最早的數學空間概念是歐氏空間。它來源於對空間的直觀，反映了對空間的直線性、均勻性、各向同性、包容性、位置關系(距離)、立體性，乃至無限延展性、無限可分性、連續性的初步認識。然而，長期以來，人們對空間的認識僅限於歐幾裏德幾何的範圍，認為它與時間無關。19世紀20年代，非歐幾何的出現，突破了歐幾裏得空間是唯壹數學空間的傳統觀念。非歐幾何中的空間概念更為抽象，與歐空間統壹為常曲率空間，是黎曼空間的特殊形式。19世紀中期，G.F.B .黎曼也引入了流形的概念。這些概念不僅對物理空間的理解起了很大的作用，而且極大地豐富了數學中的空間概念。
19世紀末20世紀初，人們給出了維數的拓撲定義，並對函數空間的度量性質進行了深入的研究，產生了數學空間的壹系列重要概念，特別是拓撲空間的壹般概念。20世紀30年代以後，數學中的各種空間在數學結構的基礎上被統壹處理，人們對各種數學空間有了更好的認識。隨著對物理空間認識的深入和數學研究的發展，從代數、幾何、拓撲等方面推廣了各種數學空間概念。代數學中空間概念的推廣主要來自於解析幾何的產生和發展。幾何對象(點、線等。)與數組形成對應關系，使人們能夠準確、定量地描述空間。這樣就很容易把坐標三數組推廣到坐標n數組(向量)，對應的空間就是n維線性空間或者向量空間。這種空間在維度上擴展了歐氏空間，但省略了歐氏空間中距離的概念。實數域上的線性空間通常可以推廣到壹般域上，特別是有限域上的線性空間變成了只有有限個數的點的空間，其空間連續性也被拋棄了。從代數和幾何上，空間可以推廣到仿射空間和射影空間。射影空間可以用幾何方法或坐標方法包含無窮遠點和無窮遠線。除此之外，我們還可以通過數組、相空間、態空間等等，讓各種空間成為物理學乃至其他科學處理運動的直觀模型。
空間更抽象的形式是拓撲空間。因為拓撲結構反映了點與點之間的遠近關系，所以在拓撲空間中舍棄了歐氏空間的距離和向量空間的向量長的概念。
人們對各種數學空間的研究，反映了從局部的、膚淺的直覺到對空間各種屬性更深層次的認識的過程。比如，隨著拓撲學的發展，人們對空間的維數、連續性、開與閉、有界與無界、空間的朝向等有了更深刻、更本質的認識。流形的研究也使人們對空間的有限性和無限性、局部和整體的認識有了飛躍。流形概念是空間概念的重要發展。局部上是歐氏空間，但整體上可以有各種形式。可以開合，可以有棱，可以沒有邊界。這種深刻的理解對物理空間的研究有促進作用。比如閔可夫斯基空間是狹義相對論的數學模型，而黎曼空間成為廣義相對論的數學模型(見相對論)。
數學中的空間
數學上，空間是指具有特殊性質和壹些額外結構的集合，但沒有簡單地稱為“空間”的數學對象。在小學或中學數學中，空間通常指三維空間。數學中常見的空間類型:
仿射空間
拓撲空間
壹致空間
豪斯多夫空間
巴拿赫空間
向量空間(或線性空間)
賦範向量空間(或線性賦範空間)
內積空間
度量空間
完全度量空間
歐氏空間
希爾伯特空間
射影空間
功能空間
樣本空間
概率空間
物理學中的時間和空間
蔡宗儒
介紹
我們生活在這個浩瀚的宇宙中，自然有時間和空間兩個概念。我們看到了宇宙中的壹切。如果沒有空間，如何安排宇宙萬物？我們看到了宇宙中的壹切。如果沒有空間，如何安排宇宙萬物？萬物之變，事件之成、存、壞，不同於過去、現在、未來。萬物之變，事件之成、存、壞，不同於過去、現在、未來。所以時間和空間是用來安排或排序壹切的。所以時間和空間是用來安排或排序壹切的。在我們的日常生活中，時間和空間的重要性是無以言表的。在我們的日常生活中，時間和空間的重要性是無以言表的。而且，當我們試圖通過科學來描述、認識和理解自然的時候，時間和空間更為重要。而且，當我們試圖通過科學來描述、認識和理解自然的時候，時間和空間更為重要。在物理學中，沒有不需要時間和空間的物理方程。在物理學中，沒有不需要時間和空間的物理方程。因此，本文將對物理學中提到的時空做壹個簡單的介紹，包括牛頓的時空和相對論的時空。因此，本文將對物理學中提到的時空做壹個簡單的介紹，包括牛頓的時空和相對論的時空。
牛頓的時間和空間
牛頓認為空間是絕對的，時間是絕對的，時間和空間是獨立存在的。在牛頓的《自然哲學的數學原理》壹書中，他給絕對空間下了定義:絕對空間，就其本身的性質而言，與任何外部事物無關，始終保持相似和不可能。“絕對空間，從本質上講，與外界物體無關，永遠不變，靜止不動。也就是說，牛頓認為絕對空間與物質的存在和存在物質的特性無關，而是壹個三維空間，遵循歐幾裏得幾何的框架。在物理學中，空間的物理量是長度、面積、體積等等。因為空間是絕對的，所以相對於地面靜止的觀察者測得的空間中兩點A和B之間的距離與相對於地面運動的觀察者測得的距離(比如在火車或汽車上)是壹樣的。換句話說，如果有壹根棍子停在地上，相對於地面靜止的觀察者測得的棍子長度必須與運動的觀察者測得的同壹根棍子的長度相同。
牛頓也定義了絕對時間:絕對的、真實的、數學的時間，就其本身而言，從其自身的性質出發，平穩地流動，與任何外部事物無關。“絕對的、真實的、數學的時間本質上是穩定的，與外界物體無關。如果時間是絕對的，相對於地面靜止的觀察者測得的事件A和事件B之間的時間間隔與相對於地面運動的觀察者測得的時間間隔相同。換句話說，如果相對於地面靜止的觀察者同時測量事件A和B，那麽相對於地面運動的觀察者壹定同時測量事件A和B。
牛頓的時空觀是“不受影響的”，所以是絕對的。因為它是絕對的，所以它具有* * *壹般性和壹致性，也就是說宇宙只有壹個時間和壹個空間，時間和空間是完全互不相關的。時空與萬物無關，但萬物存在於時空之中。
相對論的時間和空間
愛因斯坦在1905年提出狹義相對論，徹底顛覆了牛頓的絕對時空概念。狹義相對論的壹個基本假設是，真空中的光速是恒定的。也就是說，相對於地面靜止的觀察者測得的光速和相對於地面運動的觀察者測得的光速是壹樣的。當時物理學家對光速不變的實驗結果非常困惑，因為這個結果違背了牛頓的絕對時間和絕對空間。愛因斯坦接受了光速不變的實驗結果，並將其視為基本假設。在這個假設下，他建立了狹義相對論。狹義相對論告訴我們，所謂兩個事件A和B是“同時”的，是相對的，而不是牛頓所說的絕對的。也就是說，相對於地面靜止的觀察者同時測量兩個事件A和B，而相對於地面運動的觀察者同時測量同樣的兩個事件A和B。狹義相對論告訴我們，如果有兩個相同的時鐘，其中壹個相對於我們靜止，另壹個相對於我們運動，運動的時鐘將比靜止的時鐘走得慢。換句話說，運動的時鐘比靜止的時鐘多花壹秒鐘。換句話說，人在空中飛行的壹秒和人在地面行走的壹秒是不壹樣的；即使在同壹平面上，坐著的人的秒和走路的人的秒也是不壹樣的。狹義相對論稱之為時間膨脹。至此，時間不再是絕對的，而是相對的。在空間方面，狹義相對論導致了長度收縮運動。尺子在運動中的長度收縮是多少？如果有壹把尺子立在地上，這個尺子的長度被壹個相對於地面靜止的觀察者測量為L ^ 0，同壹個尺子的長度被另壹個向尺子所指方向運動的觀察者測量為L，那麽L將小於L ^ 0。也就是說，運動中的尺子的長度會比同壹把尺子靜止時的長度短。空間中兩個不同點之間的距離與不同坐標系中觀察者測量的距離不同，所以空間不是絕對的，而是相對的。狹義相對論終結了牛頓的絕對時間和絕對空間。狹義相對論對時間和空間的第二個影響是，空間和時間是通過光速不變而結合在壹起的，時間和空間不能也不是相互獨立的。
愛因斯坦的狹義相對論之所以叫狹義，是因為狹義相對論研究的物質運動範疇不涉及重力，不考慮加速度。然而，在自然界中，任何物質都必然會受到重力的影響。愛因斯坦在1916年提出了廣義相對論，研究引力、時空和物質的運動。廣義相對論認為時空不是平的，時空會因為時空中質量和能量的分布而彎曲。引力只是時空不平坦的結果。廣義相對論的時空是彎曲的，彎曲的程度取決於引力。也就是說，只要有引力，四維時空就是彎曲的。引力越強，時空彎曲越嚴重，而這個彎曲的空間並不遵循歐幾裏德幾何的框架。廣義相對論還告訴我們，引力越強，時鐘走得越慢。而引力與物質的質量有關。所以在廣義相對論中，四維時空和物質是密切相關的。廣義相對論發表之前，時空被認為是各種事件發生的舞臺，但這些事件並不影響時空。廣義相對論中，時空必然與物質相聯系，物質的運動影響時空；反過來，時間和空間也會影響物質的運動。
除了相對論，二十世紀物理學的另壹大發展是量子力學。量子力學告訴我們，基本粒子(如電子和誇克)具有粒子漲落的二重性。我們無法同時得到微小粒子的位置和速度，這就是測不準原理。那麽在微小粒子的世界裏，相對論和量子力學如何融合呢？為了解決這個問題，物理學家正在發展量子引力理論。
物理學家想發展壹種能描述整個宇宙的理論。物理學家采取的方式是把整個宇宙的問題分成許多小部分(定義研究領域)，在這些研究領域內發明理論。每個理論描述和預測都有其範圍限制。這就像盲人摸象，得到的壹些理論要重新整理。更何況，如果宇宙中的每壹個事件都是相互關聯、密不可分的，那麽物理學家采用的方法可能是錯誤的。讓我們回到物理學的時間和空間。我們要註意物理學中使用的物理量(如長度、質量、時間等。)都是運算定義，也就是說這些量是經過各種條件(運算)後定義的。對於物理學家來說，時空的本質是什麽？物理學家更感興趣的問題是為什麽光速是恒定的。物理學家認為時間和空間是用來安排或排序壹切的。時間和空間都是相對的，既沒有絕對的時間，也沒有絕對的空間。時間和空間不是相互獨立的，而是有聯系的，所以叫時空。時空是相對的，不是絕對的，也就是說有無限個時空，每個物體都有自己的時空。另外，時空與物質密切相關，離開物質談時空是沒有意義的。
從零維空間到四維空間
——關於幾何學中純粹概念的研究
(馬立金，隴東學院數學系，甘肅慶陽745000)
摘要
幾何不壹定是對真實現象的描述，幾何空間和自然空間不能同等對待。純概念的研究是數學領域的壹個裏程碑。從零維空間發展到三維空間，尤其是從三維空間發展到四維空間，是幾何學的壹次革命。
關鍵字
零維度；壹維；二維；三個維度；四個維度；n維；幾何元素；點；直線；飛機。
主體
N維空間的概念是隨著18世紀分析力學的發展而提出的。在達朗貝爾歐拉和拉格朗日的著作中，不合理地出現了第四維的概念，達朗貝爾在《百科全書》關於維度的條目中提出將時間想象為第四維。19世紀，高於三維的幾何仍然被拒絕。卡爾·奧古斯特·莫比烏斯(1790-1868)在他的重心計算中指出，兩個相互鏡像的圖像在三維空間中不能重疊，但在四維空間中可以重疊。但隨後他又說:這樣的四維空間很難想象，所以疊加是不可能的。這種情況的出現，是因為人們對待幾何空間和自然空間完全壹樣。甚至直到1860年，恩斯特·愛德華·庫默爾(1810-1893)還在嘲諷四維幾何。但隨著數學家逐漸引入壹些沒有或很少有直接物理意義的概念，如虛數，數學家學會了擺脫“數學是對真實現象的描述”的觀念，逐漸走上了純概念的研究方法。虛數令人費解，因為它在自然界中沒有現實性。以虛數為直線上的有向距離，以復數為平面上的點或向量，這種解釋開創了四元素、非歐幾何、幾何中的復元素、N維幾何以及各種奇異函數的先河，直接為物理服務的概念迎來了N維幾何。
1844年，格拉斯曼受四元數啟發，做了更大的推廣，發表了線性展開，在1862年修訂為展開論。他首先涉及N維幾何的壹般概念，他在1848的壹篇文章中說:
我的擴展微積分建立了空間理論的抽象基礎，即脫離了所有空間的直覺，成為壹門純數學科學，只在對(物理)空間作特殊應用時才形成幾何。
但是，推廣微積分中的定理不僅僅是把幾何結果翻譯成抽象的語言，而且具有非常普遍的重要性，因為普通幾何是受(物理)空間限制的。格拉斯曼強調，可以在物理學中應用幾何來發展純智力的研究。從此，幾何學切斷了與物理學的聯系，獨立發展起來。
經過很多學者的研究，1850之後，N維幾何逐漸被數學界所接受。
以上是N維幾何發展的曲折歷程，以下是N維幾何發展的壹些具體過程。
首先，我們把壹個點看作零維空間，壹條直線看作壹維空間，壹個平面看作二維空間，並遵守以下公設:
屬於壹條直線的兩點確定這條直線。1.1
屬於壹條直線的兩個平面決定了這條直線。(將此公設與公設1.1比較)。1.2
屬於同壹點的兩條直線也屬於同壹個平面。(公設1.2的推論)1.3
屬於同壹平面的兩條直線也屬於同壹點。1.4
可以推斷出:
1.維數相同的兩個空間，在某些條件下，決定了另壹個空間高壹個維數。比如兩點(我們把它們看作兩個零維空間)確定壹條直線(壹維空間)。屬於同壹點(指定條件)的兩條直線(兩個壹維空間)也屬於同壹個平面(二維空間)。
2.兩個維數相同的空間在壹定條件下也可以確定壹個維數較低的空間。比如兩個平面(兩個二維空間)定義了壹條屬於它們的直線(壹維空間)。屬於同壹平面(有限條件)的兩條直線(兩個壹維空間)確定壹個點(零維空間)。
3.結論2不包括兩個平面可以定義壹個高壹個維度的空間。它只是假設它們定義了壹條直線，這條直線是比平面低壹個維度的空間。這就留下了壹個缺口，讓我們的思想延伸到高維空間。這種差距的消除可以在推論1.3“屬於同壹點的兩條直線也屬於同壹個平面”中實現，幾何元素點、直線、平面依次被幾何元素線、平面、三維空間代替。
下面的推論是代入的結果。屬於同壹條直線的兩個平面也屬於同壹個三維空間。
有了這個新的推論，我們就包括了與其他幾何元素直接對應的幾何元素——三維空間。
下壹步是將對偶原理應用到這個推理中，從這些新擴展的推理中得到壹些內在的結論。存在二元性原理將通過交換幾何元素-平面和空間的位置來應用。然後我們得到以下推論:
屬於同壹直線的兩個三維空間也屬於同壹平面。1.5
從推論1.5，我們可以得到以下公設:
屬於壹個平面的兩個三維空間決定了這個平面。1.6
在上述1.5和1.6的基礎上，可以提出以下觀點:
1.四維空間的幾何條件是顯而易見的，因為兩個維度相同的已知空間只能存在於比它們高壹個維度的空間中。例如，兩條不同的* * *線(壹維)位於同壹平面(二維)；兩個不同的* * *平面(二維)(沿壹條直線* * *)位於壹個三維空間中；兩個不同的三維空間(沿著壹個平面)位於壹個四維空間中。
2.幾何上，不屬於同壹條直線但相交於壹點的兩個平面，屬於不同的三維空間。
四維空間的概念也可以用解析幾何來研究。我們可以用代數方程來表達幾何概念。為了用這種方法觀察並引出對四維空間的理解，我們將研究三維空間系統中的點、線、面三個幾何要素的方程。使用笛卡爾系統表示法，我們可以寫出:
點的方程:ax+b = 0(坐標系:直線上的壹點)。
直線的方程:ax+by+c = 0(坐標系:平面上兩條正交的直線)。
平面的方程:ax+by+cz+d = 0(坐標系:三維空間中三個相互垂直的平面)。
從以上研究中，我們可以看出:
每個幾何元素(或空間)的方程中的變量個數等於這個空間的維數加上1。
坐標系中的幾何元素與所表示的幾何空間中的幾何元素具有相同的維數。
在這個坐標系中，幾何元素的個數等於所表示的空間的維數加上1。在坐標系中，這個幾何元素數是最低要求。
用來表示幾何元素的坐標系位於比它所包含的幾何元素高壹個維度的空間中。
根據上面的觀察，我們可以寫出下面的三維空間的方程。需要註意的是，這個方程有四個變量(x，y，z，u)。
ax + by + cz + du + e = 0
現在我們可以斷定:
1.這個坐標系的幾何元素是三維的，也就是說，它們是三維空間。
2.這個坐標系有四個三維空間。
這個坐標系位於四維空間。
我們對四維空間甚至更高維空間的研究，並不是基於實驗總結。現實中，我們很難找到並推導出它們的壹般規律。對於這些問題，我們可以采用壹種新的研究方法。即:純概念的研究。這樣我們就很容易推導出這些重要但現實中難以想象的新內容。