系數可能在p階滯後前有幾項明顯的 尖柱 ，但從p階滯後項開始逐漸趨於0；而它的自相關系數則是在q階滯後前有幾項明顯的 尖柱 ，從q階滯後項開始逐漸趨於0。
三、數據和變量的選擇
本案例選取我國實際GDP的時間序列建立ARIMA模型，樣本區間為1978—2001。數據來源於國家統計局網站上各年的統計年鑒，GDP數據均通過GDP指數換算為以1978年價格計算的值。見表1：
表1：我國1978—2003年GDP（單位：億元）
年度GDP年度GDP年度GDP
19783605.6198610132.8199446690.7
19794074198711784.7199558510.5
19804551.3198814704199668330.4
19814901.4198916466199774894.2
19825489.2199018319.5199879003.3
19836076.3199121280.4199982673.1
19847164.4199225863.7200089340.9
19858792.1199334500.7200198592.9
四、ARIMA模型的建立步驟
1、單位根檢驗，確定單整階數。
由單位根檢驗的案例分析可知，GDP時間序列為2階單整的。即d=2。通過2次差分，將GDP序列轉化為平穩序列?。利用序列來建立ARMA模型。
2、模型識別
確定模型形式和滯後階數，通過自相關系數（AC）和偏自相關系數（PAC）來完成識別。
首先將GDP數據輸入Eviews軟件，查看其二階差分的AC和PAC。打開GDP序列窗口，點擊View按鈕，出現下來菜單，選擇Correlogram（相關圖），如圖：
打開相關圖對話框，選擇二階差分（2nd difference），點擊OK，得到序列的AC和PAC。（也可以將GDP序列先進行二階差分，然後在相關圖中選擇水平（Level））
從圖中可以看出，序列的自相關系數（AC）在1階截尾，偏自相關系數（PAC）在2階截尾。因此判斷模型為ARMA模型，且，。即：
3、建模
由以上分析可知，建立模型。首先將GDP序列進行二次差分，得到序列。然後在Workfile工作文件簿中新建壹個方程對話框，采用 列表法 的方法對方程進行定義。自回歸滯後項用ar表示，移動平均項用ma表示。本例中自回歸項有兩項，因此用ar(1)、ar(2)表示，移動平均項有壹項，用ma(1)表示，如圖：
點擊確定，得到模型估計結果：
從擬合優度看，，模型擬合效果較好，DW統計量為2.43，各變量t統計量也通過顯著性檢驗，模型較為理想。對殘差進行檢驗，也是平穩的，因此判斷模型建立正確。